高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 高考22題各個(gè)擊破 專(zhuān)題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2.4.1 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值課件 文.ppt

2 4 壓軸大題1 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 方程 不等式 2 3 4 5 6 1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 1 函數(shù)f x 在x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線f x 在點(diǎn)p x0 f x0 處的切線的斜率 即k f x0 2 函數(shù)切線問(wèn)題的求解策略 用好切點(diǎn) 三重性 切點(diǎn)在函數(shù)圖象上 滿(mǎn)足函數(shù)解析式 切點(diǎn)在切線上 滿(mǎn)足切線方程 切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率 2 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 1 若f x 0在 a b 內(nèi)恒成立 則f x 在 a b 內(nèi)單調(diào)遞增 2 若f x 0在 a b 內(nèi)恒成立 則f x 在 a b 內(nèi)單調(diào)遞減 7 3 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的等價(jià)關(guān)系函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) f x 在 a b 任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0 f x 0 f x 在 a b 上為增函數(shù) f x 0 f x 在 a b 上為減函數(shù) 4 函數(shù)的極值 最值 1 若在x0附近左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 則f x0 為函數(shù)f x 的極小值 2 設(shè)函數(shù)y f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 則f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得 3 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞增 則f a 為函數(shù)的最小值 f b 為函數(shù)的最大值 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞減 則f a 為函數(shù)的最大值 f b 為函數(shù)的最小值 5 常見(jiàn)恒成立不等式 1 lnx x 1 2 ex x 1 8 6 構(gòu)造輔助函數(shù)的四種方法 1 移項(xiàng)法 證明不等式f x g x f x 0 f x g x 0 進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h x f x g x 2 構(gòu)造 形似 函數(shù) 對(duì)原不等式同解變形 如移項(xiàng) 通分 取對(duì)數(shù) 把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu) 根據(jù) 相同結(jié)構(gòu) 構(gòu)造輔助函數(shù) 3 主元法 對(duì)于 或可化為 f x1 x2 a的不等式 可選x1 或x2 為主元 構(gòu)造函數(shù)f x x2 或f x1 x 4 放縮法 若所構(gòu)造函數(shù)最值不易求解 可將所證明不等式進(jìn)行放縮 再重新構(gòu)造函數(shù) 9 7 函數(shù)不等式的類(lèi)型與解法 x d f x k f x max k x d f x k f x min k x d f x g x f x max g x min x d f x g x f x min g x max 8 含兩個(gè)未知數(shù)的不等式 函數(shù) 問(wèn)題的常見(jiàn)題型及具體轉(zhuǎn)化策略 1 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最小值 g x 在 c d 上的最大值 2 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最大值 g x 在 c d 上的最小值 3 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最小值 g x 在 c d 上的最小值 4 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的最大值 g x 在 c d 上的最大值 10 5 x1 a b 當(dāng)x2 c d 時(shí) f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域與g x 在 c d 上的值域交集非空 6 x1 a b x2 c d f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域 g x 在 c d 上的值域 7 x2 c d x1 a b f x1 g x2 f x 在 a b 上的值域 g x 在 c d 上的值域 2 4 1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 極值 最值 12 考向一 考向二 考向三 考向四 討論 判斷 證明單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間解題策略一分類(lèi)討論法 