機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析

機械零件自由模態(tài)數(shù) 字試驗誤差分析 本科生畢業(yè)論文 畢業(yè)論文題目 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 學(xué) 生 姓 名 專 業(yè) 機械設(shè)計制造及其自動化 班 級 指 導(dǎo) 教 師 完 成 日 期 2014 年 6 月 2 日 機械零件自由模態(tài)數(shù) 字試驗誤差分析 I 摘要 近年來，隨著計算機技術(shù)的普及和計算速度的不斷提高， ANSYS 有限元分析在工程設(shè)計和分析中得到越來越廣泛的應(yīng)用，已經(jīng)成為解決復(fù)雜的工程分析計 算 問題的有效途徑。 本課題選用了 平面結(jié)構(gòu) 作為研究的模型，利用 ANSYS進行建模、 確定邊界條件，施加載荷，劃分單元 網(wǎng)格， 進行自由模態(tài)分析模態(tài)分析 。 且改變單元結(jié)構(gòu)、網(wǎng)格大小等因素，討論其對模態(tài)分析的影響。 一般情況下，零件都是具有約束的，所以求解具有約束情況下的模態(tài)更具有實際意義。選用不同約束的梁作為研究對象，求其固有頻率，且討論了約束剛度對固有頻率的影響。最后對懸掛法測固有頻率進行分析，討論了吊裝形式對分析結(jié)果的影響，研究其自由模態(tài)與實際情況下的試驗誤差。 關(guān)鍵詞： 有限元， ansys，模態(tài)分析，約束剛度 機械零件自由模態(tài)數(shù) 字試驗誤差分析 II Abstract In recent years, with the popularization of computer technology and computational speed is increased, the ANSYS finite element analysis has been widely used in engineering design and analysis, has become the effective way to solve complex engineering analysis of computational problems. The project uses the plane structure as the research model, use ANSYS for modeling, boundary conditions, loading, dividing grid unit, the free modal analysis modal analysis. And the change of cell structure, the size of the grid and other factors, discuss its influence on modal analysis. In general, the parts are constrained, so the solving of modal constraint condition has more practical significance. Choose different restrained beam as the research object, for its natural frequency, and discusses the constraint stiffness influence on the natural frequency. At the end of the suspension method to measure the natural frequency was analyzed, the influence of hoisting form discussing the analysis results, the test error of the free modal and the actual situation. Key word： Finite element ， ANSYS， Modal analysis， Restraint stiffness 機械零件自由模態(tài)數(shù) 字試驗誤差分析 III 目錄 摘要 . I Abstract. II 目錄 . III 第一章 緒論 . 1 1.1 引言 . 1 1.2 本課題研究內(nèi)容 . 3 1.3本章小結(jié) . 3 第二章 振動研究的理論基礎(chǔ) . 4 2.1 振動基礎(chǔ)理論 . 4 2.2 連續(xù)系統(tǒng)自由振動 . 5 2.3本章小結(jié) . 7 第三章利用 Ansys 軟件進行模態(tài)分析 . 8 3.1 ansys 有限元軟件簡介 . 8 3.2 ansys 自由模態(tài)分析的基本操作 . 9 3.3約束下梁的模態(tài)分析 . 13 3.4本章小結(jié) . 20 第四章 利用 ansys 進行懸掛法分析仿真 . 20 4.1無約束下箱體自由模態(tài)分析 . 20 4.2懸掛法測試箱體固有頻率 . 24 4.3本章小結(jié) . 29 致謝 . 30 總結(jié) . 31 參考文獻(xiàn) . 32 附錄 1 . 33 附錄 2 . 34 附錄 3 . 35 附錄 4 . 