【全程復習方略】高中數學 3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示課時作業(yè) 新人教A版選修21 (1).doc

空間向量的正交分解及其坐標表示(30分鐘50分)一、選擇題(每小題3分,共18分)1.已知a,b,c是空間的一個基底,則可以與向量p=a+b,q=a-b構成基底的向量是()a.ab.bc.a+2bd.a+2c【解析】選d.能與p,q構成基底,則與p,q不共面.因為a=p+q2,b=p-q2,a+2b=32p-12q,所以a,b,c都不合題意.因為a,b,c為基底,所以a+2c與p,q不共面,可構成基底.2.(2014濟寧高二檢測)設o-abc是四面體,g1是abc的重心,g是og1上的一點,且og=3gg1.若og=xoa+yob+zoc,則(x,y,z)為()a.14,14,14b.34,34,34c.13,13,13d.23,23,23【解析】選a.因為og=34og1=34(oa+ag1)=34oa+342312(ab+ac)=34oa+14(ob-oa)+(oc-oa)=14oa+14ob+14oc,而og=xoa+yob+zoc,所以x=14,y=14,z=14.3.(2014成都高二檢測)若向量ma,mb,mc的起點m和終點a,b,c互不重合且無三點共線,則能使向量ma,mb,mc成為空間一個基底的關系是()a.om=13oa+13ob+13ocb.ma=mb+mcc.om=oa+ob+ocd.ma=2mb-mc【解析】選c.對于選項a,由結論om=xoa+yob+zoc(x+y+z=1)m,a,b,c四點共面知,ma,mb,mc共面;對于b,d選項,易知ma,mb,mc共面,故只有選項c中ma,mb,mc不共面.4.(2014蘭州高二檢測)已知點a在基底a,b,c下的坐標為(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,則點a在基底i,j,k下的坐標為()a.(12,14,10)b.(10,12,14)c.(14,10,12)d.(4,2,3)【解析】選a.8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,所以點a在基底i,j,k下的坐標為(12,14,10).5.(2014西安高二檢測)已知空間四邊形oabc,m,n分別是oa,bc的中點,且oa=a,ob=b,oc=c,用a,b,c表示向量mn為()a.12a+12b+12cb.12a-12b+12cc.-12a+12b+12cd.-12a+12b-12c【解析】選c.如圖所示,連接on,an,則on=12(ob+oc)=12(b+c),an=12(ac+ab)=12(oc-2oa+ob)=12(-2a+b+c)=-a+12b+12c,所以mn=12(on+an)=-12a+12b+12c.【變式訓練】如圖所示,空間四邊形oabc中,g是abc的重心,d為bc的中點,h為od的中點.設oa=a,ob=b,oc=c,試用向量a,b,c表示向量gh.【解析】gh=oh-og.因為oh=12od=12(ob+oc)=12(b+c),og=oa+ag=oa+23ad=oa+23(od-oa)=13oa+2312(ob+oc)=13a+13(b+c),所以gh=12(b+c)-13a-13(b+c)=-13a+16b+16c,即gh=-13a+16b+16c.6.已知e1,e2,e3為空間的一個基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3, d=e1+2e2+3e3,d=a+b+c,則,分別為()a.52,-1,-12b.1,2,3c.1,1,1d.1,-1,1【解析】選a.因為d=(e1+e2+e3)+(e1+e2-e3)+(e1-e2+e3)=(+)e1+(+-)e2+(-+)e3=e1+2e2+3e3,所以+=1,+-=2,-+=3,解得=52,=-1,=-12.【拓展延伸】用基底表示向量的三個關注點(1)若a,b,c不共面,則對空間任一向量p=xa+yb+zc,(x,y,z)是惟一的.(2)用基底表示向量,可從要表示的向量入手,運用向量線性運算的法則,結合圖形逐步向基向量轉化.(3)求a在單位正交基底下的坐標,關鍵先依據條件結合圖形建立空間直角坐標系,將a表示為a=xe1+ye2+ze3.二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2014南昌高二檢測)設i,j,k是空間向量的一個單位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,則向量a,b的坐標分別是.