例1 2017全國(guó) 文21 已知函數(shù)f x ex ex a a2x 1 討論f x 的單調(diào)性 2 若f x 0 求a的取值范圍 難點(diǎn)突破 1 討論f x 的單調(diào)性 求函數(shù)的定義域 求導(dǎo)函數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào) 確定單調(diào)區(qū)間 2 討論a的取值范圍 求f x 導(dǎo)函數(shù) 確定f x 的單調(diào)區(qū)間 求f x 取最小值 解不等式f x max 0得a的范圍 合并a的范圍 13 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 函數(shù)f x 的定義域?yàn)?f x 2e2x aex a2 2ex a ex a 若a 0 則f x e2x 在 單調(diào)遞增 若a 0 則由f x 0得x lna 當(dāng)x lna 時(shí) f x 0 故f x 在 lna 單調(diào)遞減 在 lna 單調(diào)遞增 14 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào) 當(dāng)f x 含參數(shù)時(shí) 需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類(lèi)討論 2 若a 0 則f x e2x 所以f x 0 若a 0 則由 1 得 當(dāng)x lna時(shí) f x 取得最小值 最小值為f lna a2lna 從而當(dāng)且僅當(dāng) a2lna 0 即a 1時(shí) f x 0 15 考向一 考向二 考向三 考向四 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知函數(shù)f x lnx mx m r 1 若m 1 求曲線y f x 在點(diǎn)p 1 1 處的切線方程 2 討論函數(shù)f x 在 1 e 上的單調(diào)性 所以切線的斜率為0 所以切線方程為y 1 令h x mx 1 h x 是過(guò)點(diǎn) 0 1 的一次函數(shù) 當(dāng)m 0時(shí) 在 1 e 上h x 0 f x 0 所以函數(shù)f x 在 1 e 上單調(diào)遞增 當(dāng)m 0時(shí) h x 在 1 e 上是減函數(shù) 由h x 的圖象可知 16 考向一 考向二 考向三 考向四 所以函數(shù)f x 在 1 e 上單調(diào)遞增 當(dāng)0 1 即m 1時(shí) x 1 e h x 0 f x 0 函數(shù)f x 在 1 e 上單調(diào)遞減 17 考向一 考向二 考向三 考向四 解題策略二構(gòu)造函數(shù)法例2已知函數(shù)f x k為常數(shù) e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) 曲線y f x 在點(diǎn) 1 f 1 處的切線與x軸平行 1 求k的值 2 求f x 的單調(diào)區(qū)間 18 考向一 考向二 考向三 考向四 即h x 在 0 上是減函數(shù) 由h 1 0知 當(dāng)00 從而f x 0 當(dāng)x 1時(shí) h x 0 從而f x 0 綜上可知 f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 0 1 單調(diào)遞減區(qū)間是 1 解題心得通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性首先要判斷構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù) 因此 構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵在于其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否易求或易估 19 考向一 考向二 考向三 考向四 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)f x xea x bx 曲線y f x 在點(diǎn) 2 f 2 處的切線方程為y e 1 x 4 1 求a b的值 2 求f x 的單調(diào)區(qū)間 解 1 因?yàn)閒 x xea x bx 所以f x 1 x ea x b 解得a 2 b e 20 考向一 考向二 考向三 考向四 2 由 1 知f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0知 f x 與1 x ex 1同號(hào) 令g x 1 x ex 1 則g x 1 ex 1 所以 當(dāng)x 1 時(shí) g x 0 g x 在區(qū)間 1 上單調(diào)遞增 故g 1 1是g x 在區(qū)間 上的最小值 從而g x 0 x 綜上可知 f x 0 x 故f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 21 考向一 考向二 考向三 考向四 求函數(shù)的極值 最值解題策略一利用單調(diào)性求 1 若a 2 f x f x g x 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若函數(shù)g x ax b是函數(shù)f x lnx 圖象的切線 求a b的最小值 難點(diǎn)突破 1 求出f x 的導(dǎo)數(shù) 解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式 即得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 22 考向一 考向二 考向三 考向四 令f x 0 解得01 故f x 在 0 1 遞增 在 1 遞減 23 考向一 考向二 考向三 