數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文-概率論中數(shù)學(xué)期望的概念.doc

畢節(jié)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題 目： 概率論中數(shù)學(xué)期望的概念姓 名： 學(xué) 號(hào)： 教 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院專業(yè)班級(jí)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2008級(jí)1班指導(dǎo)教師： 完成時(shí)間： 2012年 04月10日 畢節(jié)學(xué)院教務(wù)處制畢節(jié)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）概率論中數(shù)學(xué)期望概念 作者姓名：熊小平 專業(yè)班級(jí)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2008級(jí)1班 學(xué)號(hào)：04110801036 指導(dǎo)教師：薛朝奎（講師）摘 要：數(shù)學(xué)期望是現(xiàn)代概率論中最重要的基本概念之一，無論在理論上還是在應(yīng)用中都具有重要的地位和作用。但是，數(shù)學(xué)期望這一概念對(duì)許多學(xué)者來說卻又是一個(gè)難點(diǎn)，特別是對(duì)概念的理解和對(duì)這一數(shù)學(xué)工具的使用上都很難掌握。本文從離散型隨機(jī)變量的來源、定義、分布及其理解上詳細(xì)闡述概率論中的數(shù)學(xué)期望的概念及其性質(zhì)，并介紹說明這一數(shù)學(xué)工具在實(shí)際生活中的應(yīng)用。目的是希望能給更多的學(xué)者提供一些參考及幫助。關(guān)鍵詞：離散型；隨機(jī)變量；分布；函數(shù)；期望Mathematical expection conceptin theory of probabilityCandidate:Xiong Xiao-ping Major:Mathematics and applied mathematics Student No:04110801036 Advisor:Xue Chao-kui(Lecturer)Abstract:Mathematical expectation is the modern theory of probability in the most important one of the basic concept, whether in theory or in the applications has an important position and role. But, mathematical expectation is a difficult concept for many scholars, especially for the understanding of concepts and the mathematical tools to the use of all difficult to master. This article from source of discrete random variable, definition, distribution and understand the detail on the mathematics of the concept of probability theory and its properties expectations, and introduces the mathematical tools that in the actual life application. The main purpose is to give more scholars can provide some reference and help.Keywords: discrete; Random variable, Distribution; Functions; expect II目 錄引言11 預(yù)備知識(shí)21.1 隨機(jī)變量的定義21.2 離散型隨機(jī)變量的定義22 離散型隨機(jī)變量的幾種分布52.1 01分布（兩點(diǎn)分布）52.2 二項(xiàng)分布62.3 泊松分布63 隨機(jī)變量的分布函數(shù)及期望73.1 一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)73.2 二維隨機(jī)變量及其概率分布93.3 多維隨機(jī)變量分布及其數(shù)學(xué)期望10結(jié)束語13參考文獻(xiàn)14致 謝15附 錄16畢節(jié)學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）引言數(shù)學(xué)期望的概念起源于賭博，早在世紀(jì)，有一個(gè)賭徒向法國(guó)著名數(shù)學(xué)家帕斯卡挑戰(zhàn)，給他出了一道題目：甲乙兩個(gè)人賭博，他們兩人獲勝的機(jī)會(huì)相等，比賽規(guī)則是先勝三局者為贏家，贏家可獲得法郎的獎(jiǎng)勵(lì)。