大一下學期高等數(shù)學期中考試試卷及答案.doc

大一第二學期高等數(shù)學期中考試試卷一、填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分），請將合適的答案填在空中。1、已知球面的一條直徑的兩個端點為和，則該球面的方程為_2、函數(shù)在點處沿點指向點方向的方向導數(shù)為 3、曲面與平面平行的切平面方程為 4、 5、設二元函數(shù)，則_二、選擇填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）。以下每道題有四個答案，其中只有一個答案是正確的，請選出合適的答案填在空中，多選無效。1、旋轉曲面是（ ） （A）坐標面上的雙曲線繞軸旋轉而成； （B）坐標面上的雙曲線繞軸旋轉而成； （C）坐標面上的橢圓繞軸旋轉而成； （D）坐標面上的橢圓繞軸旋轉而成2、微分方程的一個特解應具有形式（ ） 其中都是待定常數(shù). (A).; (B).; (C).; (D). 3、已知直線與平面,則 （ ） (A).在內(nèi); (B).與不相交; (C).與正交; (D).與斜交. 4、下列說法正確的是（ ）(A) 兩向量與平行的充要條件是存在唯一的實數(shù)，使得； (B) 二元函數(shù)的兩個二階偏導數(shù),在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)兩個二階混合偏導必相等； (C) 二元函數(shù)的兩個偏導數(shù)在點處連續(xù)是函數(shù)在該點可微的充分條件； (D) 二元函數(shù)的兩個偏導數(shù)在點處連續(xù)是函數(shù)在該點可微 的必要條件.5、設且（即函數(shù)具有連續(xù)的二階連續(xù)偏導數(shù)），則（ ） (A); (B); (C); (D).三、計算題（本大題共29分）1、（本題13分）計算下列微分方程的通解。(1)（6分）(2)（7分）2、（本題8分）設，求全導數(shù)。3、（本題8分）求函數(shù)的極值。四、應用題（本題8分）1、某工廠生產(chǎn)兩種型號的機床，其產(chǎn)量分別為臺和臺，成本函數(shù)為 （萬元），若市場調(diào)查分析，共需兩種機床8臺，求如何安排生產(chǎn)使其總成本最少？最小成本為多少？五、綜合題（本大題共21分）1、（本題10分）已知直線，求過且平行于的平面方程2、（本題11分）設函數(shù) 在球面上求一點，使函數(shù)取到最大值六、證明題（本題共12分）1、設函數(shù)，其中是常數(shù)，函數(shù)具有連續(xù)的一階偏導數(shù)試證明:第二學期高等數(shù)學期中考試試卷答案一、填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）1.、 2、3、4、05、；二、選擇填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）1（A）2（B）3（C）4（C）5（A）三、計算題（本大題共29分）1、（1）解：將原微分方程進行分離變量，得： 上式兩端積分得 即： 其中為任意常數(shù)（2）解：題設方程對應的齊次方程的特征方程為特征根為 于是，該齊次方程的通解為因是特征方程的單根，故可設題設方程的特解：代入題設方程,得比較等式兩端同次冪的系數(shù),得 于是，求得題沒方程的一個特解 從而，所求題設方程的通解為2、解：， ， 依復合函數(shù)求導法則，全導數(shù)為 3、解：解方程組，得駐點。由于，在點處，所以函數(shù)在點處取得極小值，極小值為。四、應用題（本題8分）1、解：即求成本函數(shù)在條件下的最小值 構造輔助函數(shù) 解方程組 解得 這唯一的一組解，即為所求，當這兩種型號的機床分別生產(chǎn)臺和臺時，總成本最小，最小成本為：（萬）五、綜合題（本大題共21分）1、解：直線與的方向向量分別為， ，作 ，取直線上的一點，則過點且以為法向量的平面 ，就是過且平行于的平面方程2、解：設球面上點為令 ，由