直線與圓的綜合.doc

第7講 直線與圓綜合題直線與圓的位置關(guān)系是高考常考的知識內(nèi)容. 對它們的研究，既可以從幾何的角度來探索它們的位置關(guān)系，又可以從方程角度來解決一些度量問題(如類似阿氏圓一類問題)，體現(xiàn)用代數(shù)方法研究幾何問題的思想.對這類問題的考查,一般會(huì)涉及弦長、距離的計(jì)算、圓的切線及與點(diǎn)（直線、圓）的位置關(guān)系判定問題等，解答此類問題，注重“圓的特征直角三角形”是關(guān)鍵. 同時(shí)直線與圓的綜合問題還可能會(huì)考查軌跡問題（隱形圓）、與直線、圓有關(guān)的定點(diǎn)定值及與圓有關(guān)的最值問題等次類問題綜合性較強(qiáng)，除了幾何問題代數(shù)化，有時(shí)通過準(zhǔn)確作圖，充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識也能使問題較為簡捷地得到解決【自主熱身、歸納提煉】1. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為 解析 圓心為(2，1)，半徑r2.圓心到直線的距離d，所以弦長為22.2. 若直線與圓始終有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解 因?yàn)?，所以由題意得：,化簡得即0m10.3. （2017南京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)216相交于A，B兩點(diǎn)，且ABC為直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值是 解析 圓心C（1，a），半徑r=4，因?yàn)锳BC為直角三角形，所以圓心C到直線AB的距離d=，即d=，解得a=-14. 在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線 (R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 解析 由直線mxy2m10得m(x2)(y1)0，故直線過點(diǎn)(2，1)當(dāng)切線與過(1，0)，(2，1)兩點(diǎn)的直線垂直時(shí)，圓的半徑最大，此時(shí)有r，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y22.5.（2017蘇北四市）已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為_ 解析 將問題特殊化，所求問題與兩圓的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)，故問題可轉(zhuǎn)化為圓與中相應(yīng)問題，這樣易于解決.C1PyBAC2/x如圖，當(dāng)軸，且 與點(diǎn)位于較近一側(cè)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，.同理，求得.所以的取值范圍為.或設(shè)設(shè)AB的中點(diǎn)為M，求兩圓上的兩點(diǎn)間距離的范圍）【典例探究、形成方法】直線與圓相交中的面積問題例1（動(dòng)直線） 動(dòng)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，的值為_ 解析1 易得直線過定點(diǎn)，曲線表示圓的上半圓，當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，如圖作，在中，則，又在中，所以，則，故答案為.變式1 （動(dòng)圓）（2017蘇大信息卷）已知直線：，圓C：，過原點(diǎn)的直線與直線垂直，與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則當(dāng)CMN的面積最大時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為 解析 圓C：，直線，當(dāng)CMCN時(shí)，CMN的面積最大，此時(shí)C到l1 的距離為，則，圓心C（，）變式2(動(dòng)直線+動(dòng)圓）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在圓內(nèi)，動(dòng)直線過點(diǎn)且交圓于兩點(diǎn)，若ABC的面積的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_解析 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，半徑，當(dāng)ACB90時(shí)取最大值，此時(shí)ABC為等腰直角三角形，則到距離=4，所以，即，所以，即，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以，即，即.定點(diǎn)、定值及恒成立問題例2 (點(diǎn)動(dòng)-兩點(diǎn)間距離變-距離之比不變） 已知圓，點(diǎn)在x軸上存在定點(diǎn)(不同于點(diǎn))，滿足：對于圓 上任一點(diǎn)，AyBxOP都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).解析 法1 假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，當(dāng)為圓與軸左交點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)為圓與軸右交點(diǎn)時(shí)，依題意，解得，（舍去），或 下面證明 點(diǎn)對于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)設(shè)，則， ， 從而為常數(shù) 方法2 假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得為常數(shù)，則，將代入得，即對恒成立， 解得或（舍去），所以存在點(diǎn)圓上任一點(diǎn)，都有為常數(shù).變式1 （線動(dòng)-弦長變-弦長比值不變）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓與圓相交，圓心為，且圓上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)之間的最大距離為（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過定點(diǎn)作動(dòng)直線與圓，圓都相交，且直線被圓，圓截得的弦長分別為，.若與的比值總等于同一常數(shù)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的值.解析（1）由題設(shè)得圓O1的半徑為4，所以圓O1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x9)2y216.（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為ybk(xa)，即ykxkab0.則O、O1到直線l的距離分別為h，h1，從而d2，d12，由，得64216，整理得64a21622(a9)2k22ba2(a9)k64b22(16b2)0.由題意，上式對于任意實(shí)數(shù)k恒成立，所以64a21622(a9)20，2ba2(a9)0，64b22(16b2)0，由2ba2(a9)0，得b0或a2(a9)0. 如果b0，則641620，解得2(舍去負(fù)值)從而a6或18.所以2，點(diǎn)P(6，0)或P(18，0) 如果a2(a9)0，顯然a9不滿足，從而2，所以3a243a1920.但43243192455r2對m0,1成立，即r2.故C的半徑r的取值范圍為，)法2 【鞏固訓(xùn)練 提升能力】1. 若是圓的弦，的中點(diǎn)是,則直線的方程是_解析 設(shè)圓的圓心為，的中點(diǎn)是，則，所以，所以，所以直線的方程為，整理得.2. 若直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值是_解析 由題意知，圓心到直線的距離，所以.3. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)M(1,0)的直線l與圓x2+y2=5交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在第一象限,且BM=2MA,則直線l的方程為4. 已知，若直線上總存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)的的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_解析 因?yàn)閳A心為O（0，0），半徑R=1設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形，故有,所以圓心O到直線的距離，即1+k22，解得k1或k-1.5. 