等比賽進(jìn)行到第三局的時(shí)候，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時(shí)由于某些原因終止了比賽，那么如何分配這法郎才比較公平呢？用概率論的知識(shí)不難得出，甲獲勝的概率為，或者分析乙獲勝的概率為，因此由此引出了甲的期望所得值為法郎，乙的期望所得值為法郎。概率論是世紀(jì)歐洲思想和文化的產(chǎn)物，其每一概念和方法的提出和進(jìn)展幾乎都受到當(dāng)時(shí)盛行的價(jià)值觀，社會(huì)思潮和所擁有的社會(huì)資源的影響。在這方面，概率論中期望思想的發(fā)展歷史是一個(gè)典型的案例。對(duì)它在和世紀(jì)的歷史作一些研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)議題涉及當(dāng)時(shí)人們?cè)谒蓄I(lǐng)域中對(duì)清晰性和確定性的態(tài)度和希望。在這個(gè)過程中，他們遇到的一些困難以及他們對(duì)這些困難的回應(yīng)，為審視數(shù)學(xué)期望的發(fā)展和社會(huì)化之間的關(guān)系提供了一種具有啟發(fā)性的視角。盡管由帕斯卡和惠更斯等人所啟動(dòng)的概率論這門學(xué)科被稱作概率演算，但早期概率論學(xué)者研究的一個(gè)中心問題是期望而不是概率。早期概率論中對(duì)數(shù)學(xué)期望的強(qiáng)調(diào)是由于這個(gè)概念承載了當(dāng)時(shí)常用的“期望“術(shù)語的兩種不同的定性含義，一是人們對(duì)法律中公平公正的期望，另一種是源于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的公平獲利的思考。這兩重含義使得它成為將數(shù)學(xué)概率與社會(huì)科學(xué)連接起來的橋梁。因此，早期的概率期望承襲了當(dāng)時(shí)常用術(shù)語“期望”的兩種不同的定性含義，這兩種關(guān)于期望的視角法律的和經(jīng)濟(jì)的，一個(gè)與公平有關(guān)，而另一個(gè)與利益有關(guān)，兩者鑄造了尚未成熟的概率期望的早期數(shù)學(xué)理論。從年概率論最早形成直到年拉普拉斯分析概率論的出版，法律的平等和經(jīng)濟(jì)的謹(jǐn)慎在不同的方向上推動(dòng)了數(shù)學(xué)概率中的概率期望的發(fā)展，使得期望成為這個(gè)學(xué)科中早期發(fā)展中的一個(gè)中心概念。為了便于研究，下面只探討概率論中離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，將從隨機(jī)變量的定義，分布進(jìn)行分析引入。自然界的現(xiàn)象，可以分成必然現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象兩大類。在一組給定條件下，某一事情必然發(fā)生。例如，在一個(gè)大氣壓下水的溫度降到零度以下就會(huì)結(jié)冰；偶數(shù)與偶數(shù)的和仍是偶數(shù)，這些稱為必然現(xiàn)象。但另外有些現(xiàn)象就不是這樣。比如，明年七月十日下雨。這個(gè)判斷只有等到明年七月十日以后才能給出正確的答案。它有可能下，也有可能不下。又如擲骰子，每擲一次出現(xiàn)各點(diǎn)的可能性是相同的，無法判斷到底出現(xiàn)幾點(diǎn)。這就是隨機(jī)現(xiàn)象。如何用數(shù)學(xué)方法來描述一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象呢？注意到隨機(jī)現(xiàn)象有四個(gè)特征。首先是它具有幾種可能的狀態(tài)，對(duì)此每個(gè)狀態(tài)可用一個(gè)實(shí)數(shù)來表示。這樣就得到了一個(gè)定義在基本概念空間上的函數(shù)： 其次是對(duì)于一些最簡(jiǎn)單的復(fù)合事件如： 它應(yīng)該屬于事件域，因而也可以確定它的概率。這時(shí)就的確可以代表一個(gè)隨機(jī)變量了。