（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）一類非線性色散波發(fā)展方程解的研究.pdf

江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 本文主要在s o b o l e v 空間形”，p 2 中研究了一類非線性色散波方程 解的局部存在性以及對(duì)系數(shù)的依賴性，在加權(quán)s o b o l e v 空間h z ，其 中r = 1 2 ，3 中，證明了解的局部存在性。并且在低階的s o b o l e v 空間 研究了帶耗散項(xiàng)的色散波方程解的存在性。 全文分為四個(gè)部分： 第一部分：介紹研究背景、現(xiàn)狀及本文主要結(jié)果。 第二部分：考慮非線性色散波方程在s o b o l e v 空間w ，p k 2 下，應(yīng) 用k a t o 關(guān)于擬線性發(fā)展方程的理論，證明了解的局部存在性。并且研究 了非線性色散波方程的解對(duì)系數(shù)緲的依賴性。 第三部分：考慮非線性色散波方程在加權(quán)s o b o l e v 空間日z ，其 中，= 1 ，2 ，3 下。應(yīng)用k a t o 關(guān)于擬線性發(fā)展方程的理論，證明了解的局 部存在性。并且可將相似的結(jié)論推廣到s c h w a r t z 空間。 第四部分：考慮帶耗散項(xiàng)的非線性色散波方程在低階s o b o l e v 空 間h 3 俾) ，其中1 s 下解的存在性。 關(guān)鍵詞：非線性色散波方程；柯西問(wèn)題；s c h w a r t z 空間；方程解的局 部存在性；解對(duì)系數(shù)的依賴性；耗散。 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 i nt h i sp a p e hw es t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h el o c a ls o l u t i o n sa n dt h e d e p e n d e n c eo n t h ec o e f f i c i e n t 國(guó)f o ran o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n i nu s u a l ls o b o l e vs p a c e w ep r o v et h ee x i s t e n c eo ft h el o c a ls o l u t i o n si nt h e w e i g t h t e ds o b o l e vs p a c e a n ds h o ww e l l - p o s e d n e s so f t h ee q u a t i o ni nl o v e r o r d e rs o b o l e vs p a c e s t h e r ea r ef o u rs e c t i o n si nt h i sp a p e r t h ef i r s ts e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n da c t u a l i t ya n d s u m m a r i z et h em a i nr e s u l t t h es e c o n ds e c t i o n ，a p p l y i n gt h e o r yo fq u a s i l i n e a re q u a t i o n s ，w e o b t a i nt h el o c a le x m t e n c ef o rt h ec a u c h yp r o b l e mo ft h en o n l i n e a r d i s p e r s i v em o d e lw a v ee q u a t i o ni n w 4 p ( r ) a n dr e s e a r c hs o l u t i o nw h i c hi s c o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo nc o e f f i c i e n tc o 。 t h et h i r ds e c t i o n ，w ec o n s i d e rt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f t h en o n l i n e a rd i s p e r s i v em o d e lw a v ee q u a t i o ni nw e i g h t e ds o b o l e vs p a c e ， w i t hk a t o sm e t h o df o ra b s t r a c tq u a s i - l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，w eg e tt h e e x i s t e n c eo ft h el o c a ls o l u t i o nu n d e rs o m ea s s u m p t i o n s 。 