【解析】a的坐標為(2,-4,5),b的坐標為(1,2,-3).答案:(2,-4,5),(1,2,-3)8.如圖,在正方體abcd-a1b1c1d1中,用ac,ab1,ad1作為基向量,則ac1=.【解析】2ac1=2aa1+2ad+2ab=(aa1+ad)+(aa1+ab)+(ad+ab)=ad1+ab1+ac,所以ac1=12(ad1+ab1+ac).答案:12(ad1+ab1+ac)9.(2014長春高二檢測)如圖所示,直三棱柱abc-a1b1c1中,abac,d,e分別為aa1,b1c的中點,若記ab=a,ac=b,aa1=c,則de=(用a,b,c表示).【解析】de=da1+a1e=12aa1+12(a1b1+a1c)=12aa1+12(ab+ac-aa1)=12c+12(a+b-c)=12a+12b.答案:12a+12b【一題多解】在三角形b1dc中,因為e為b1c的中點,利用平行四邊形法則有de=12(db1+dc),db1=da1+a1b1=12aa1+a1b1=12aa1+ab=12c+a,dc=da+ac=12a1a+ac=-12c+b.所以三、解答題(每小題10分,共20分)10.(2014安慶高二檢測)如圖,在棱長為2的正方體abcd-a1b1c1d1中,以底面正方形abcd的中心為坐標原點o,分別以射線ob,oc,aa1的方向為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標系.試寫出正方體頂點a1,b1,c1,d1的坐標.【解析】設i,j,k分別是與x軸、y軸、z軸的正方向方向相同的單位坐標向量.因為底面正方形的中心為o,邊長為2,所以ob=2.由于點b在x軸的正半軸上,所以ob=2i,即點b的坐標為(2,0,0).同理可得c(0,2,0),d(-2,0,0),a(0,-2,0).又ob1=ob+bb1=2i+2k,所以ob1=(2,0,2).即點b1的坐標為(2,0,2).同理可得c1(0,2,2),d1(-2,0,2),a1(0,-2,2).11.如圖所示,在平行六面體abcd-abcd中,ab=a,ad=b,aa=c,p是ca的中點,m是cd的中點,n是cd的中點,點q在ca上,且cqqa=41,用基底a,b,c表示以下向量:(1)ap.(2)am.(3)an.(4)aq.【解題指南】利用空間圖形中的平面圖形如三角形、平行四邊形建立目標向量與已知向量間的關系.【解析】連接ac,ad.(1)ap=12(ac+aa)=12(ab+ad+aa)=12(a+b+c).(2)am=12(ac+ad)=12(ab+2ad+aa)=12(a+2b+c).(3)an=12(ac+ad)=12(ab+ad+aa)+(ad+aa)=12(ab+2ad+2aa)=12a+b+c.(4)aq=ac+cq=ac+45(aa-ac)=15ac+45aa=15ab+15ad+45aa=15a+15b+45c.【變式訓練】(2014牡丹江高二檢測)如圖,已知正方體abcd-abcd,點e是上底面abcd的中心,分別取向量ab,ad,aa為基向量,若(1)bd=xad+yab+zaa,試確定x,y,z的值.(2)ae=xad+yab+zaa,試確定x,y,z的值.【解析】(1)因為bd=bd+dd=ba+ad+dd=-ab+ad+aa,又bd=xad+yab+zaa,所以x=1,y=-1,z=1.(2)因為ae=aa+ae=aa+12ac=aa+12(ab+ad)=aa+12ab+12ad=12ad+12ab+aa,又ae=xad+yab+zaa,所以x=12,y=12,z=1.(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2014南寧高二檢測)有以下命題:如果向量a,b與任何向量不能構成空間向量的一個基底,那么a,b的關系是不共線;o,a,b,c為空間四點,且向量oa,ob,oc不構成空間的一個基底,則點o,a,b,c一定共面;已知向量a,b,c是空間的一個基底,則向量a+b,a-b,c也是空間的一個基底.其中正確的命題是()a.b.c.d.【解析】選c.如果向量a,b與任何向量不能構成空間向量的一個基底,那么a,b的關系是共線的;如果a,b有一個向量為零向量,共線但不能構成空間向量的一組基底,所以不正確.o,a,b,c為空間四點,且向量oa,ob,oc不構成空間的一個基底,那么點o,a,b,c一定共面,這是正確的.