34 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 1 1 第一章 緒論 1.1 引言 在數(shù)學(xué)中，有限元法（ FEM， Finite Element Method）是一種為求得偏微分方程邊值問題近似解的數(shù)值技術(shù)。它通過變分方法，使得誤差函數(shù)達(dá)到最小值并產(chǎn)生穩(wěn)定解。類比于連接多段微小直線逼近圓的思想，有限元法包含了一切可能的 方法，這些方法將許多被稱為有限元的小區(qū)域上的簡單方程聯(lián)系起來，并用其去估計更大區(qū)域上的復(fù)雜方程。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域 組成，對每一單元假定一個合適的 (較簡單的）近似解，然后推導(dǎo)求解這個域總的滿足條件 (如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準(zhǔn)確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實際問題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形 狀，因而成為行之有效的工程分析手段。 早期的有限元主要關(guān)注于某個專業(yè)領(lǐng)域， 比如 應(yīng) 力或疲勞，但是，一般來說，物理現(xiàn)象都不是單獨存在的。例如，只要運動就會產(chǎn)生熱，而熱反過來又影響一些材料屬性，如 電導(dǎo)率 、 化學(xué)反應(yīng)速率 、流體的粘性等等。這種 物理系統(tǒng) 的耦合就是我們所說的多物理場，分析起來比我們單獨去分析一個物理場要復(fù)雜得多。很明顯，我們需要一個多物理場分析工具。 在上個世紀(jì) 90年代以前，由于計算機資源的缺乏，多物理場模擬僅僅停留在理論階段，有限元建模也局限于對單個物理場的模擬，最常見的也就是對力學(xué)、傳熱、流體以及電磁場的模擬。看起來有限元仿真的命運好像也就是對單個物理場的模擬。 這種情況已經(jīng)開始改變。 經(jīng)過數(shù)十年的努力，計算科學(xué)的發(fā)展為我們提供了更靈巧簡潔而又快速的算法，更強勁的硬件配置，使得對多物理場的有限元模擬成為可能。新興的有限元方法為多物理場分析提供了一個新的機遇，滿足了工程師對真實物理系統(tǒng)的求解需要。有限元的未來在于多物理場求解。 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 2 近年來，隨著計算機技術(shù)的普及和計算速度的不斷提高， ANSYS有限元分析在工程設(shè)計和分析中得到越來越廣泛的應(yīng)用，已經(jīng)成為解決復(fù)雜的工程分析計算問題的有效途徑。現(xiàn)在越來越多的設(shè)計制造都離不開 ANSYS有限元分析計算，例如機械制造、材料加工、航天航空、汽車、土木建筑、電 子電器、國防軍工船舶、鐵道、石化等。因此掌握和研究 ANSYS有限元分析對我們工作中的設(shè)計制造具有重要的意義。 此外，在 ANSYS有限元分析的應(yīng)用中，建立的模型向大型化，計算結(jié)果向精確化發(fā)展，所以 ANSYS有限元的進階技術(shù) 整體法與局部法的應(yīng)用也越來越普遍化，也成為 ANSYS有限元應(yīng)用不可缺少的部分。 本課題的目的在于鞏固和拓展我們在校期間所學(xué)的基本知識和專業(yè)知識，訓(xùn)練我們綜合運用所學(xué)知識，提高分析和解決問題的能力。靈活運用各種知識，把使用有限元分析軟件 ANSYS同鞏固和提高自己已有知識統(tǒng)一起來，把所掌握的 新軟件同解決實際問題統(tǒng)一起來，全面提高我們的能力。 通過運用有限元分析軟件各種軸的應(yīng)力分析，使我掌握了有限元分析軟件ANSYS的基本知識及其基本操作，會用程序設(shè)計語言精確建立模型，確定邊界條件，劃分單元網(wǎng)格，施加載荷，以及對模型進行應(yīng)力應(yīng)變分析。同時也要學(xué)會如何使用子模型法對模型進行應(yīng)力分析。 課題的研究內(nèi)容所涉及到有限元模態(tài)技術(shù)的發(fā)展，借助 梁振動的微分方程求解并得到了懸臂梁各階固有頻率， 計算不同約束梁的固有頻率隨約束剛度的變化等。在 龍英，滕召金，趙福水所著有限元模態(tài)分析與發(fā)展趨勢；陳忠所著滾動軸承及 其支承剛度計算；李東旭所著高等結(jié)構(gòu)部動力學(xué)等著作中均有提及或?qū)嵗?沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 3 1.2 本課題研究內(nèi)容 本課題選用了 平面 作為研究的模型，利用 ANSYS進行建模、 確定邊界條件，施加載荷，劃分單元網(wǎng)格， 進行自由模態(tài)分析模態(tài)分析 。 且改變單元結(jié)構(gòu)、網(wǎng)格大小等因素，討論其對模態(tài)分析的影響。 一般情況下，零件都是具有約束的，所以求解具有約束情況下的模態(tài)更具有實際意義。選用不同約束的梁作為研究對象，求其固有頻率，且討論了約束剛度對固有頻率的影響。最后對懸掛法測固有頻率進行分析，討論了吊裝形式對分析結(jié)果的影響，研究其自 由模態(tài)與實際情況下的試驗誤差。 因為本課題進行模態(tài)分析，要不斷改變單元尺寸、單元實常數(shù)等，這樣在ANSYS中直接建模就比較麻煩。