7、教師版三角函數(shù)周期性(含答案).doc

三角函數(shù)的周期性考點六、三角函數(shù)周期性（一）周期性的基本概念一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.由此可知，2，4，2，4，2k(kZ且k0)都是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期.對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.根據(jù)上述定義，可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù),2k(kZ且k0)是它的周期，最小正周期是2.正切函數(shù)是周期函數(shù)，且周期T（2）求三角函數(shù)的周期1、定義法求函數(shù)的周期1、 求下列函數(shù)的周期 , (1)分析：根據(jù)周期函數(shù)的定義，問題是要找到一個最小正數(shù)，對于函數(shù)定義域內的每一個值都能使成立，同時考慮到正弦函數(shù)的周期是解： , 即 當自變量由增加到時，函數(shù)值重復出現(xiàn)，因此的周期是(2) 分析：根據(jù)周期函數(shù)的定義，問題是要找到一個最小正數(shù)，對于函數(shù)定義域內的每一個值都能使 成立，同時考慮到正切函數(shù)的周期是解： , 即 函數(shù)的周期是注意：1、根據(jù)周期函數(shù)的定義，周期是使函數(shù)值重復出現(xiàn)的自變量的增加值，如周期不是，而是； 2、是定義域內的恒等式，即對于自變量取定義域內的每個值時，上式都成立評注：這種方法依據(jù)周期函數(shù)的定義，從式子出發(fā)，設法找出周期中的最小正數(shù)（須用反證法證明）2、求下列三角函數(shù)的周期： y=sin(x+) y=cos2x y=3sin(+)3、 求函數(shù)f（x）=tan（2x+）的周期解：因為tan（2x+ +）=tan（2x+）即tan2（x+）+=tan（2x+）tan（2x+）的周期是2、公式法求函數(shù)周期對于函數(shù)或的周期公式是，對于函數(shù)或的周期公式是1、 求函數(shù)的周期解： 2設的最小正周期是（）3已知函數(shù)（）的最小正周期是，則（）4函數(shù)ytan（ax）（a0）的最小正周期為 ( ) 3、圖像法1、求下列函數(shù)的最小正周期解：分別作出兩個函數(shù)的圖像知的周期不是周期函數(shù)評注：對于一些含有絕對值的三角函數(shù)周期問題，?？山柚谌呛瘮?shù)的圖像來解決 4、最小公倍數(shù)法1、設與是定義在公共集合上的兩個三角周期函數(shù)，、分別是它們的周期，且，則的最小整周期是、的最小公倍數(shù)分數(shù)的最小公倍數(shù)1求函數(shù)的最小整周期解：設、的最小整周期分別為、，則，的最小整周期為2 求函數(shù)的周期解： 的最小正周期是， 的最小正周期是 函數(shù)的周期 ，把代入得 ，即， 因為為正整數(shù)且互質， 所以 函數(shù)的周期 3 求函數(shù)的周期解： 的最小正周期是，的最小正周期是，由， ， (為正整數(shù)且互質), 得 所以 函數(shù)的周期是 4、求函數(shù)的最小正周期解：（）是函數(shù)的周期顯然中最小者是下面證明是最小正周期假設不是的最小正周期，則存在，使得：對恒成立，令，則但，與矛盾，假設不成立，是最小正周期（二）一般函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).1、若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=-f(x)(a0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周期。2、 若函數(shù)，則是以為周期的周期函數(shù)3、 y=f(x)滿足f(x+a)= (a0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周期。5、若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)= (a0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周期。6、，則是以為周期的周期函數(shù).7、，則是以為周期的周期函數(shù).8、 若函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a,x=b(ba)都對稱,則f(x)為周期函數(shù)且2（b-a）是它的一個周期。10、函數(shù)的圖象關于兩點、都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；11、函數(shù)的圖象關于和直線都對稱，則函數(shù) 是以為周期的周期函數(shù)；考點一、求函數(shù)值1、f(x) 是R上的奇函數(shù)f(x)= f(x+4) ，x0，2時f(x)=x，求f(2007) 的值 解：方法一 f(x)=f(x+4) f(x+8) =f(x+4) =f(x) 8是f(x)的一個周期 f(2007)= f(2518-1)=f(-1)=f(1)=1 方法二f(x)=f(x+4)，f(x)是奇函數(shù) f(-x)=f(x+4) f(x)關于x=2對稱 又f(x)是奇函數(shù) 8是f(x)的一個周期，以下與方法一相同. 2、已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 解：由條件知f(x)1，故類比命題1可知，函數(shù)f(x)的周期為8，故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=23.（2009江西卷文）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對于，都有，且當時，則的值為 （ ）A B C D4、函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則_5、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),則,f(6)的值為(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)26(2008年德州檢測)定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)若f(x)的最小正周期是，且當x時，f(x)sin x，則f的值為()A B. C. D. 答案D考點二、 求函數(shù)解析式1、已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，且當時，f(x)=2x+1，則當時求f(x)的解析式解：當時f(x)=2x+1f(x)是偶函數(shù)f(x)=f(x) f(x)=2x+1當時f(4+x)=2(4+x)+1=2x7又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，類比命題3（1）知函數(shù)f(x)的周期為4故f(-4+x)=f(x) 當時求f(x)=2x7考點三、判斷函數(shù)的奇偶性1、已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=，類比命題1可知，函數(shù)f(x)的周期為1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999x)知f(x)關于x=999對稱，即f(x)=f(1998+x)故f(x)=f(x) f(x)是偶函數(shù)考點四、判斷函數(shù)的單調性1、已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，且當時，f(x)是減函數(shù)，求證當時f(x)為增函數(shù)解：設則 f(x)在-2，0上是減函數(shù) 又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，類比命題3（1）知函數(shù)f(x)的周期為4故f(x+4)=f(x) f(-x)=f(x) 故當時f(x)為增函數(shù)2、f(x)滿足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上單調.求a的值. 解： f(x)=-f(6-x) f(x)關于（3，0）對稱 f(x)= f(2-x) f(x)關于x=1對稱 根據(jù)命題2（4）得8是f(x)的一個周期 f(2000)= f(0) 又f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0) 又f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6)a5，9且f(x)在5，9上單調a =6 考點五、確定方程根的個數(shù)1、已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在區(qū)間1000，1000上f(x)=0至少有幾個根？ 解：依題意f(x)關于x=2，x=7對稱，類比命題2（2）可知f(x)的一個周期是10 故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在區(qū)間(0，10上，方程f(x)=0至少兩個根 又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個周期上至少有兩個根， 因此方程f(x)=0在區(qū)間1000，1000上至少有1+2=401個根.2、（05.福建12）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，6）內解的個數(shù)的最小值是（ ）A6B7C4D53、已知定義在上的函數(shù)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程在上至少有_個實數(shù)根（答：5）4、(2009年?？谀M)f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(2)0，則方程f(x)0在區(qū)間(6,6)內解的個數(shù)的最小值是(B)A10 B8 C6 D45、已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x2)f(x)(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當0x1時，f(x)x，求使f(x)在0,2009上的所有x的個數(shù)解析：(1)證明 f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)(2)當0x1時，f(x)x，設1x0，則0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)f(x)x，即f(x) x(1x0)故f(x) x(1x1)又設1x3，則1x21，f(