w ea l s or e s e a r c hd e p e n d e n c eo fs o l u t i o n so nt h ec o e f f i c i e n tc oi n u s u a l ls o b o l e vs p a c e t h ef o u r t hs e c t i o n ，w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ras o l u t i o no ft h e n o n l i n e a rd i s p e r s i v em o d e lw a v ee q u a t i o nt oe x i s ti nl o w e ro r d e rs o b o l e v s p a c e h , l s k e yw o r d s ：l o c a lw e l l - p o s e d n e s s ，c a u c h yp r o b l e m , n o n l i n e a r d i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n , w e i g h t e ds o b o l e vs p a c e s h 2 7 ”，s c h w a r t zs p a c e ，l o c a ls o l u t i o n ；e x i s t e n c e ； d i s s i p a t i o n 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū) 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定， 同意學(xué)校保留并向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版， 允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)江蘇大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部 內(nèi)容或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃 描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。 本學(xué)位論文屬于 保密口，在年解密后適用本授權(quán)書(shū)。 不保密口。 艚撕擗：獅 沙庫(kù)f 咱加 彩r 氓 名 日 簽 防 眷 引 催 明 姘 眵 論 e 僦產(chǎn) 學(xué) 一伽 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú) 立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的內(nèi)容以外，本論 文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的作品成果。對(duì)本文 的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本 人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名：研戰(zhàn)牛 1 日期：凇7 年p 月估日 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 1 歷史發(fā)展背景 第一章緒論 利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)手段描述與刻畫(huà)流體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，揭示流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律與內(nèi)在聯(lián)系 是現(xiàn)代數(shù)學(xué)以及應(yīng)藤數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。 1 8 4 4 年，英國(guó)科學(xué)家s c o t t r u s s e l l 在愛(ài)丁堡到格拉斯哥的狹長(zhǎng)運(yùn)河中，站 在勻速行駛的船頭對(duì)河中的水波運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了考察。并且隨后在文 1 8 中， s c o t t - r u s s e l l 做了關(guān)于水波的報(bào)告。在這個(gè)報(bào)告中，他雖然沒(méi)有應(yīng)用純粹的線性 模型來(lái)模擬水波，但這卻推動(dòng)了菲線性偏微分方程在流體、等離子體、凝聚態(tài)、 光通訊、量子物理、彈性桿、金融等領(lǐng)域的發(fā)展。 