所以本課題中均采用 ANSYS參數(shù)化設(shè)計語言（ ANSYS Paramelric Design Language，簡稱 APDL），用智能分析的手段進行模型的建立、加載、求解和數(shù)據(jù)后處理。這樣建立的 APDL命令流文件不僅便于保存和交流，而且有利于多次修改，多次重復(fù)分析。 1.3 本章小結(jié) 了解了有限元的發(fā)展歷史，應(yīng)用領(lǐng)域，發(fā)展趨勢。簡單介紹本課題的研究內(nèi)容以及分析方法。確定對有約束情況下 的零件進行模態(tài)分析的實際意義。 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 4 第二章 振動研究的理論基礎(chǔ) 2.1 振動基礎(chǔ)理論 在機器設(shè)備的運轉(zhuǎn)過程中 ,不可避免地會產(chǎn)生振動 ,而在振動信號中 ,含有包括機器運行狀態(tài)的大量的信息。一旦機器運轉(zhuǎn)異常或者發(fā)生故障時 ,振動信號將會發(fā)生一些變化 ,這些變化具體表現(xiàn)為頻率成分、相位差別、幅值大小和能量分布狀況的改變等等。振動信號的特征和性質(zhì)與機器故障、系統(tǒng)固有特性這兩大因素均有關(guān)聯(lián)。但即使是同一種故障 ,發(fā)生在機器的不同部位 ,振動信號所反映出的振動特征和響應(yīng)可能會有非常大的差異。所以 ,故障類型和振動信號反映出的振動特征 ,并不是相互對應(yīng)的確定關(guān)系 ,這就是基于振動的故障識別的難點所在。所以 ,研究振動的識別對機器設(shè)備故障診斷技術(shù)的完善有著極為重要的意義。本質(zhì)上來說 ,任何一個振動系統(tǒng)都是一個動力系統(tǒng) ,對于大多數(shù)情況而言 ,振動系統(tǒng)所受到的激勵和響應(yīng)都隨著時間變化 ,且系統(tǒng)的響應(yīng)大都依賴初始條件以及外部激勵。絕大部分實際振動系統(tǒng)非常復(fù)雜 ,因此 ,想要在數(shù)學(xué)建模分析的時候把所有的細(xì)節(jié)情況都考慮進來是絕對不可能的。若想預(yù)測在確定的激勵下振動系統(tǒng)的響應(yīng)情況 ,一般需要對振動模型進行簡化和抽象 ,只考慮一些比較重要的因素。大多數(shù)實際系統(tǒng)都是連 續(xù)的 ,具有無限多個自由度。一些連續(xù)系統(tǒng)的振動特性可用偏微分方程描述 ,求解偏微分方程 ,是十分困難的。并且 ,許多偏微分方程并不存在解析解。另一方面 ,建立多自由度系統(tǒng)的振動方程只要求解一組常微分方程 ,這相對來說要簡單的多。因此 ,為了分析的簡化 ,經(jīng)常將連續(xù)系統(tǒng)近似為多自由度系統(tǒng)。對于一個物體來說 ,固有頻率是它的重要參數(shù) ,且固有頻率與物體的結(jié)構(gòu)特征有著密不可分的聯(lián)系 ,找尋它們之間的關(guān)系是研究機械結(jié)構(gòu)振動時常需要面對的一個重要問題。由于機油冷卻器的缺陷會引起其固有頻率的變化 ,且固有頻率比較容易通過實驗的方法測得 ,故本文 通過分析缺陷對機油冷卻器固有頻率的影響情況 ,尋找判定機油冷卻器產(chǎn)品的好壞的途徑和方法。機械系統(tǒng)可視為由質(zhì)量、剛度和阻尼各元素以一定形式組成而成。略去實際的機械結(jié)構(gòu)的阻尼不計 ,把它簡化為由若干個無彈性的質(zhì)量和無質(zhì)量的彈性元件所組成的力學(xué)模型 ,稱為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。對于一個有無限多個自由度的系統(tǒng) ,有無限多個固有頻率 ,每個頻率對應(yīng)一個聞有振型 ,可通過系統(tǒng)的特征方程來確定其固有頻率。 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 5 2.2 連續(xù)系統(tǒng)自由振動 當(dāng)沒有外激勵作用，即梁彎曲自由振動時，等截面彎曲橫向自由振動的運動微分方程中包含四階微分導(dǎo)數(shù)和二階時間 導(dǎo)數(shù) 0),(,xy 222222 x txyEJxt tA ）（ （ s1） 設(shè)方程（ xx）的解對時間和空間是分離的，令 y（ x， t） =Y(x)F(t) （ s2） 將式（ s2）帶入方程（ s1），可得 0tt )( 222 ）（FTF （ s3） 0)()(d 22222 xAYdx xYdEJdx (0xL) （ s4） 方程（ s3）飛通解為簡諧函數(shù) )t ( w tB c o stA s int)( F （ s5） 式中， A和 B為積分常數(shù)，由兩個初始條件確定。通過解方程（ s4）可以得到振型函數(shù)的一般表達(dá)式，這里振型函數(shù) Y（ x）必須滿足相應(yīng)的邊界條件。其中，鉸支端的邊界條件為 Y（ x） =0, 0)()(22 dx xYdxEJ,(x=0或 x=L) （ s6） 令EJ A24 ,則方程（ S4）可化簡為 0)()( 444 xYdx xYd （ s7） 方程（ s7）是一個四階常系數(shù)線性微分方程，其解為 xchCxshCxCxCY 4321 c o ss in)x( （ s8） 這就是粱振動的振型函數(shù)，其中 4321 CCCC ，為積分常數(shù)，可以用四個邊界條件來確定其中三個積分常數(shù)及導(dǎo)出特征方程，從而確定粱彎曲振動的固有 頻率 和振型函數(shù) Y（ x）。 