這樣的被稱為隨機(jī)變量，用測(cè)度論的術(shù)語來說，隨機(jī)變量就是關(guān)于域可測(cè)的可測(cè)函數(shù)。1 預(yù)備知識(shí)1.1 隨機(jī)變量的定義 隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間為是定義在上實(shí)（單值）函數(shù)，稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的取值隨實(shí)驗(yàn)的結(jié)果而定，在實(shí)驗(yàn)前不能預(yù)知它取什么值，且它的取值有一定的概率。這是隨機(jī)變量與普通函數(shù)的本質(zhì)差異。1.2 離散型隨機(jī)變量的定義離散型隨機(jī)變量：可取的不相同的值為有限個(gè)或可列無限多個(gè)的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量，并稱 為離散型隨機(jī)變量X的分布律。它具有如下性質(zhì)：(1)非負(fù)性 (2)完備性 為了引入離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，先來觀察，討論數(shù)學(xué)期望的直觀模型，例1，設(shè)某班有學(xué)生人，其中年齡為的有人，。試求這個(gè)班學(xué)生的平均年齡。解：記這個(gè)班學(xué)生的平均年齡為，于是有 (其中是年齡的頻率)，顯然,可見：平均年齡是以頻率為加權(quán)的加權(quán)平均。如果近似地把看成一隨機(jī)變量，那么它發(fā)生的概率，即年齡的頻率近似地等于發(fā)生的概率。例2,設(shè)進(jìn)行次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，得到隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)分布如下：總計(jì)頻數(shù)頻率計(jì)算隨機(jī)變量的樣本平均值： 解：或者寫成下面的形式： 由此可見，隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)分布的樣本平均值與理論分布的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算法是完全類似的，這里只是用試驗(yàn)中的頻率代替了概率。當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，事件的頻率在對(duì)應(yīng)的概率的附近擺動(dòng)，所以當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，隨機(jī)變量的樣本平均值將在隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的附近擺動(dòng)，近似地看成數(shù)學(xué)期望。例3,求這個(gè)數(shù)的平均值。解：將這個(gè)數(shù)的平均值記為,則 把分子數(shù)據(jù)重新歸并，得到另一種平均值的形式： 上式表明，可以按頻率的加權(quán)平均來求這個(gè)數(shù)的平均值。如果將這個(gè)數(shù)分類整理成下表： 則有：其中是出現(xiàn)的頻率。如果隨機(jī)地從這個(gè)數(shù)中抽一個(gè)數(shù)，并用表示抽得的結(jié)果，則是一個(gè)隨機(jī)變量。若記，則上式中的頻率就等于概率，因此有上式表明，離散型隨機(jī)變量的取值與對(duì)應(yīng)的概率值相乘再求和，描述了該隨機(jī)變量的平均水平。數(shù)學(xué)期望：設(shè)離散型隨機(jī)變量的的概率分布為如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱該級(jí)數(shù)為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（或均值），簡(jiǎn)稱期望，記為當(dāng)取有限個(gè)（比如個(gè)）值時(shí)，有例,某推銷人與工廠約定，用船把一箱貨物按期無損的運(yùn)到目的地可獲得傭金元，若不按期則扣元，若貨物有損則扣元，若又不按期又有損壞的扣元。推銷人按他的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為，一箱貨物按期無損地運(yùn)到目的地有的把握，不按期到達(dá)占，貨物有損占，不按期又有損的占，試問推銷人在用船運(yùn)送貨物時(shí)，每箱期望得多少錢？假如推銷人一次運(yùn)箱貨物呢？