放1 8 7 1 到1 8 7 7 年，b o u s s i n e s q 研究了不可壓縮的無(wú)旋水波的自由邊界闖題， 并且在文 1 9 ， 2 0 巾研究了基本的擾動(dòng)擴(kuò)展；當(dāng)小參數(shù)表示波的振幅與非擾動(dòng)流 體的深度比時(shí)，以及表示流體深度與波長(zhǎng)比的平方時(shí)，b o u s s i n e s q 得到了兩個(gè)一 維單向傳播的水波模型，其中之一就是現(xiàn)在眾所周知的b o u s s i n e s q 方程 2 1 ，p 2 5 8 一+ 2 ) 。+ 秘一= 0 ( 1 1 ) 雖然在兩個(gè)方向上都有波傳播，但這個(gè)方程僅對(duì)向右傳播的有效。 1 8 9 5 年，荷蘭的應(yīng)用數(shù)學(xué)家k o r t e w e g 和d e 鏟r i e s 針對(duì)淺水波運(yùn)動(dòng)引入描述具 有小振幅長(zhǎng)波色散的非線性偏微分方程，寫(xiě)下了著名的k o r t e w e g d e 鏟r i e s ( k d v ) 方程： + “，+ u u ，+ = 0 ( 1 2 ) u ( x , t ) 表示波的高度( 相對(duì)予平底) 。 很少為人所知的是：早在1 8 7 0 葶，b o u s s i n e s q 1 9 ；e q ( 3 0 ) ，p 7 7 】也寫(xiě)下了這個(gè)方程【2 3 】 在文【；囂率。( 2 8 3 ，2 9 王中，作者研究了k d v 方程的三個(gè)守恒定律、一個(gè)孤立子， 給出了周期的行波解的推導(dǎo)過(guò)程。k d v 方程是第一個(gè)被發(fā)現(xiàn)具有確定的孤立波解 的方程，孤波是s c o t t r u s s e l l s 在觀察水波時(shí)弓| 入的。s o l i t a r y 也是壺 s c o t t r u s s e l l 首先引入的。而孤立予的概念和術(shù)語(yǔ)- s o l i t o n ，則是在1 9 6 2 年， 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 j k p e r r i n g 和t h r s k y r m e 研究s i n e 戈登方程時(shí)，以及1 9 6 5 年，n j z a b u s k y 和 m d k r u s k a l 在研究周期條件下k d v 方程時(shí)引入的。g a r d n e r ，g r e e n ，k r u s k a l 和 m i u r a 對(duì)k d v 方程具有無(wú)窮多的守恒定律這一問(wèn)題做了一系列的研究。 另一個(gè)經(jīng)典的水波方程模型是b b m 方程或者稱為正則的長(zhǎng)波方程： u f + u x + 堋，- - u x a = 0 ( 1 3 ) 它最初是由b e n j a m i n ，b o n a ，和m a h o n y 在1 9 7 2 年推導(dǎo)出來(lái)的 2 4 。所以命名為 b b m 方程。b b m 方程由于它僅有三個(gè)守恒定律，所以是不可積的， 2 6 ， 2 7 。 1 9 7 8 年，m a g r i 在文 3 8 中首先發(fā)現(xiàn)了一個(gè)證明非線性發(fā)展方程可積性的方 法?？煞e模型在物理系統(tǒng)中應(yīng)用很頻繁，為了理解這種現(xiàn)象，人們對(duì)“h a m i l t o n i a n ” 結(jié)構(gòu)和守恒定律怎樣進(jìn)入b o u s s i n e s q 擾動(dòng)擴(kuò)展進(jìn)行了細(xì)致的考察 3 0 兒3 1 。 z a k h a r o v 3 2 首先研究表明：水波的自由邊界問(wèn)題允許有一個(gè)“h a m i l t o n i a n ”結(jié) 構(gòu)( 后來(lái)在 3 3 中這被用來(lái)判定一個(gè)有對(duì)稱守恒定律的系統(tǒng)是否完備) 。但是， k o r t e w e g d ev r i e s 模型的兩個(gè)“h a m i l t o n i a n 結(jié)構(gòu)沒(méi)有一個(gè)是直接來(lái)源于水波的 “h a m i l t o n i a n ”結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，k o r t e w e g d ev r i e s 模型的兩個(gè)“h a m i l t o n i a n 算 子是由水波問(wèn)題的兩個(gè)“h a m i l t o n i a n 算子擴(kuò)展而成的。 所有的非線性波現(xiàn)象的古典模型僅僅在弱的非線性體制下有效，然而象碎波， 極大高度的波等許多有趣的物理現(xiàn)象 3 4 3 5 ，需要把它們的非線性進(jìn)行完全的 轉(zhuǎn)換。