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 6 粱支架的邊界條件為 Y（ x） =0， 0)0(22 dxYd， Y（ L） =0， 0)(32 dx LYd（ s9） 將第一組邊界條件帶入式（ s8）及其二階導(dǎo)函數(shù)，得 042 CC （ s10） 將第二組邊界條件帶入式（ s8）及其二階導(dǎo)函數(shù)，得 0s in 31 LshCLC （ s11） 0s in- 31 LshCLC 因為當(dāng) 0L 時， 0sh L ，故得 03 C，于是，特征方程為 0sh L （ s12） 它的根為 )2,1(1 rrL （ s13） )2,1(1 rLr （ s14） 與此相應(yīng)固有頻率為 )2,1(2 22r rAEJLr （ s15） 相應(yīng)振型函數(shù)為 )2,1(s ins in)(r rL xrCxCxY IrrIr （ s16） 因為振型只確定系統(tǒng)中個點振幅的相對值，不能唯一的確定振幅的大小，故其表達(dá)式無需再帶常數(shù)因子，其振型函數(shù)為 )2,1(s in)(r rL xrxY （ s17） 現(xiàn)選用半徑為 0.05m，長度為 1m的粱，材料屬性：彈性模量 E為 2 1011Pa，密度 為 7800kg/m3，求其模態(tài)。由公式（ s16）可知 2f rr（ s18） 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 7 由公式（ S18）算出懸臂梁前三階非零固有頻率為：一階為 70.92Hz，二階為 451.31Hz，三階為 1243.12Hz。 【 21】 2.3 本章小結(jié) 簡單了解了振動的簡化與抽象，求解常微分方程，得到各階的固有頻率求解公式為 )2,1(222r rAEJLr 。且?guī)霐?shù)據(jù)求解了懸臂梁 的前三階非零固有頻率，得到具有實際意義的固有頻率參數(shù)。 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 8 第三章利用 Ansys 軟件進行模態(tài)分析 3.1 ansys 有限元軟件簡介 ANSYS 是目前世界頂端的有限元商業(yè)應(yīng)用程序 ,是融結(jié)構(gòu)、流體、電場、磁場、聲場分析于一體的大型通用有限元分 析軟件。由世界上最大的有限元分析軟件公司之一的美國 ANSYS開發(fā) ,它能與多數(shù) CAD軟件接口 ,實現(xiàn)數(shù)據(jù)的共享和交換 ,如 Pro/Engineer,NASTRAN,IDEAS,AutoCAD等 ,是現(xiàn)代產(chǎn)品設(shè)計中的高級 CAD工具之一。美國 JohnSwanson 博士于 1970年創(chuàng)建 ANSYS公司后 ,便開發(fā)出了該應(yīng)用程序 ,以此用計算機模擬工程結(jié)構(gòu)分析 ,歷經(jīng) 30 多年的不斷完善和修改 ,現(xiàn)成為全球最受歡迎的應(yīng)用程序。 ANSYS 是一種廣泛的商業(yè)套裝工程分析軟件。所謂工程分析軟件 ,主要是在機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)受到外力負(fù)載所出現(xiàn) 的反應(yīng) ,例如應(yīng)力、位移、溫度等 ,根據(jù)該反應(yīng)可知道機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)受到外力負(fù)載后的狀態(tài) ,進而判斷是否符合設(shè)計要求。一般機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜 ,受的負(fù)載也相當(dāng)多 ,理論分析往往無法進行。想要解答 ,必須先簡化結(jié)構(gòu) ,采用數(shù)值模擬方法分析。由于計算機行業(yè)的發(fā)展 ,相應(yīng)的軟件也應(yīng)運而生 ,ANSYS軟件在工程上應(yīng)用相當(dāng)廣泛 ,在機械、電機、土木、電子及航空等領(lǐng)域的使用 ,都能達(dá)到某種程度的可信度 ,頗獲各界好評。使用該軟件 ,能夠降低設(shè)計成本 ,縮短設(shè)計時間。到 20 世紀(jì) 80 年代初期 ,國際上較大型的面向工程的有限元通用軟件主要有 :ANSYS,NASTRAN,ASKA,ADINA,SAP 等。以ANSYS 為代表的工程數(shù)值模擬軟件 ,是一個多用途的有限元法分析軟件 ,它從1971年的 2.0版本與今天的 8.0版本已有很大的不同 ,起初它僅提供結(jié)構(gòu)線性分析和熱分析 ,現(xiàn)在可用來求結(jié)構(gòu)、流體、電力、電磁場及碰撞等問題的解答。它包含了前置處理、解題程序以及后置處理 ,將有限元分析、計算機圖形學(xué)和優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合 ,已成為現(xiàn)代工程學(xué)問題必不可少的有力工具。 ANSYS 軟件是第一個通過 ISO9001 質(zhì)量認(rèn)證的大型分析設(shè)計類軟件 ,是美國機械工程師協(xié)會 (ASME)、美國核 安全局 (NQA)及近 20種專業(yè)技術(shù)協(xié)會認(rèn)證的標(biāo)準(zhǔn)分析軟件。