考向四 當(dāng)t 0 1 時(shí) t 0 t 在 1 上單調(diào)遞增 即有t 1時(shí) t 取得極小值 也為最小值 則a b t 1 1 故a b的最小值為 1 24 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得1 求最值的常用方法是由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性 由單調(diào)性確定極值 比較極值與定義域的端點(diǎn)值確定最值 2 對(duì)kf x 恒成立 求參數(shù)k的最值問(wèn)題 若求不出f x 的極值點(diǎn) 可先求極值點(diǎn)所在區(qū)間 再由極值點(diǎn)范圍求極值的范圍 由此得出參數(shù)的最值 25 考向一 考向二 考向三 考向四 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 2017北京 文20 已知函數(shù)f x excosx x 1 求曲線y f x 在點(diǎn) 0 f 0 處的切線方程 解 1 因?yàn)閒 x excosx x 所以f x ex cosx sinx 1 f 0 0 又因?yàn)閒 0 1 所以曲線y f x 在點(diǎn) 0 f 0 處的切線方程為y 1 26 考向一 考向二 考向三 考向四 2 設(shè)h x ex cosx sinx 1 則h x ex cosx sinx sinx cosx 2exsinx 27 考向一 考向二 考向三 考向四 解題策略二構(gòu)造函數(shù)法例4已知函數(shù)f x 滿(mǎn)足f x f 1 ex 1 f 0 x x2 1 求f x 的解析式及單調(diào)區(qū)間 2 若f x x2 ax b 求 a 1 b的最大值 ex a 1 x b 0 h x ex a 1 h x min a 1 a 1 ln a 1 b 0 a 1 b a 1 2 a 1 2ln a 1 a 1 0 令f x x2 x2lnx x 0 28 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 由已知得f x f 1 ex 1 f 0 x 所以f 1 f 1 f 0 1 即f 0 1 又f 0 f 1 e 1 所以f 1 e 由于f x ex 1 x 故當(dāng)x 0 時(shí) f x 0 從而 f x 在 0 單調(diào)遞減 在 0 單調(diào)遞增 29 考向一 考向二 考向三 考向四 2 由已知條件得ex a 1 x b 可得ex a 1 x0 設(shè)g x ex a 1 x 則g x ex a 1 當(dāng)x ln a 1 時(shí) g x 0 從而g x 在 ln a 1 單調(diào)遞減 在 ln a 1 單調(diào)遞增 故g x 有最小值g ln a 1 a 1 a 1 ln a 1 b a 1 a 1 ln a 1 30 考向一 考向二 考向三 考向四 因此 a 1 b a 1 2 a 1 2ln a 1 設(shè)h a a 1 2 a 1 2ln a 1 則h a a 1 1 2ln a 1 31 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得本例在 2 中 通過(guò)作差將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化 通過(guò)構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最小值得出關(guān)于a b的不等式 通過(guò)乘 a 1 得 a 1 b的關(guān)系式 再通過(guò)第二次構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)最大值得出結(jié)果 32 考向一 考向二 考向三 考向四 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4 2017河北邯鄲二模 理21 已知函數(shù)f x ax lnx f x ex ax 其中x 0 a 0 1 若f x 和f x 在區(qū)間 0 ln3 上具有相同的單調(diào)性 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 33 考向一 考向二 考向三 考向四 a0 即f x 在 0 上單調(diào)遞增 不合題意 當(dāng)a0 得x ln a 由f x 0 得0 x ln a f x 的單調(diào)減區(qū)間為 0 ln a 單調(diào)增區(qū)間為 ln a f x 和f x 在區(qū)間 0 ln3 上具有相同的單調(diào)性 ln a ln3 即a 3 綜上 a的取值范圍是 3 34 考向一 考向二 考向三 考向四 2 g x xeax 1 ax lnx 當(dāng)x e2時(shí) p x 0 當(dāng)0 x e2 p x 0 從而p x 在 0 e2 上單調(diào)遞減 在 e2 上單調(diào)遞增 35 考向一 考向二 考向三 考向四 h t h e2 0 m的最小值為0 36 考向一 考向二 考向三 考向四 解題策略三分類(lèi)討論法例5已知函數(shù)f x x3 2x2 2 a x 1 其中a r 1 若a 2 求曲線y f x 在點(diǎn) 1 f 1 處的切線方程 2 求f x 在區(qū)間 2 3 上的最大值和最小值 難點(diǎn)突破在 2 中求得f x 在某閉區(qū)間上的最值 因f x 是關(guān)于x的二次函數(shù) 判別式為 8a 所以求最值分兩個(gè)層次討論 第一層次是 8a 0和 8a 0 因 8a 0 f x 沒(méi)有極值點(diǎn) 函數(shù)單調(diào) 易求最值 當(dāng) 8a 0 因f x 有兩個(gè)極值點(diǎn) 所以第二層次討論以這兩個(gè)極值點(diǎn)與所給閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi) 37 