在“h a m i l t o n i a n 擾動(dòng)理論的啟發(fā)下( 3 0 ， 3 1 ) ， 1 9 9 3 年，美國(guó)洛斯阿拉莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的c a m a s s a 和h o l m 應(yīng)用哈密頓方法導(dǎo) 出一個(gè)新的淺水波色散波動(dòng)方程c a m a s s a h o l m 方程： + 婦，一夠刪= - 3 u u x + h h 。+ 知?！半?( 1 4 ) 其中“( x ，f ) 表示波的高度( 相對(duì)于平底) ，k 是與臨界波波速相關(guān)的一個(gè)常數(shù)當(dāng) k = 0 時(shí)線性色散項(xiàng)消失，即得到通常的c h 方程 口r 一口塒+ 鋤，= 2 “囂+ 蹦叱。 ( 1 5 ) 口r 一口塒+ 姍j2 翻囂+ 蹦叱 l1 a j 注意到左邊的線性項(xiàng)與b b m 方程的線性項(xiàng)相似，然而刪一這一項(xiàng)使方程( 1 4 ) 具有很強(qiáng)的非線性，所以它被歸為一類非線性色散波模型。 c a n a s s a 和h o l m 在【4 】中指出c a m a s s a h o l m 方程有“b i h a m i l t o n i a n ”結(jié)構(gòu)，因 此有一個(gè)對(duì)稱守恒定律的無(wú)窮譜系。實(shí)際上，方程( 1 4 ) 和它的“b i h a m i l t o n i a n 結(jié)構(gòu)早在1 9 8 1 年作為k d v 方程雙“h a m i l t o n 形式的推廣，由f u c h s s t e i n e r 和f o l 【a 2 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 用遞歸算子的方法就已經(jīng)得到( 雖然其中有一個(gè)系數(shù)是錯(cuò)誤的) 【3 7 】。但當(dāng)時(shí)對(duì)其解 的認(rèn)識(shí)很不充分，所以并沒(méi)有引起研究者的重視。至今對(duì)方程( 1 4 ) 的性質(zhì)已有許 多的研究并得到了許多很好的結(jié)論，如方程( 1 4 ) 是完全可積的，非線性色散波( 方 程具有色散項(xiàng)刪。) 具有雙h a m i l t o n i a n 結(jié)構(gòu)，即可用兩種不同的h a m i l t o n i a n 形式 表示，而這兩個(gè)h a m i l t o n i a n 算子比是導(dǎo)出無(wú)窮多守衡律的遞推算子。這種雙 h a m i l t o n i a n 性質(zhì)可用于將該方程改寫(xiě)為線性擬譜問(wèn)題的相容性條件，使得初值問(wèn) 題可用逆散射方法求解。c h 方程與至今所發(fā)現(xiàn)的許多完全可積偏微分方程有著許 多共同的性質(zhì)。 1 9 9 9 年，d e g a p p e r i s 和p r o c e s i 在 5 9 10 0 應(yīng)用漸進(jìn)可積的方法，驗(yàn)證了如下一類 非線性發(fā)展方程：d e g a p p e f i s - p r o c e s i 類方程( d - p 類方程) 一+ ( 6 + 1 ) u u x = b u x u = + u u x x x ( 1 6 ) 只有b = 2 ，b = 3 時(shí)才是完全可積的當(dāng)b = 2 時(shí)，方程( 1 6 ) 是無(wú)線性色散項(xiàng)的c - h 方 程( 1 5 ) ，當(dāng)b = 3 時(shí)，方程( 1 6 ) 是無(wú)線性色散項(xiàng)的d e g a p p e r i s - - p m c e s i 方程( d - p 方程) l i f 一“塒+ 4 繃，= 3 u j u 。+ u u x x x ( 1 7 ) d - p 方程( 1 7 ) 作為甜( x ，r ) 與y ( x ，) = 甜( x ，t ) - u 。( x ，f ) 的系統(tǒng)，可寫(xiě)成 p ( 礦y ) 以一3 眵) ，y ( 1 8 ) r 一= y ，q = j 一 1 9 9 8 年，d a ih u i - h u i 在【7 】中對(duì)普通超彈性可壓縮物質(zhì)得出有限波長(zhǎng)有限振幅 的一個(gè)新的彈性桿波動(dòng)方程： 匕+ 吼y 比+ c r 2 黝+ 吒【2 吩+ ) = 0 ( 1 9 ) 其中，y ( 孝，f ) 表示對(duì)預(yù)應(yīng)態(tài)的徑向伸縮q0 , o - 2 o ，o - 3 o 是由材料桿的預(yù)應(yīng)力 系數(shù)確定的常數(shù)。 令f ：虹f ，孝：- - 壓2 x ，則方程( 1 9 ) 可改寫(xiě)為 礬 珥一矽棚+ 3 u u ，= 廠( 2 致z k + “。)( 其中廠= 墮) ( 1 1 0 ) 0 5 a - 2 0 0 4 年，c o c l t e ，h o l d e n ，k a r l s e n 等在【6 6 】中研究了方程( 1 1 0 ) 的推廣形 3 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 式即：廣義超彈性桿波動(dòng)方程 1 坼一z + 去g ( u ) u x = y ( 2 u x u = + 甜z ) ( 其中g(shù) ( o ) = o ) ( 1 1 1 ) - 1 2 研究現(xiàn)狀 對(duì)于b o u s s i n c s q 方程，b b m 方程，k d v 方程的研究已經(jīng)是相當(dāng)?shù)耐晟?