在國內(nèi)第一個通過了中國壓力容器標(biāo)準(zhǔn)化技術(shù)委員會認(rèn)證并在國務(wù)院 17個部委推廣使用。 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 9 3.2 ansys 自由模態(tài)分析的基本操作 以 2 1m 的平面（材料屬性為：彈性模量 E 為 2 1011Pa，密度 為7800kg/m3）為例，分析其自由模態(tài)，且討論了結(jié)構(gòu)單元、網(wǎng)格單元對 ansys 模態(tài)分析結(jié)果的影響。結(jié)構(gòu)單元分別為 PLANE42（ PLANE42被稱為 2D結(jié)構(gòu)單元，用于模 擬平面實體結(jié)構(gòu)。該單元由 4個節(jié)點定義，每個節(jié)點有 2個自由度，即沿節(jié)點坐標(biāo)系 x和 y方向的平動位移，單元模型如圖 3-1所示）和 PLANE82（ PLANE82稱為 2D8節(jié)點結(jié)構(gòu)實體單元，是 4節(jié)點 PLANE42 的高階單元，對四邊形和三角形的混合網(wǎng)格具有較高的精度，即使是不規(guī)則形狀，其精度降低也很小，該單元采用協(xié)調(diào)的位移差值函數(shù)，因此能夠很好的適應(yīng)曲線邊界。該單元由 8 個節(jié)點定義，每個節(jié)點有 2個自由度，即沿節(jié)點坐標(biāo)系 x 和 y方向的平動位移，單元模型如圖3-2所示）；取網(wǎng)格單元大小分別為 0.5、 0.25、 0.125、 0.0625（如圖 3-3所示）。由于要改變結(jié)構(gòu)單元和網(wǎng)格單元，求得不同情況下的自由模態(tài)，所以對其進行參數(shù)化處理，使用 ansys 參數(shù)化語言 APDL比較方便。求得平面自由模態(tài)的結(jié)果（由于是自由模態(tài)，所以前三階為 0）如表 3-1 所示（使用 APDL語言見附錄 1）。 圖 3-1 PLANE42 單元幾何 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 10 圖 3-2 PLANE82 單元幾何 表 3-1不同情況下平面的固有頻率值 單元類型 單元長度 自由模態(tài)各階頻率值 4 5 6 7 8 PLAN42 0.5 889.18 1286 1613 2417.3 2431.6 0.25 843.44 1259.7 1442.5 2127 2136.3 0.125 829.96 1253 1395.9 2030.4 2050.8 0.0625 826.44 1251.3 1384 2005 2028.4 PLAN82 0.5 829.19 1251.4 1398.5 2058.7 2076.6 0.25 825.5 1250.7 1381.2 2001.1 2024.6 0.125 825.26 1250.7 1380.1 1996.8 2021.1 0.0625 825.25 1250.7 1380.1 1996.5 2020.9 0.5 0.25 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 11 0.125 0.0625 圖 3-3不同單元長度的平面有限元模型 由圖 3可知，隨著單元長度的減小，固有頻率的值趨于穩(wěn)定，即此時的模態(tài)分析結(jié)果更為精確。且 PLANE82單元的變化比 PLANE42單元小，即 PALNE82 單元對網(wǎng)格單元大小的要求比 PLANE42單元更小。所以進行模態(tài)分析時，對結(jié)構(gòu)單元、單元大小的選擇十分重要。由表 F1、圖 3-4、圖 3-5,可知，不同階數(shù)的固有頻率值隨單元大小的變化也是有所差異的，高階固有頻率對網(wǎng)格單元長度的要求更高，即要使高階固有頻率的值更加精確，則網(wǎng)格單元長度要取的更小。 圖 3-4不同單元 4階固有頻率隨單元長度的變化 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 12 圖 3-5不同單元 8階固有頻率隨單元長度的變化 由于模型比較簡單，計算量不大，各種模態(tài)分析方法的比較也沒有什么區(qū)別。常用方法有 Block Lanczos 法， PCG Lanczos 法，子空間法，縮聚法。其比較見圖 3-6【 23】 3-6 針對對稱矩陣的特征值求解方法比較 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 13 3.3 約束下梁的模態(tài)分析 一般情況下，零件都是具有約束的，所以求解具有約束情況下的模態(tài)更具有實際意義。在求解具有約束情況下的模態(tài)時，一般將約束當(dāng)成剛性約束。但是大部分約束都是具有彈 性的，例如軸承約束軸。以半徑為 0.05m，長度為 1m 的粱為例，材料屬性：彈性模量 E為 2 1011Pa，密度 為 7800kg/m3，求其在不同約束剛度下的模態(tài)。 圖 3-7約束梁的幾何模型 首先選擇結(jié)構(gòu)單元 beam3 粱單元，設(shè)置單元屬性：半徑 r 為 0.05，長度 l為 1，設(shè)置材料屬性：彈性模量 E為 2e11，泊松比為 0.3，密度 7800。