已知向量a,b,c是空間的一個基底,則向量a+b,a-b,c也是空間的一個基底;因為三個向量非零且不共線,正確.故選c.2.(2014廣州高二檢測)在三棱錐s-abc中,g為abc的重心,則有()a.sg=12(sa+sb+sc)b.sg=13(sa+sb+sc)c.sg=14(sa+sb+sc)d.sg=sa+sb+sc【解析】選b.sg=sa+ag=sa+13(ab+ac)=sa+13(sb-sa)+13(sc-sa) =13(sa+sb+sc).3.如圖,在三棱柱abc-a1b1c1中,m為a1c1的中點,若ab=a,aa1=c,bc=b,則下列向量與bm相等的是()a.-12a+12b+cb.12a+12b+cc.-12a-12b+cd.12a-12b+c【解析】選a.bm=bb1+b1m=aa1+12(b1a1+b1c1)=aa1+12(ba+bc)=12(-a+b)+c=-12a+12b+c.4.(2014泰安高二檢測)已知向量a,b,c是空間的一基底,向量a+b,a-b,c是空間的另一基底,一向量p在基底a,b,c下的坐標為(1,2,3),則向量p在基底a+b,a-b,c下的坐標為()a.12,32,3b.32,-12,3c.3,-12,32d.-12,32,3【解析】選b.設p在基底a+b,a-b,c下的坐標為(x,y,z),則p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=32,y=-12,z=3,故p在基底a+b,a-b,c下的坐標為32,-12,3.【舉一反三】若把題目中的“基底a,b,c”與“基底a+b,a-b,c”互換,結果如何?【解析】設p在基底a,b,c下的坐標為(x,y,z),由向量p在基底a+b,a-b,c下的坐標為(1,2,3),得p=(a+b)+2(a-b)+3c=3a-b+3c=xa+yb+zc,所以x=3,y=-1,z=3,故p在基底a,b,c下的坐標為(3,-1,3).二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2014福州高二檢測)在平行六面體abcd-a1b1c1d1中,若ac1=xab+2ybc+3zc1c,則x+y+z=.【解析】如圖所示,有ac1=ab+bc+cc1=ab+bc+(-1)c1c.又因為ac1=xab+2ybc+3zc1c,所以x=1,2y=1,3z=-1,解得x=1,y=12,z=-13.所以x+y+z=1+12-13=76.答案:766.設a,b,c是三個不共面的向量,現從a+b;a-b;a+c;b+c;a+b-c中選出一個,使其與a,b構成空間向量的一個基底,則可以選擇的向量有 .【解題指南】判斷a,b,c可否作為空間的一個基底,即判斷a,b,c是否共面,若不共面則可以作為基底,否則不能作為基底,實際判斷時,假設a=b+c,運用空間向量基本定理建立,的方程組,若有解則共面,否則不共面.【解析】a+b,a-b均與a,b共面.事實上以a,b為鄰邊作平行四邊形oacb,令oa=a,ob=b,oc=a+b,ba=a-b,而共面向量不可以作為空間向量的基底.答案:三、解答題(每小題12分,共24分)7.已知正方體abcd-a1b1c1d1的棱長為1,點e,f分別在線段a1d,ac上,且efa1d,efac,以點d為坐標原點,da,dc,dd1分別作為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系(如圖所示).(1)試求向量ef的坐標.(2)求證:efbd1.【解題指南】確定此空間向量的單位正交基底,并用單位正交基底表示向量ef,bd1,從而使問題得解.【解析】(1)因為正方體abcd-a1b1c1d1的棱長為1,根據題意知da,dc,dd1為單位正交基底,設da=i,dc=j,dd1=k,所以向量ef可用單位正交基底i,j,k表示,因為ef=ed+dc+cf,ed與da1共線,cf與ca共線,所以設ed=da1,cf=ca,則ef=da1+dc+ca=(da+dd1)+dc+(da-dc)=(+)da+(1-)dc+dd1=(+)i+(1-)j+k,因為efa1d,efac,即efa1d,efac,所以efa1d=0,efac=0,又a1d=-i-k,ac=-i+j,所以,整理得-(+)-=0,-(+)+(1-)=0,即2+=0,+2=1,解得=-13,=23,所以ef=13i+13j-13k所以ef的坐標是(13,13,-13).(2)因為bd1=bd+dd1=-i-j+k,所以ef=-13bd1,即ef與bd1共線,又ef與bd1無公共點,所以efbd1.8.(20