，這里 就不一一贅述，下面對(duì)c a m a s s a - h o l m 方程，d e g a p p e r i s p r o c e s i 類方程，以及彈性 桿波動(dòng)方程的研究歷史與現(xiàn)狀概述如下： 首先我們介紹一下國(guó)內(nèi)外關(guān)于c a m a s s a h o l m 方程的研究現(xiàn)狀： 第一個(gè)方面關(guān)于可積性與雙h a m i l t o n 結(jié)構(gòu)的有關(guān)研究。我們知道無(wú)論是c h 方 程還是k d v 方程都來(lái)源于一維不可壓縮流體的可積的e u l e r 方程，因此，它們兩者 之間必然有著某種內(nèi)在的聯(lián)系。f o k a s 和f u c h s s t e i n e r 給出了“h a m i l t o n i a n 對(duì)偶性 的基本方法，后來(lái)人們使用這種方法把大部分的古典的孤立子模型轉(zhuǎn)化為非線性 色散波可積的對(duì)偶b i h a r n i l t o n i a n 系統(tǒng)。b f u c h s s t e i n e r , a s f o k a s 和e j o l e r 在 3 8 ， 4 2 和 4 1 1 中研究了相伴的r i e m a n n h i l b e r t 問(wèn)題。c d e v c h a n d 和j s c h i f f 從c h 方程和 k d v 方程的幾何背景測(cè)地流的角度研究了h a m i l t o n 結(jié)構(gòu)，可積性與對(duì)稱性。1 9 9 8 年，s c h i n l 4 4 應(yīng)用l o o p 群的方法，構(gòu)造了辛結(jié)構(gòu)的b i i c k l u n d 變換，由c h 方程構(gòu)造 了伴隨c h 方程( a c h ) ，并用k d v 理論的基本方法粥g a l - w i l s o n 影射，獲得了 a c h 方程的簡(jiǎn)單孤立子解和有理解。a n w h o n c 則研究了a c h 方程與s c h r o d i n g 算 子及k d v 譜系之間的關(guān)系，利用這種關(guān)系，他得到了a c h 方程的精確解。 第二個(gè)方面是關(guān)于c h 方程守恒定律與解的存在性的研究。m f i s h e r 和j s c h i f f 通過(guò)m i u r a - g a r d n e r - k r u s k a l 構(gòu)造，給出了c h 方程具有無(wú)窮多個(gè)局部守恒量。 a c o n s t a n t i n 等研究了c h 方程的解的存在性問(wèn)題，利用守恒量與k a t o 理論獲得了 c h 方程解的存在性，指出在位勢(shì)保持不變號(hào)的情況下，方程有整體解。在他們的 研究中引入了弱解，并指出c a m a s s a 和h o l m 在c h 方程中得到的具有p e a k o n 性質(zhì)的 孤立子解實(shí)際上是弱解意義下的。還得到了整體弱解的存在性。x i n 等人則引入了 h e 的允許弱解，利用弱粘性法和y o u n g 測(cè)度給出了更弱條件下的弱解存在性。 e g c s z t e s y , h h o l d e n ，d d h o l m 和z q i a o 等則研究了c h 方程譜系問(wèn)題的 a l g e b r a - g e o m e t r i c 解，這類解對(duì)應(yīng)了c h 方程的多重孤立子解，p e a k e d 解，c o m p a c t o n 解，凹凸孤立子解等?，F(xiàn)在國(guó)內(nèi)外應(yīng)用非線性色散波模型對(duì)不同的非解析解的研 4 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 究已經(jīng)取得巨大的進(jìn)步，除了上面提到的，新出現(xiàn)的非解析解還有：c u s p o n s 解， t i p o n s 解，r a m p t o n s 解，m e s a o n s 解，等等。t i a n 等人不僅給出了新的凹凸孤立子解的概 念，還給出了廣義c h 方程的精確解。各類孤立子解的研究是目前有關(guān)的研究主要 內(nèi)容之一。 第三個(gè)方面的研究是關(guān)于方程推廣到二維以及三維的問(wèn)題。 s c h e n ，c f o i a s ，d d h o l m 等在粘性管道流的湍流研究中，將c h 方程推廣到三維， 并在方程中加入了粘性項(xiàng)，得到了所謂的粘性c h 方程( v c h ) ，用v c h 作為粘性管 道湍流的一個(gè)近似。