解：設(shè)表示該推銷人用船運(yùn)送貨物時(shí)所得的錢數(shù)，則按題意，的分布為按數(shù)學(xué)期望的定義，該推銷人每箱期望所得(元)假如推銷人一次能押運(yùn)箱貨物，則他期望（平均）得到(元)2 離散型隨機(jī)變量的幾種分布2.1 01分布（兩點(diǎn)分布）隨機(jī)變量只取兩個(gè)值：與 即記為根據(jù)期望的定義有兩點(diǎn)分布的期望為：2.2 二項(xiàng)分布實(shí)驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果：與，則稱為貝努利實(shí)驗(yàn)。二項(xiàng)分布是重貝努利實(shí)驗(yàn)中發(fā)生次的概率，則有 記為,當(dāng)時(shí),二項(xiàng)分布就是分布。根據(jù)期望的定義及二項(xiàng)式定理，得 令（） 其中，2.3 泊松分布涉及“物質(zhì)流”（粒子流，旅客流等）的問題常用泊松分布來討論，又稱泊松流。記為根據(jù)期望的定義，并注意到級(jí)數(shù)有由此可見，泊松分布的參數(shù)恰好是它的數(shù)學(xué)期望。這樣，泊松分布參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義就明確了。例,某種子公司的某類種子不發(fā)芽率為，今購得該類種子粒，求這批種子的平均發(fā)芽數(shù)。解：設(shè)為這批種子的發(fā)芽數(shù)，又每粒種子的不發(fā)芽率為，則每粒種子的發(fā)芽率為，因?yàn)?且每粒種子是否發(fā)芽是相互獨(dú)立的，所以。于是，這批種子的發(fā)芽數(shù)為（粒）例,在一部篇幅很大的書籍中，發(fā)現(xiàn)只有的頁數(shù)沒有印刷錯(cuò)誤，如果假定每頁的錯(cuò)子個(gè)數(shù)是服從泊松分布的隨機(jī)變量，求每頁的平均錯(cuò)字個(gè)數(shù)。解：設(shè)為每頁的錯(cuò)字個(gè)數(shù)，則的分布為問題是求,依題意，一頁上不出現(xiàn)印刷錯(cuò)誤的概率為；而一頁上不出現(xiàn)錯(cuò)誤就是指出現(xiàn)錯(cuò)字的個(gè)數(shù)為，故有 于是這就是說，每頁的平均錯(cuò)字個(gè)數(shù)大約為個(gè)。3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)及期望3.1 一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義,設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，稱 為的分布函數(shù)。對(duì)任意的，顯然 可見，若已知的分布函數(shù)，就可知落在任一區(qū)間上的概率，分布函數(shù)是普通函數(shù)，它完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，它具有下列性質(zhì)（1）不減性，若,則（2）有界性，（3）右連續(xù)， 注設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為 則 假如的數(shù)學(xué)期望存在，則有 這是大家所熟知的事實(shí)，就是用的分布計(jì)算的數(shù)學(xué)期望。假如有一個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù),假如它的數(shù)學(xué)期望存在，如何計(jì)算呢？按數(shù)學(xué)期望的定義，這要分兩步進(jìn)行：第一步，先求出的分布。第二步，利用的分布計(jì)算設(shè)是離散型隨機(jī)變量，概率函數(shù)為 則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 式中級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的。 注例,設(shè)是僅取個(gè)值的隨機(jī)變量，其分布為 則是僅取個(gè)值的隨機(jī)變量，其分布為 解：按數(shù)學(xué)期望的定義，可得 其中，可見用的分布與用的分布計(jì)算結(jié)果是相同的。3.2 二維隨機(jī)變量及其概率分布設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間和是定義在上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的叫做二維隨機(jī)變量。定義：設(shè)是二維隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù),稱二元函數(shù)的（聯(lián)合）分布函數(shù)。 