已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)_解析 由題設(shè)圓心到直線的距離為，得解得：.6. 圓C：x2(y2)2R2(R0)上恰好存在2個(gè)點(diǎn)，它到直線yx2上的距離為1，則R的取值范圍為 1R37. 在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，與圓相交于點(diǎn)，且，則正數(shù)a的值為_解析 由題意得，又，所以圓圓心到直線距離為，從而，因此正數(shù)的值為48.（2017南京二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1:kxy20與直線l2:xky20相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線xy40的距離的最大值為 中/華-資*源%解析 兩條直線分別過定點(diǎn)A，B，且兩條直線互相垂直，交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，圓方程為，圓心到直線的距離，那么點(diǎn)P到直線的距離的最大值為.9（2017揚(yáng)州二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓若圓心在軸上的圓同時(shí)平分圓和圓的圓周，則圓的方程是_解析 由圓心在軸上，故設(shè)圓的方程為，若圓平分圓的圓周，則圓與圓的公共弦過，所以，同理可得：，解得，a=0，r=9. 則圓的方程是10. 已知，且，若點(diǎn)滿足，則的取值范圍是_ 解析 且，則,以為領(lǐng)邊構(gòu)造菱形，于是，得，則，故點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，于是意味著圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離范圍，即.11. 已知是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)是以為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則BQ的最小值是_解析 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正半軸，使得落在第一象限，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè),則由得：故點(diǎn)的軌跡是為圓心，為半徑的圓,又，所以BQ的最小值是12. 若動(dòng)點(diǎn)P在直線上，動(dòng)點(diǎn)Q在直線上，設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，且，則的取值范圍是 .解析 點(diǎn)軌跡是直線；同時(shí)滿足,所以滿足條件的點(diǎn)在定線段上所求表示線段上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離最值得平方用代入條件得到，代入目標(biāo)消元得，利用二次函數(shù)求得 8，1613. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知,若在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上存在不同的兩點(diǎn),使得，則的取值范圍為_解析 設(shè)點(diǎn)到直線AB距離為則由題意得,其中M為AB中點(diǎn)，因此，.（答案有誤）14.（2017江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在圓上,若則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是_解析 設(shè)，由，易得，由，可得或，由得點(diǎn)在圓左邊弧上，結(jié)合限制條件，可得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為. （化歸思想、點(diǎn)線距問題）15. 已知圓M：x2(y2)21，Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA、QB分別切圓M于A、B兩點(diǎn)（1）如果AB，求直線MQ的方程；（2）求動(dòng)弦AB的最小值解析（1）設(shè)Q(q，0)，因?yàn)镸(0，2)，所以MQ，而MAr1，從而在RtAMQ中，AQ.又由題意和對稱性可得，RtAMQ斜邊MQ邊上的高為hAB.由等面積法得，解得q，所以Q(，0)，所以直線MQ的方程為2xy20或2xy20.（2）由（1）知，利用等面積法得AB,AB，從而當(dāng)q0時(shí)，動(dòng)弦AB取到最小值.16. （2017年丹陽市高二期末測試題）在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓,圓與圓相交,圓心為,且圓上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)之間的最大距離為20.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn),當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),求直線的方程；（3）若點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),試問在軸上是否存在一點(diǎn),使得,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.【解答】(1)圓的方程為. （2）法1：設(shè)直線的方程為,由此時(shí)僅當(dāng)時(shí),最大值為8. 所以為等腰直角三角形,故圓心到直線的距離,即,解得, 所以直線的方程為. 法2：設(shè)圓心到直線的距離為,則 當(dāng)僅當(dāng),即時(shí),的面積最大值為.（以下解法同法一,略）注:若設(shè)直線的斜率為,利用弦長公式,面積采用公式二分之一底乘高,再用表示面積后,轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,則相應(yīng)給分；若沒有討論斜率是否存在,則扣1分.（3）假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意,設(shè),則滿足,即. 由,則, 則,即化簡得, 則問題轉(zhuǎn)化為式對滿足條件的點(diǎn)恒成立,則必有成立,解得： 綜上,存在點(diǎn)滿足圓上任意一點(diǎn),使得成立. 注:直接求出點(diǎn)的軌跡，指出與圓為同一圓，再求出的值也不扣分 【說明】本題是原創(chuàng)題,難度中檔偏上,考點(diǎn)是圓、直線與圓.考查了求圓的方程、直線與圓相交問題、阿波羅尼斯圓以及圓中定點(diǎn),定值恒成立等問題,考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.17. 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，圓：（1）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程；圖4才（2）設(shè)動(dòng)圓同時(shí)平分圓的周長、圓的周長 證明：動(dòng)圓圓心C在一條定直線上運(yùn)動(dòng)；動(dòng)圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由 解析（1）設(shè)直線的方程為，即 因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為，而圓的半徑為1，所以圓心到：的距離為 化簡，得，解得或 所以直線的方程為或（2）證明：設(shè)圓心，由題意，得，即化簡得，即動(dòng)圓圓心C在定直線上運(yùn)動(dòng) 圓過定點(diǎn)，設(shè)，則動(dòng)圓C的半徑為于是動(dòng)圓C的方程為整理，得由得或所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為，18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn).（1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且,求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍（劃歸為圓與圓的位置關(guān)系）解析 圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M(6，7)，半徑為5,.（1）由圓心在直線x=6上，可設(shè).因?yàn)镹與x軸相