信息及其數(shù)學(xué)表達(dá).pdf

1999年8月系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐第8期 信息及其數(shù)學(xué)表達(dá) 劉開第 龐彥軍 吳和琴 姚立根 河北建筑科技學(xué)院不確定性數(shù)學(xué)研究所 河北 邯鄲056038 摘要 簡(jiǎn)述消息的含義 在此基礎(chǔ)上建立了信息的概念及運(yùn)算 并給出灰信息 模糊信息 未確知信息 隨機(jī)信息的定義及數(shù)學(xué)表達(dá) 關(guān)鍵詞 消息 信息 盲信息 Information then from this sets up the concept and operationsof information Further it gives the definitions andmathematicalex2 pressionsof grey information fuzzy information unascertained information random infor2 mation respectively Keywords new s information blind information 0 前言 只包含一種不確定性的信息稱為單式信息 那么 人們現(xiàn)在認(rèn)識(shí)到的單式信息有隨機(jī)信息 模糊信息 灰 信息和未確知信息 并且各有相應(yīng)的數(shù)學(xué)處理方法 概率與統(tǒng)計(jì) 模糊數(shù)學(xué) 灰色數(shù)學(xué)和未確知數(shù)學(xué) 但是 實(shí)際中 信息往往含有兩種以上不確定性 如隨機(jī)性與模糊性共存 這種情況下的信息處理稱作 信息綜合 處理 這是目前國內(nèi)外研究的一個(gè)熱點(diǎn) 王光遠(yuǎn)院士與他的博士生張躍用模糊隨機(jī)微分方程去描述隨機(jī) 性 模糊性共存時(shí)的模糊 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng) 在信息的綜合處理方面作了卓有成效的嘗試 我們?cè)谛畔⒕C合處 理研究方面的思路是 分析不確定性信息自身的特點(diǎn) 尋求各種不確定性信息間的聯(lián)系與差異 在運(yùn)算一致 的前提下 建立能包含兩種以上不確定性的新信息 即盲信息概念 那么 信息綜合處理即是盲信息的處理 為此 必須明確信息及各種不確定性信息的概念及其數(shù)學(xué)表現(xiàn) 1 信息概念 定義1 1 大量物質(zhì)以川流不息的特殊運(yùn)動(dòng)方式表現(xiàn)出的屬性集合稱為客體 定義1 2 使人們減少未知程度的客體稱為消息 定義1 3 若由消息A必然得知消息B 則稱A是B的子消息 記作A B 定義1 4 人們想知道的事物記為x 稱x為一個(gè)欲知元 定義1 5 設(shè)x為欲知元 則一切消息對(duì)x而言可分為兩類 如果消息A能使人得知x的情況 稱A 為x的相關(guān)消息 記作A x 否則 稱A為x的無關(guān)消息 記作A x 收稿日期 1998212204 資助項(xiàng)目 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 編號(hào)69675003 河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 編號(hào)696391 699319 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 定義1 6 設(shè)x是欲知元 U是一個(gè)消息 S是一個(gè)非空Cantor集 若U為 x在S中 則稱U為x的 限位消息 對(duì)任意的消息A 若A U 則稱A是x的關(guān)于限位消息U的信息 簡(jiǎn)稱信息 2 信息的運(yùn)算及性質(zhì) 設(shè)A B C為信息 A與B的和是指這樣的信息 它使人的得知相當(dāng)于A或B使人的得知 記作A B A與B的積是指這樣的信息 它使人的得知是A與B使人得知的公共部分 記作A B或AB A的逆信息是指這樣的信息 它使人得知A信息不正確 記作A A與B的差定義為A B 記為A B 信息運(yùn)算具有下列性質(zhì) 性質(zhì)2 1 A B B A A B B A 性質(zhì)2 2 A B C A B C A B C A B C 性質(zhì)2 3 A B C A C B C 性質(zhì)2 4 A A A A A A 規(guī)定 在同一式中出現(xiàn)和與積運(yùn)算時(shí) 先算積運(yùn)算后算和運(yùn)算 則性質(zhì)2 3可寫成 A B C A C B C 3 灰信息 定義3 設(shè)x是欲知元 S是非空Cantor集 S S U為 x在S中 A為 x在S 中 則稱A為灰信息 取S為實(shí)數(shù)集R S 2 3 