高一數(shù)列通項(xiàng)公式常見求法.doc

數(shù)列通項(xiàng)公式的常見求法一、公式法高中重點(diǎn)學(xué)了等差數(shù)列和等比數(shù)列，當(dāng)題中已知數(shù)列是等差或等比數(shù)列，在求其通項(xiàng)公式時(shí)我們就可以直接利用等差或等比數(shù)列的公式來求通項(xiàng)，只需求得首項(xiàng)及公差公比。1、等差數(shù)列公式例1、已知等差數(shù)列an滿足a2=0，a6+a8=-10，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知條件可得 解得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 2、等比數(shù)列公式例2、設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，求的通項(xiàng)公式。解：設(shè)q為等比數(shù)列的公比，則由，即，解得（舍去），因此所以的通項(xiàng)為3、通用公式若已知數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式 求解。一般先求出，若計(jì)算出的中當(dāng)n=1適合時(shí)可以合并為一個(gè)關(guān)系式，若不適合則分段表達(dá)通項(xiàng)公式。例3、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式。解：，當(dāng)時(shí) 由于不適合于此等式 。 二、當(dāng)題中告訴了數(shù)列任何前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的遞推關(guān)系即：和的關(guān)系時(shí)，我們可以根據(jù)具體情況采用下列方法：1、累加法一般地，對于形如類型的通項(xiàng)公式，且的和比較好求，我們可以采用此方法來求。 即：。例4、數(shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列且若則，則A0 B3 C8 D11解：由已知知由累加法例5、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由題知： 2、累乘法一般地對于形如“已知a1，且（為可求積的數(shù)列）”的形式可通過累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即：；例6、在數(shù)列中， =1, (n+1)=n，求的表達(dá)式。解：由(n+1)=n得，= 所以3、構(gòu)造法當(dāng)數(shù)列前一項(xiàng)和后一項(xiàng)即和的遞推關(guān)系較為復(fù)雜時(shí)，我們往往對原數(shù)列的遞推關(guān)系進(jìn)行變形，重新構(gòu)造數(shù)列，使其變?yōu)槲覀儗W(xué)過的熟悉的數(shù)列（等比數(shù)列或等差數(shù)列）。具體有以下幾種常見方法。（1）待定系數(shù)法：形如,其中)型（1）若c=1時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列;（2）若d=0時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時(shí)，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.待定系數(shù)法：設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得,所以所以有：因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，所以 即：.例7、已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解： 又是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列 ，即.練習(xí)、已知數(shù)列中，求通項(xiàng)。答案：（2）倒數(shù)法一般地形如、等形式的遞推數(shù)列可以用倒數(shù)法將其變形為我們熟悉的形式來求通項(xiàng)公式。例8、已知數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式。 解：原式兩邊取倒數(shù)得： ，即例9、在數(shù)列中，并且對任意都有成立，令,求數(shù)列的通項(xiàng)公式 .解：當(dāng)n=1時(shí)，, 當(dāng)時(shí)，由 ，等式兩邊取倒數(shù)得：所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（3）對數(shù)法當(dāng)數(shù)列和an-1的遞推關(guān)系涉及到高次時(shí)，形如：anp = man-1q（其中m、p、q為常數(shù)）等，我們一般采用對數(shù)法，等式兩邊分別取對數(shù)，進(jìn)行降次，再重新構(gòu)造數(shù)列進(jìn)行求解。例10、若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=。解：由題意知0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列， ，即。三 、階差法（逐項(xiàng)相減法） 1、遞推公式中既有，又有（當(dāng)題中給出的是和的關(guān)系時(shí)，我們一般通過作差法結(jié)合這個(gè)通用公式對原等式進(jìn)行變形，消掉得到和的遞推關(guān)系，或消掉得到和的遞推關(guān)系，然后重新構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)公式）。 分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。例11、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，且，求的通項(xiàng)公式；解：由，解得a11或a12，由假設(shè)a1S11，因此a12。又由an+1Sn+1- Sn，得an+1- an-30或an+1-an因an0，故an+1-an不成立，舍去。因此an+1- an-30。從而an是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故an的通項(xiàng)為an3n-2。例12、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知，設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列 解：由及，有由， 則當(dāng)時(shí)，有得又，是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列練習(xí)、已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案： 2、對無窮遞推數(shù)列逐項(xiàng)相減法（階差法）：有時(shí)我