用 combin14單元來模擬彈性約束，通過對單元關(guān)鍵選項 KEYOPT（ 2）的選擇，設(shè)置三 種彈簧單元。分別為： X 方向軸向拉伸彈簧， Y 方向軸向拉伸彈簧， Z 方向扭轉(zhuǎn)彈簧。且分別設(shè)置單元實常數(shù)為 K1、 K2、 K3、 K4、 K5、 K6（對應(yīng)圖 3-7所示） 圖 3-8粱有限元模型 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 14 選擇選擇分析類型為模態(tài)分析 Modal，設(shè)置擴展模態(tài)為 3、提取的振型數(shù)為3，頻率范圍默認(rèn)全部，選擇分析方法 Block Lanczos Method。通過對 K1到 K6的不同賦值模擬不同約束的梁，如對 K1、 K2、 K3取值而使 K4、 K5、 K6恒為零，則為懸臂梁。取 K1、 K2、 K3為 1020N/m，可將其當(dāng)作剛性約束，模態(tài)分析結(jié)果為：1階 72.391Hz， 2階 449.79Hz， 3階 1242.5Hz,與上章節(jié)理論計算結(jié)果基本相同，說明對梁的結(jié)構(gòu)單元、單元大小等的選擇是符合計算精度的。 一般軸承的剛度為109N/m左右，所以對 K1、 K2、 K3的取值范圍定為 1061012N/m。計算時因為軸有不止一個方向的約束，所以采用控制變量法，即分別對單個方向的約束剛度進行取值進行模態(tài)分析，使其他方向的約束剛度不變且取足夠大，本文取為 1020N/m。其模態(tài)如表 3-2所示（使用 APDL語言見附錄 2）。 由 3-9圖可知約束剛度對梁的一階固有頻率影響較大，且隨著約 束剛度的增大固有頻率的值趨于穩(wěn)定，即剛性約束下的固有頻率。則只有當(dāng)約束剛度達(dá)到使固有頻率趨于穩(wěn)定時的值，才能將約束當(dāng)成剛性約束。且不同方向的約束剛度對一階固有頻率的影響也是有所差異的，其中 Y軸向約束剛度至 109N/m趨于穩(wěn)定， 而 X軸向約束剛度和 Z方向扭轉(zhuǎn)約束剛度至 108N/m就已經(jīng)趨于穩(wěn)定，即 Y軸向約束剛度對梁的一階固有頻率影響最大。由圖 3-10、 3-11 可知，隨著約束剛度的 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 15 表 3-2懸臂粱的固有頻率 固有頻率 階數(shù) 1 2 3 約束剛度 lgk1 6 20.306 72.391 449.79 7 64.155 72.391 449.79 8 72.391 201.05 449.79 9 72.391 449.79 584.03 10 72.391 449.79 1114.7 11 72.391 449.79 1242.5 12 72.391 449.79 1242.5 lgk2 6 19.82 117.56 614.98 7 50.824 143.2 621.06 8 69.613 290.89 688.34 9 72.111 428.75 1074.2 10 72.363 447.72 1227.3 11 72.389 449.58 1241 12 72.391 449.77 1242.3 lgk3 6 31.686 331.77 1026.3 7 60.846 394.49 1117.9 8 70.944 441.17 1219.6 9 72.243 448.88 1240 10 72.377 449.7 1242.2 11 72.39 449.78 1242.5 12 72.391 449.79 1242.5 增大，固有頻率值的變化有所不同， 2階及以上的固有頻率在剛度較小的區(qū)域有一段保持不變，從圖 3-12 中可以更加直觀的看出，且固有頻率不變時的值正好為上階剛性約束時的值。而各方向約束剛度對二階、三階固有頻率的影響大致相同，不過隨著階數(shù)的升高， X 軸向約束剛度對固有頻率影響越大。由圖 3-12 可 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 16 知，單方向約束剛度對不同階固有頻率的影響也不一樣，其中 X軸向約束剛度至108N/m一階固有頻率趨于穩(wěn)定；至 109N/m二階固有頻率趨于穩(wěn)定；至 1011N/m三階固有頻率趨于穩(wěn)定，即高階固有 頻率對約束剛度的要求更高。 例如選擇雙列向心短圓柱棍子軸承 3182120 （ d=100mm ，D=150mm,b=37mm,i=2,z=30,d=11mm， L=11mm， r=0.8mm）。軸承的預(yù)緊量 g=-5 m ，外圈與箱體的配合過盈量m5， F=4900N。則支承的 剛度為 1.707 109N/m文獻(xiàn)編號 陳忠 ，即 K2=1.707 109N/m，取 K1、 K3為 1020N/m，則懸臂梁前三階固有頻率：一階為 72.227Hz、二階為 437.53Hz、三階為 1145.4Hz。若將其當(dāng)成剛性約束則誤差分別為：一階 0.227%；二階為 2.73%；三階為 7.81%。 圖 3-9不同約束剛度下懸臂梁的一階固有頻率 圖 3-10不同約束剛度下懸臂梁的二階固有頻率 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 17 圖 3-11不同約束剛度下懸臂梁的三階固有頻率 圖 3-12不同 X軸向約束剛度下懸臂梁的固有頻率值 對 K1、 K2、 K5 賦值，其余剛度為零，則為簡支梁。