他們進(jìn)一步的研究，特別是數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，在一定的條件下， v c h 方程確實(shí)是粘性管道湍流的一個(gè)好的近似。c f o i a s ，d d h o l m 和e s t i f f 將v c h 方程與n a v i e r - s t o k e s 方程以及湍流研究相聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)v i c h 方程也是n a v i e r - s t o k e s 方 程的較好的近似。由他們的研究也可以看出，對(duì)v c h 方程的研究可以用作湍流現(xiàn) 象的研究。因此對(duì)粘性c h 方程的研究就具有很強(qiáng)的物理和力學(xué)意義。 c f o i a s ，d d h o l m 和e s t i t i 還研究了v c h 解的存在性及其吸引子的問(wèn)題， j v u k a d i n o v i c 貝, l j 研究了2 維周期v c h 方程的b a c k w a r d s 行為。關(guān)于c h 方程的研究還 有很多，這里不再一一列舉。 對(duì)于d p 類方程的研究主要有以下結(jié)果： 首 由d e g a s p e r i sa , d dh o l m ，和a n w a h o n e 合作在【5 9 】，【6 0 】中通過(guò)反向 變換構(gòu)造了d p 方程的拉克斯對(duì)，證明d - p 方程是可積的，并且討論了它的雙哈密 頓結(jié)構(gòu)，給出了守恒律的兩個(gè)無(wú)限列隨后h a n sl u n m a r k 等 6 1 使用反散射方法 求得了d - p 方程的多孤子解，并給出多尖峰波解的形式 甜( x ，f ) = ( f ) p 一卜嘶o x ，m ( x ，r ) = 2 m , ( t ) 6 ( x - x k ( t ) ) k = lk = l 其中萬(wàn)是d i r a ed e l t a 分布。 尖峰波的位置和動(dòng)量 黽( r ) ，( f ) ) 2 。，滿足常微分方程 廊：2 n s g n ( x k - x t ) 口電i ，贏：圭崛e 也一而 i = 1i = 1 v o v a k h n e n k o 等在【6 3 】中研究了d - p 方程的行波解，特別是它的周期尖峰波解和 孤立波解。z h o uy o n g 在【6 2 】中討論了d - p 方程的爆破現(xiàn)象，并證明了整體解的存 在性余麗琴在【“】中研究了d - p 類方程( 1 6 ) 的精確行波解。 5 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 對(duì)于彈性桿波動(dòng)方程( i 1 0 ) 的研究已有很多結(jié)果( 見(jiàn)文 7 ， 6 5 ， 6 6 ) 。 如：c a u c h y 問(wèn)題整體解的存在性，周期邊值問(wèn)題整體解的存在性，解的適定性， 解b l o w - u p ，弱解的存在性等。d a ih u i - h l l i 在【6 5 】中研究了方程( 1 1 1 ) 在7 0 ， 0 o ) 內(nèi)研究方程( 1 2 6 ) 滿足初始條件 ”( x ，0 ) = u 0 ( x ) 的解甜( 而f ) 。 8 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 在區(qū)域d = ( x , t ) i x ( o ，佃) ，( o ，丁) ) 內(nèi)研究方程( 1 2 6 ) 滿足初始條件及邊值 條件 ： i 等二o 的解甜( 馬r ) ( c ) 一類有界域上的初邊值問(wèn)題 在區(qū)域d = ( x ，r ) 卜( o ，1 ) ，r ( o ，丁) ) 內(nèi)研究方程( 1 2 6 ) 滿足初始條件及邊值 條件漲鬻品地“u 一( 1 ，) 似f ) 1 3 3 非線性波動(dòng)方程的行波解問(wèn)題 非線性波動(dòng)方程有一類重要的解，就是形如甜( x ，f ) = 甜( 孝) ，善= x + c t 的行波解。 就數(shù)學(xué)而言，行波解可以揭示方程本身的許多重要性質(zhì)。在行波解的研究中不斷 產(chǎn)生的新思想和方法，對(duì)于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著相當(dāng)促進(jìn)作用。 定義1 1 ( 2 7 - 1 ) u ( x ，f ) = 甜( 善) ，鄉(xiāng)= x + 甜稱為非線性波動(dòng)方程 f ( t ，x ，g t ，畋，u x t ) = 0 ( 1 j2 7 ) 的行波解，如果存在一0 0 缶，受佃使得甜( x ，r ) = 甜( 孝) ，孝= x + 甜滿足方程( 1 2 7 ) ， 其中孝( 螽，色) ，“( 磊) = 口，甜( 島) = ，在( 轟，邑) 的任意子區(qū)間( a , b ) 內(nèi)甜( 孝) 不恒等 于o ，當(dāng)孝( 一，螽) 時(shí)“( 孝) = 口，當(dāng)善( 彘，佃) 時(shí)，“( 孝) = 。其中c 稱為波速。 