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 f x 的定義域?yàn)閞 且f x 2x2 4x 2 a 即6x 3y 5 0 2 方程f x 0的判別式為 8a 當(dāng)a 0時(shí) f x 0 所以f x 在區(qū)間 2 3 上單調(diào)遞增 當(dāng)x變化時(shí) f x 和f x 的變化情況如下 38 考向一 考向二 考向三 考向四 當(dāng)0 a 2時(shí) x2 2 此時(shí)f x 在區(qū)間 2 3 上單調(diào)遞增 所以f x 在區(qū)間 2 3 上的最小值是f 2 2a 最大值是f 3 7 3a 當(dāng)2 a 8時(shí) x1 2 x2 3 此時(shí)f x 在區(qū)間 2 x2 上單調(diào)遞減 在區(qū)間 x2 3 上單調(diào)遞增 所以f x 在區(qū)間 2 3 上的最小值是 39 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得依據(jù)題意 對(duì)參數(shù)分類(lèi) 分類(lèi)后相當(dāng)于增加了一個(gè)已知條件 在增加條件的情況下 對(duì)參數(shù)的各個(gè)范圍逐個(gè)驗(yàn)證是否適合題意 最后適合題意的范圍即為所求范圍 這個(gè)范圍的最大值也就求出 當(dāng)a 8時(shí) x1 2 3 x2 此時(shí)f x 在區(qū)間 2 3 上單調(diào)遞減 所以f x 在區(qū)間 2 3 上的最小值是f 3 7 3a 最大值是f 2 2a 40 考向一 考向二 考向三 考向四 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5 2017遼寧鞍山一模 文20 已知函數(shù)f x lnx ax2 x a r 1 當(dāng)a 0時(shí) 求函數(shù)f x 在 1 f 1 處的切線方程 2 令g x f x ax 1 求函數(shù)g x 的極值 3 若a 2 正實(shí)數(shù)x1 x2滿(mǎn)足f x1 f x2 x1x2 0 證明x1 x2 1 解當(dāng)a 0時(shí) f x lnx x 則f 1 1 所以切點(diǎn)為 1 1 又f x 1 則切線斜率f 1 2 故切線方程為y 1 2 x 1 即2x y 1 0 41 考向一 考向二 考向三 考向四 42 考向一 考向二 考向三 考向四 3 證明當(dāng)a 2時(shí) f x lnx x2 x x 0 可知 t 在區(qū)間 0 1 上單調(diào)遞減 在區(qū)間 1 上單調(diào)遞增 t 1 1 x1 x2 2 x1 x2 1 43 考向一 考向二 考向三 考向四 證明函數(shù)有最值并求最值范圍解題策略零點(diǎn)分布法 例6 2017湖南邵陽(yáng)一模 文21 已知函數(shù)f x xlnx x2 直線l y k 2 x k 1 且k z 1 若 x0 e e2 使得f x0 0成立 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 2 設(shè)a 0 當(dāng)x 1時(shí) 函數(shù)f x 的圖象恒在直線l的上方 求k的最大值 解 可用求導(dǎo)的方法判斷h x 的單調(diào)性 再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求h x 的極值點(diǎn)x0的范圍 進(jìn)而求出最值h x0 的范圍 從而求出k的最大整數(shù)值即可 44 考向一 考向二 考向三 考向四 令g x 0 解得0e g x 在x 0 e 上遞增 在x e e2 上遞減 45 考向一 考向二 考向三 考向四 2 由題意可知xlnx x k 2 k 1在x 1 上恒成立 x 在x 1 上遞增 又 3 1 ln30 存在唯一實(shí)數(shù)x0 3 4 使得 x0 0 即x0 lnx0 2 0 lnx0 x0 2 h x 在x 1 x0 上遞減 在x x0 上遞增 46 考向一 考向二 考向三 考向四 k h x min 又k z k的最大值為4 解題心得在證明函數(shù)f x 有最值及求最值范圍時(shí) 若f x 0解不出 可運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理求出極值點(diǎn)t存在的范圍 從而用t表示出最值 此時(shí)最值是關(guān)于t的函數(shù) 通過(guò)函數(shù)關(guān)系式求出最值的范圍 47 考向一 考向二 考向三 考向四 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6已知函數(shù)f x x 2 ex a x 2 2 x 0 1 若f x 是 0 的單調(diào)遞增函數(shù) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 2 當(dāng)a 時(shí) 求證 函數(shù)f x 有最小值 并求函數(shù)f x 最小值的取值范圍 48 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 由題意 得f x ex x 2 ex 2ax 4a 函數(shù)f x 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞增 f x 0在 0 上恒成立 ex x 2 ex 2ax 4a 0 即g x 在 0 上遞減 49 考向一 考向二 考向三 考向四 2 f x ex x 2 ex 2ax 4a f x x ex 2a 0 y f x 在 0 上單調(diào)遞增 又f 0 4a 10 存在t 0 1 使f t 0 x 0 t 時(shí) f x 0 當(dāng)x t時(shí) f x min f t t 2 et a t 2 2 由f t 0 即et t 1 2a t 2 0 50 考向一 考向二 考向三 考向四 f t 在 0 1 上遞減 f 1 f t f 0 e f t 1 f x 的最小值的取值范圍是