對簡支梁進行模態(tài)分析，記錄不同約束剛度下前三階固有頻率，如表 3-3所示（使用 APDL語言見附錄 3）。由圖（ 3-13、 3-14、 3-15）可知，各階固有頻率隨不同約束剛度的變化，簡支梁與懸臂梁相同。一階固有頻率隨約束剛度的增大而變大，且趨向于穩(wěn)定值，二階及以上固有頻率在約束剛度較低時有一段保持不變。對于不同方向剛度， Y軸向?qū)逃蓄l率的影響較大，且隨著階數(shù)的增多， X軸向剛度對固有頻率的影響隨之增大。 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 18 表 3-3簡支粱的固有頻率 固有頻率（ Hz） 階數(shù) 1 2 3 約束剛度（ N/m） lgk1 6 20.306 202.88 804.14 7 64.155 202.88 804.14 8 201.05 202.88 804.14 9 202.88 584.03 804.14 10 202.88 804.14 1114.7 11 202.88 804.14 1274.7 12 202.88 804.14 1293.5 lgk2 6 28.49 49.503 457.86 7 84.065 154.94 489.29 8 169.57 441.88 744.77 9 198.88 743.05 1295.7 10 202.47 797.91 1295.7 11 202.84 803.52 1295.7 12 202.87 804.08 1295.7 圖 3-13 不同 X軸向約束剛度下簡支梁各階固有頻率 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 19 圖 3-14 不同約束剛度下簡支梁的一階固有頻率 圖 3-15不同約束剛度下簡支梁的二階固有頻率 3.4 本章小結(jié) 了解有限元軟件 ANSYS的誕生背景以及應(yīng)用領(lǐng)域。對同一平 面取不同的結(jié)構(gòu)單元和網(wǎng)格單元對比其對各階固有頻率的影響。 隨著單元長度的減小，固有頻率的值趨于穩(wěn)定，即此時的模態(tài)分析結(jié)果更為精確，高階固有頻率對網(wǎng)格單元長度的要求更高。且使用高階單元結(jié)構(gòu)令分析結(jié)果更為精確。 計算了不同約束梁的固有頻率隨約束剛度的變化。 約束剛度對梁的一階固有頻率影響較大，且隨著約束剛度的增大固有頻率的值趨于穩(wěn)定，即剛性約束下的固有頻率。其中 Y軸向約束剛度對梁的一階固有頻率影響最大。且隨著階數(shù)的增多， X軸向剛度對固有頻率的影響隨之增大。 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 20 第四章 利用 ansys 進行懸掛法分析仿真 4.1 無約束下箱體自 由模態(tài)分析 實際測量零件的模態(tài)時，通常選擇懸掛法測量零件的自由模態(tài)，即利用繩索將零件懸掛起來，使零件自由懸浮在空中。然后用力錘敲擊零件，通過傳感器測試零件上各點的振動。下面選擇箱體為測試零件（長寬高均為 1m，壁厚為 0.1m的箱體），由上章節(jié)可知，選擇高階單元有利于得到更加精確的結(jié)果，且對網(wǎng)格大小的要求較低，所以此處選用 SOLID95 單元（ SOLID95 稱為 3D20 節(jié)點結(jié)構(gòu)實體單元，是 SOLID45 的高階單元，對不規(guī)則形狀也具有較好的精度；由于采用協(xié)調(diào)的位移差值函數(shù)，可很好的適應(yīng)曲線邊界。該單元由 20 個節(jié)點定義，每個節(jié)點有 3個自由度，即沿節(jié)點坐標(biāo)系 x、 y和 z 方向的平動位移，單元模型如圖 4-16所示）。材料屬性：彈性模量 E 為 2e11，泊松比為 0.3，密度 7800。為了更好的控制網(wǎng)格單元大小，選擇 6 面體單元對零件進行網(wǎng)格劃分，如圖 4-17 所示。首先進行自由模態(tài)分析選擇，選擇分析類型為模態(tài)分析 Modal，設(shè)置擴展模態(tài)為10、提取的振型數(shù)為 10，頻率范圍默認(rèn)全部，選擇分析方法 Block Lanczos Method。結(jié)果如表 4-4 所示（由于是自由模態(tài)，前 6 階為零），振型如圖 4-18所示 表 4-4箱體自由模態(tài)各 階固有頻率 階數(shù) 5 6 7 8 9 10 固有頻率 （ Hz） 4.54E-04 5.72E-04 195.87 349.89 591.62 591.62 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 21 圖 4-16 SOLID95 單元幾何 圖 4-17箱體有限元模型 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 22 第 7階 第 8階 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 23 第 9階 第 10階 圖 4-18箱體自由模態(tài)各階振型 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 24 4.2 懸掛法測試箱體固有頻率 采用懸掛法測出的模態(tài)是否為自由模態(tài)，且懸掛繩索的剛度對模態(tài)分析是否具有影響。利用彈簧單元 COMBIN14單元表示懸掛的繩索，如圖 4-19 所示。