通常來(lái)說(shuō)，對(duì)非線性波動(dòng)方程行波解的研究主要包括行波解的存在性、唯一 性、波速問(wèn)題以及精確解等。 1 3 4s o b o i e v 空間的定義以及幾個(gè)重要的定理： 1 s o b o l e v 空間k p ( 固和噼p ( q ) 定義1 2 7 3 設(shè)k 為非負(fù)整數(shù)，p 1 ，q 是r ”中的開(kāi)集，我們稱集合 甜w 。( 固；d 口甜( 固，對(duì)滿足h 瑚任意口 ，、 賦以范數(shù)曠，( n ) = i ，l d “甜i p 出i 后得到的線性賦范空間為 q l 口l 七 s o b o l e v 空間坳( 固，可以證明卻( 固在上述范數(shù)下是一個(gè)b a n a c h 空間。當(dāng)p = 2 9 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 時(shí)，常將蛐( 鋤記作日( 固，所以空間2 p 僻) 與空間日5 ( 尺) ，s 不能互相包含。 定理1 1 ( 文 7 0 ) 對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)s ，h 5 僻”) 是一個(gè)h i l b e r t 空間，且c ? 僻”) 日5 僻”) 中稠密。 定義1 4 1 7 3 ：時(shí)爐( 固表示g ( q ) 在t p ( q ) 中的閉包。 定理1 2 1 7 3 ：w t p 俾”) = 嘭p 但“) ，形0 p ( q ) = 聯(lián)護(hù)( 固= r ( q 但對(duì)有界區(qū) 域q ，當(dāng)后1 時(shí)，嘭，( q ) 是咖( 固的真子空間。 2 加權(quán)s o b o l e v 空間 記號(hào)：我們把中心在，棱長(zhǎng)為2 r 且棱平行于坐標(biāo)軸的立方體記為： b ( x o ，r ) = p = ( x 1 ，礦) e ”；p 一i r ) 當(dāng)x o = 0 時(shí)，b ，r ) 寫(xiě)為召僻) 。 定義1 51 7 2 m u c k e n h o u p t a p 類函數(shù) 設(shè)非負(fù)函數(shù)w 如但”) ，稱w a p ( 1 p o ，使得對(duì) 任意bc e ”有 ( s u p 【( 所e s b ) 。1 工廠( 挑】) 礎(chǔ)) _ l 工h 出 川c 其中上確界是對(duì)e ”中的一切球體b 來(lái)取的。 曰是e n 中棱平行于坐標(biāo)軸的立方體，而 三+ ! ：1 ， pg ( m e s b ) 一1 廠 渺是，在召上的積分平均值。 定義1 7 1 7 2 設(shè)1 p o o ，w 如，gc - e ”為有界。 定義加權(quán)s o b o l e v 空間婦e ( ，g ) 為c 。( 西類函數(shù)依范數(shù)： 1 ，( 礦，g ) = ( 1 v 甜i ，+ 川，) 形( x ) 出 i 完備化所得到的空間。 定理1 3 1 7 2 ：設(shè)1 o 與u ，r 無(wú)關(guān)，w ( b r ) 2l ( 曲出 定理1 4 1 7 2 設(shè)1 o 與“，r 無(wú)關(guān)，而且 缸2 w l ( b r ) 2l “( 力矽( 力出 在本文中我們?nèi)?quán)函數(shù)為( 功= p ( 砷= ( 1 + ，) 7 其中r = l ，2 ， 3 幾個(gè)常用的不等式 1 一致g r o n w a l l 不等式 設(shè)g ，h ，yg - + ( t o ，) 上正的局部可積函數(shù)，) ，在( 島，) 局部可積并滿足： 象g y 鋤，倥島 i ，t + r g ( s ) 凼 o , b 0 ，p 1 q 1 ，且! + ! 蘭1 則有 p q 上上 面生+ 絲 pq 特別地，當(dāng)p = q = 2 時(shí)，上述不等式也稱為c a u e h y 不等式。 3 h b i d e r 不等式：設(shè)! + ! ：1 p ，q 1 ，則對(duì)任何比( 功( q ) 和h 力p ( 固， pq 成立 1 1 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 j k 】”( x ) v ( x ) 出l ( j 玉i “( x ) j p 出) 吉( k 1 i v ( x ) i g 出 吉 4 a g n l o n 不等式：設(shè)qcr ”是關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)都是l i p s c h i t z 連續(xù)的，則存在 僅依賴q 的非負(fù)常數(shù)c ，滿足： m b ( q ) 絲絲 c m 皇乎( n ) 三乎( 0 ) ，v 甜日2 ( q ) ，刀是偶數(shù) 絲盟 c 三孚( q ) i 三譬( q ) ，v 甜日2 ( q ) ，玎是奇數(shù) 5 m i n k o w s k i 不等式 設(shè)p 1 那么對(duì)任何廠( 力，g p ( 固，成立 1 l1 ( l i s ( x ) + g ( x ) i p 出) _ ( l 廠( 刮p 出) ；+ ( 上k ( 刮，威) _ 6 p o i n c a r 6 不等式： 設(shè)1 p o , x r u ( x ，0 = h o ( 力，x r 解的適定性。 