的幾何意義是隨機(jī)點(diǎn)落在平面上以為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率，而落在下列矩形域內(nèi)的概率為 有以下基本性質(zhì) (1)單調(diào)性，是的不減函數(shù)； (2)有界性， (3)右連續(xù)，關(guān)于右連續(xù)，即 , (4)非負(fù)性，有不等式 若全部可能取到的不相同的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì)時(shí)，則稱為離散型隨機(jī)變量；并稱 為的聯(lián)合分布律，且 類似地，可以得出二維離散型隨機(jī)變量的期望：設(shè)為二維隨機(jī)變量，它的聯(lián)合密度為,則函數(shù)的期望為若是離散型隨機(jī)變量，則 這里，級(jí)數(shù)和積分都是收斂的。 注3.3 多維隨機(jī)變量分布及其數(shù)學(xué)期望在有些隨機(jī)現(xiàn)象中，每個(gè)基本結(jié)果只用一個(gè)隨機(jī)變量去描述是不夠的，而要同時(shí)用多個(gè)，例如同時(shí)用個(gè)隨機(jī)變量去描述。這樣就引出了多維隨機(jī)變量的概念。定義 若隨機(jī)變量定義在同一基本空間上，則稱是一個(gè)維隨機(jī)變量。維隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望可以仿照一維隨機(jī)變量和二維隨機(jī)變量的相關(guān)定義得出，這里就不一一講述了。例,設(shè)隨機(jī)變量的分布律為求和。 解： 例,李老師喜歡在考試中出選擇題，但他知道有些學(xué)生即使不懂哪個(gè)是正確答案也會(huì)亂撞一通，隨便選一個(gè)答案，以圖僥幸。為了對(duì)這種不良風(fēng)氣加以處罰，唯一辦法就是對(duì)每一個(gè)錯(cuò)誤答案倒扣若干分。分析：假設(shè)每道選擇題有四個(gè)答案，只有一個(gè)是正確的。在某次考試中，李老師共出了道題，每題分，滿分是分。他決定每一個(gè)錯(cuò)誤答案倒扣若干分，但應(yīng)倒扣多少分才算合理呢？倒扣太多對(duì)學(xué)生不公平，但倒扣太少又起不到杜絕亂選的作用。倒扣的分?jǐn)?shù)應(yīng)該恰到好處，使亂選一通的學(xué)生一無所獲。換句話說，如果學(xué)生完全靠運(yùn)氣的話，他的總分的數(shù)學(xué)期望應(yīng)該是零。解：假定對(duì)每一個(gè)錯(cuò)誤答案倒扣分，而正確答案得分，隨意選一個(gè)答案，選到錯(cuò)誤答案的概率是，選到正確答案的概率是，所以總分的數(shù)學(xué)期望是 解得(分)即是對(duì)每一個(gè)錯(cuò)誤答案倒扣分，要是這樣，對(duì)一個(gè)只答對(duì)六成的學(xué)生（但不是亂選一通之流）來說，他的總分仍然有 (分)并不算不公平。例,某制藥廠試制一種新藥治療某種疾病。對(duì)人作臨床試驗(yàn)，其中人服用新藥，而另外人未服，有康復(fù)，其中人服用了新藥，問這種新藥療效如何？分析：無論病人服藥與否，可能的結(jié)果都有兩個(gè)：痊愈與未愈。所以為了能用概率方法來解決這個(gè)問題，應(yīng)該引入兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量；評(píng)價(jià)藥物療效如何，僅對(duì)兩組中的某個(gè)個(gè)體的治療效果進(jìn)行比較是不行的，而應(yīng)該比較兩組人的平均治療效果。解：引入表示病人服用新藥后的結(jié)果，表示病人未服用新藥后的結(jié)果，則 由題知故故比較和知，,故新藥物對(duì)治療此種病療效顯著。根據(jù)隨機(jī)變量的期望公式可推得期望的下列性質(zhì)： 其中，都是常數(shù)。下面將證明這些公式的來歷，以便于讀者理解和掌握。證明：這里,應(yīng)理解為, ，故證明：設(shè)的概率為,則證明：設(shè)的概率為，則證明:設(shè)的概率為,則結(jié)束語概率論中的數(shù)學(xué)期望（也稱均值）是概率論中的最重要的概念之一，它不但為古人解決法律公平，經(jīng)濟(jì)利益分配等問題帶來了幫助，而且，在現(xiàn)代，它更貫穿于社會(huì)生活的方方面面，為人們的生活帶來了很大的便利，因此，學(xué)好它就顯得很有必要。在解有關(guān)概率論中數(shù)學(xué)期望的問題時(shí)，先找出隨機(jī)變量的概率分布，再利用相關(guān)公式求解；在隨機(jī)變量的概率分布未知時(shí)，先求出隨機(jī)變量的概率分布，再利用相關(guān)公式求值。參考文獻(xiàn) David,Games,Gods and GamblimgM. 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