且通過對單元關(guān)鍵選項 KEYOPT（ 2）的選擇，使其為一維縱向彈簧單元，自由度 UY。通過對單元實常數(shù) K來控制彈簧剛度，不同彈簧剛度（ 106N/m、 109N/m、 1012N/m）對應(yīng)的各階固有頻率如表 F5所示（使用 APDL 語言見附錄 4） 圖 4-19懸掛法有限元模型 表 4-5不同彈簧剛度對應(yīng)的各階固有頻率 固有頻率（ Hz） 階數(shù) 5 6 7 8 9 10 lgk（ N/m） 6 5.72E-04 2.7669 195.87 349.89 591.62 591.62 9 5.80E-04 72.273 195.87 349.89 591.62 591.62 12 5.97E-04 127.44 195.87 349.89 591.62 591.62 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 25 由表 4-5可知不同彈簧剛度對應(yīng)的各階固有頻率基本相同，除第 6階固有頻率。所以利用懸掛法測出的固有頻率即為自由模態(tài)頻率。第 6階固有頻率的不同是因為利用彈簧單元來模擬繩索具有系統(tǒng)誤差，因為繩索只有單向剛度，即 Y負(fù)方向，而彈簧單元具有雙向剛度，限制了箱體上節(jié)點的 Y位移，振型如圖 D20所示。其它振型如圖 D21所示 圖 4-20 懸掛法模態(tài)分析第 6階振型 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 26 第 7階 第 8階 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 27 第 9階 第 10階 圖 4-21 懸掛法模態(tài)分析各階振型 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 28 上述為單根繩索懸掛情況，但有時零件利用單根繩索不易懸掛，進而要使用2根或多根繩索懸掛，由于固有頻率與彈簧剛度變化的基本無關(guān)，所以此處彈簧剛度 K選定為 1 109N/m。 2根繩索時的有限元模型如圖 4-22所示，各階固有頻率隨彈簧剛度的變化如表 4-6所示。其固有頻率與自由模態(tài)相比略有誤差，除了第 5、 6階模態(tài)，此處與單根繩索相同，還是由于繩索只有單向剛度，即 Y負(fù)方向，而彈簧單元具有雙向剛度，且 2根繩索的影響更大 。 圖 4-22懸掛法 (2根繩索 )有限元模型 表 4-6根繩索時 各階固有頻率隨彈簧剛度的變化 階數(shù) 5 6 7 8 9 10 固有頻率 （ Hz） 103.89 132.78 208.31 349.89 591.62 593.88 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 29 4.3 本章小結(jié) 利用 ansys 進行懸掛法分析仿真，利用彈簧單元 COMBIN14 單元表示懸掛的繩索，彈簧單元選取不同剛度時箱體的固有頻率值，并且與自由模態(tài)分析進行 對比。得到結(jié)論為 懸掛繩索的剛度對模態(tài)分析沒有影響，且固有頻率值恒為自由模態(tài)時的值。 最后使用懸掛法（兩 根）進一步驗證結(jié)果，得到結(jié)論相同。 所以利用懸掛法測出的固有頻率即為自由模態(tài)頻率。 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 30 總結(jié) 根據(jù)梁振動的微分方程求解并得到了懸臂梁各階固有頻率。簡單了解了振動的簡化與抽象，求解常微分方程，得到各階的固有頻率求解公式。 且?guī)霐?shù)據(jù)求解了懸臂梁 的前三階非零固有頻率。 本課題選用了平面結(jié)構(gòu)作為研究的模型，利用 ANSYS進行建模、 確定邊界條件，施加載荷，劃分單元網(wǎng)格，進行自由模態(tài)分析模態(tài)分析。且改變單元結(jié)構(gòu)、網(wǎng)格大小等因素，討論其對模態(tài)分析的影響。 隨著單元長度的減小，固有頻率的值趨于穩(wěn)定，即 此時的模態(tài)分析結(jié)果更為精確，高階固有頻率對網(wǎng)格單元長度的要求更高。且使用高階單元結(jié)構(gòu)令分析結(jié)果更為精確。 計算了不同約束梁的固有頻率隨約束剛度的變化。 約束剛度對梁的一階固有頻率影響較大，且隨著約束剛度的增大固有頻率的值趨于穩(wěn)定，即剛性約束下的固有頻率。其中 Y軸向約束剛度對梁的一階固有頻率影響最大。且隨著階數(shù)的增多， X軸向剛度對固有頻率的影響隨之增大。 利用 ansys 進行懸掛法分析仿真，利用彈簧單元 COMBIN14單元表示懸掛的繩索，彈簧單元選取不同剛度時箱體的固有頻率值，并且與自由模態(tài)分析進行 對比 。得到結(jié)論為 懸掛繩索的剛度對模態(tài)分析沒有影響，且固有頻率值恒為自由模態(tài)時的值。 最后使用懸掛法（兩根）進一步驗證結(jié)果，得到結(jié)論相同。 所以利用懸掛法測出的固有頻率即為自由模態(tài)頻率。 沈醞籍 機械零件自由模態(tài)數(shù)字試驗誤差分析 31 致謝 首先衷心地感謝我的導(dǎo)師 吳志學(xué)教授，感謝恩師在學(xué)業(yè)上的悉心指導(dǎo)。恩師樸實的為人、淵博的學(xué)識、務(wù)實的作風(fēng)以及對事業(yè)的執(zhí)著，總是讓學(xué)生仰慕不已。在導(dǎo)師的精心栽培下