首先，我們討論了方程( 2 1 ) 在s o b o l e v 牢_ l ；- j w 4 尸似) ，p 2 下解的局部適定性， 以及方；i 旱的解對(duì)系數(shù)國(guó)的依賴性。 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 主要結(jié)果如f ： ( 1 ) 如果2 ，俾) ，則存在一個(gè)僅僅依賴0 w o k ，的常數(shù)t o ，使方程 f 嵋+ a ( 叻w = f ( 叻，t o ，x r 【w i 仁o = w o ，工r 有一個(gè)唯一的解w 滿足：w ec ( 【o ，丁】，w 2 ，p ( 欠”n c l ( 【o ，丁】，p ( r ” 并且，在2 p 范數(shù)意義下，w 連續(xù)依賴圳 0 ) = w o 。 ( 2 ) 如果u oe w 2 ，僻) ，則存在常數(shù)t 0 ，使得初始值問(wèn)題( 2 1 ) 有一個(gè)唯一解 u ( x ，f ) 滿足：u ( x ，f ) c ( 【o ，丁】，w 4 p ( r ) ) n c l ( 【o ，丁】，w 2 ，( r ” ( 3 ) 令為初始值問(wèn)題： mw+心甕絮縱：嬲一翌一咖剛似啦島的鉭。o(x,0)u ou 0 x o x r 1 4 。i t l r i 【= 屹o ( 功= 一 。 w 為初始值問(wèn)題： i m + 廠屹“+ 2 y w u ，+ 2 e o u ，+ 3 ( 1 一y ) u u 。= o ，f o ，x r 【w ( x ，o = w o ( x ) = “o o ，) 一u o 。( 功，x 尺 當(dāng)國(guó)= 0 時(shí)和帶有同樣初始值的解。 則當(dāng)國(guó)斗。時(shí)，黜0 u e a - - u i i w 3 。p o ( 4 ) 令u m 為初始值問(wèn)題： f u 耐- - u 。a x x + 2 c o u 嬲+ 3 u 廖“烈= 八知。甜。+ 距口跖刪) ，t o ，z r 【m 。o ，o ) = u o ( 力，z r 的一個(gè)解， u 為初始值問(wèn)題： u t u 姒+ 2 a m ，+ 3 u u ，= 八2 u z u 材+ u i x = ) ，t 0 , x r 砧o l 0 = u o ( 力，x r 當(dāng)國(guó)= 0 時(shí)的一個(gè)解，并且甜和砧。所帶的初始值相同。 則有：當(dāng)國(guó)j 。時(shí)，船0 u o - u l l 驢，專o 在第二部分，我們主要在加權(quán)s o b o l e v 空間日2 ，下研究了下面的初始值問(wèn)題的局 部適定性： 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 吩一“擻+ 2 c o u x + 拋“j2r ( 2 u , u “+ 砧“m ) ，t 0 ，x r u ( x ，o ) = u o ( 功，x r 。 主要結(jié)論有： ( 1 ) 令eh 2 v ，其中廠= 1 ，2 ，3 則存在僅僅依賴的日2 ，r 范數(shù)的t 0 ，以及 方程( 2 1 ) 的唯一解，使得y c ( 【0 ，丁】，h 2 v ) 并且，映射 巾h 2 v y c ( 【o ，r 】，h 2 v ) 是連續(xù)的。 ( 2 ) 令矽且0 - o 乙) u 。0 ( 或者- 0 ) 。則，此方程存在唯一解甜使得 比c ( 【o ，叫，糾 在第三部分，我們主要討論帶耗散項(xiàng)的非線性色散波方程在低階的s o b o l e v 空間 h 5 ( 1 s 曇) 下解的存在性，其主要結(jié)論有： ( 1 ) 假如u o ( 力是s o b o l e v 空間h 。( 1 j 要) 下的一個(gè)函數(shù)，并且有 峙 0 和一個(gè)不依賴于占的c 0 使得：對(duì)于任意的fe o ，r ) ，方程： u t 一+ s = - 2 ( o u 工一3 銘叱+ r ( 2 u , u 矗+ “夠m ) ，t o ，x r u ( x ，0 ) = u o ( 曲e h 8 俾) ，s 1 相應(yīng)的解k 滿足不等式：i k 。峙c ( 2 ) 令( 力是s o b o l c v 空間h 5 ，s ( 1 ，】下的一個(gè)函數(shù)，并且滿足： 慨，峙 0 ，使得帶有初始值“。的柯西問(wèn)題： 咋一致輯+ 占= 一2 0 u x 一3 “叱+ r ( 2 u , u 搿+ 甜甜礎(chǔ)) ，t o , xe r 在分布意義下，存在一個(gè)解 i l ( x ，t ) r ( 【0 ，z 】，h 5 ) ， 并且m 工e l 。( 【0 r 】尺) 。 1 4 江蘇大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章非線性色散波方程在s o b o l e v 空間 艫尸下的性質(zhì) 2 1引言 本文主要應(yīng)用t k