U為 x在S中 A為 x在S 中 顯然 U是x的限位消息 A是關(guān)于U 的信息 由定義3知A是灰信息 信息A僅僅使人得知欲知元x是區(qū)間 2 3 中的數(shù) 并未告知x的確切值 所以 灰信息僅使人得知欲 知元所在范圍 卻不知范圍中的具體位置 設(shè)E為論域 映射 和 為 E 0 1 u E u u 0 1 E 0 1 u E u u 0 1 并且 u u u E 則以 和 為上 下隸屬函數(shù)確定的論域E上的集合G稱為E的灰子集 u 和 u 分別稱為元素u對(duì)集合G的上 下隸屬度 若E R 則稱G為灰數(shù) 如果A是灰信息 即對(duì)給定的欲知元x 存在非空Cantor集S 限位消息U為 x在S中 信息A為 x 在S 中 S S 令 u 1 u S 0 u S 且u S x 0 u S 以 u 和 u 為上 下隸屬函數(shù)確定的S 上的灰子集G恰好表達(dá)了灰信息A 4 隨機(jī)信息與未確知信息 定義4 設(shè)x是欲知元 S是非空Cantor集 U為 x在S中 A為 x在S中并且x是e S的可能性為 e 0 e 1 若6 e 1 稱A為隨機(jī)信息 若6 e 1 則稱A為未確知信息 例如 x是欲知元 S是實(shí)數(shù)集R U為 x在S中 A為 x在S中并且x是1的可能性 1 1 4 x是2的 可能性 2 3 4 由定義4知 A是隨機(jī)信息 若 1 1 4 2 1 3 則A為未確知信息 設(shè)A是隨機(jī)信息或未確知信息 即對(duì)給定的欲知元x 存在非空Cantor集S R 限位消息U為 x在S 中 A為 x在S中并且x是e S的可能性為 e 0 e 1 6 e 1 不妨設(shè)S為有限集 令 29系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐1999年8月 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved x e x e S 0 x S且x R 則A m inS maxS x 是一個(gè)未確知有理數(shù) 并且恰好為信息A的數(shù)學(xué)表達(dá) 當(dāng)6 e 1時(shí) A是離散型隨機(jī)變量的分布密度 當(dāng)6 e 1時(shí) A表達(dá)的是未確知信息 5 確知信息與模糊信息 定義5 設(shè)x是欲知元 S是非空Cantor集 U為 x在S中 A為 x在S中并且x是e S的從屬度 為 e 則稱A是模糊信息 若對(duì)任意e S 有 e 0或 e 1 則稱A是確知信息 也稱為白信息 設(shè)x是欲知元 S 1 2 3 U為 x在S中 A為 x在S中并且x是1的從屬度 1 0 x是2的從屬 度 2 1 x是3的從屬度 3 0 顯然A是信息 并且A是白信息 或者說由A知x 2 若A改為 x在S中 并且x是1 2 3的從屬度分別為 1 0 2 1 3 3 1 4 則A為模糊信息 若將 從屬度改為可能性 則A為未確知信息 若A改為 x在S中并且x是1 2 3的從屬度 1 0 2 1 3 3 1 則A為模糊信息 若將從屬度改為可能性 則A既不是模糊信息也不是未確知信息 因?yàn)榭偪赡苄源笥?1 稱A為矛盾信息 由此看出 從屬度與可能性的含義是不同的 x是e S的從屬度為 e 是指e這個(gè)元素實(shí)實(shí)在在有 整 體的 e部分屬于x 并且不受歸一化條件限制 即6 e可以大于1 而x是e S的可能性為 e 僅指可能 而已 并非說e必定有 整體的 e部分屬于x 并且 e嚴(yán)格滿足6 e 1 設(shè)E為論域 映射 滿足 x E x 0 1 則以 x 為隸屬函數(shù)確定了E上的一個(gè)模糊子集A x 表示E中元素x隸屬于集合A的程度 若A為模糊信息 即對(duì)欲知元x 存在非空Cantor集S 限位消息U為 x在S中 A為 x是e S的從 屬度為 e 0 e 1 取S為論域 令 x x x S 則以 x 為隸屬函數(shù)確定了S上的一個(gè)模糊子集A A恰好為模糊信息A的數(shù)學(xué)表達(dá) 例如 甲是年青人 是個(gè)模糊信息A 令 x 1 0 x 25 1 x 25 5 2 1 25 x 50 則以 x 為隸屬函數(shù) 該函數(shù)是L A Zadeh所給 確定了論域 0 50 上的一個(gè)模糊子集A A恰好是模糊 信息A的數(shù)學(xué)表達(dá) 6 盲信息 灰信息 模糊信息 未確知信息和隨機(jī)信息均稱為單式信息 任意復(fù)雜的信息稱為信息混沌 在信息混 沌類中 最多只同時(shí)具有灰性 模糊性 未確知性和隨機(jī)性四種不確定性的信息稱為盲信息 由于盲信息大 量存在 所以 研究盲信息的表達(dá)和處理 即綜合處理上述四種不確定性信息具有重要的理論和實(shí)踐意義 參 考 文 獻(xiàn) 1 鄧聚龍 灰色系統(tǒng)理論教程 武漢 華中理工大學(xué)出版社 1990 2 王光遠(yuǎn) 未確知信息及其數(shù)學(xué)處理