振動力學(xué)2.ppt

單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 2 教學(xué)內(nèi)容 單自由度系統(tǒng)自由振動 無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼 2020年2月3日 振動力學(xué) 3 無阻尼自由振動 令x為位移 以質(zhì)量塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn) 為靜變形 當(dāng)系統(tǒng)受到初始擾動時 由牛頓第二定律 得 在靜平衡位置 固有振動或自由振動微分方程 單自由度系統(tǒng)自由振動 動畫1 2020年2月3日 振動力學(xué) 4 固有振動或自由振動微分方程 令 單位 弧度 秒 rad s 則有 通解 任意常數(shù) 由初始條件決定 振幅 初相位 固有頻率 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 5 單自由度系統(tǒng)自由振動 動畫2 2020年2月3日 振動力學(xué) 6 系統(tǒng)固有的數(shù)值特征 與系統(tǒng)是否正在振動著以及如何進(jìn)行振動的方式都毫無關(guān)系 不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征 與系統(tǒng)過去所受到過的激勵和考察開始時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān) 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 7 考慮系統(tǒng)在初始擾動下的自由振動 設(shè)的初始位移和初始速度為 令 有 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 8 時刻以后的自由振動解為 零時刻的初始條件 零初始條件下的自由振動 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 9 零初始條件下的自由振動 無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后 其自由振動是以為振動頻率的簡諧振動 并且永無休止 初始條件的說明 初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式 有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢能 有初始速度即轉(zhuǎn)入了動能 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 10 零初始條件下的自由振動 無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后 其自由振動是以為振動頻率的簡諧振動 并且永無休止 單自由度系統(tǒng)自由振動 初始條件 固有頻率從左到右 時間 位置 2020年2月3日 振動力學(xué) 11 固有頻率計算的另一種方式 在靜平衡位置 則有 對于不易得到m和k的系統(tǒng) 若能測出靜變形 則用該式計算是較為方便的 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 12 例 提升機(jī)系統(tǒng) 重物重量 鋼絲繩的彈簧剛度 重物以的速度均勻下降 求 繩的上端突然被卡住時 1 重物的振動頻率 2 鋼絲繩中的最大張力 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 13 解 振動頻率 重物勻速下降時處于靜平衡位置 若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時重物所在位置 則t 0時 有 振動解 單自由度系統(tǒng)自由振動 靜平衡位置 k x W v 2020年2月3日 振動力學(xué) 14 振動解 繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和 動張力幾乎是靜張力的一半 由于 為了減少振動引起的動張力 應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 15 例 重物落下 與簡支梁做完全非彈性碰撞 梁長L 抗彎剛度EJ 求 梁的自由振動頻率和最大撓度 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 16 解 由材料力學(xué) 自由振動頻率為 單自由度系統(tǒng)自由振動 取平衡位置 以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系 靜變形 m h 0 l 2 l 2 x 2020年2月3日 振動力學(xué) 17 撞擊時刻為零時刻 則t 0時 有 則自由振動振幅為 梁的最大擾度 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 18 例 圓盤轉(zhuǎn)動 圓盤轉(zhuǎn)動慣量I 在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點(diǎn)位置 扭振固有頻率 單自由度系統(tǒng)自由振動 為軸的扭轉(zhuǎn)剛度 定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩 由牛頓第二定律 2020年2月3日 振動力學(xué) 19 由上例可看出 除了選擇了坐標(biāo)不同之外 角振動與直線振動的數(shù)學(xué)描述完全相同 如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將m k稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度 則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動 以后不加特別聲明時 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 20 從前面兩種形式的振動看到 單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件和彈性元件兩種基本元件 慣性元件是感受加速度的元件 它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動慣量 而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來狀態(tài)的恢復(fù)力的元件 它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度度的彈性體 同一個系統(tǒng)中 若慣性增加 則使固有頻率降低 而若剛度增加 則固有頻率增大 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 21 例 復(fù)擺 剛體質(zhì)量m 對懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量 重心C 求 復(fù)擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率 單自由度系統(tǒng)自由振動 a 0 C 2020年2月3日 振動力學(xué) 22 解 由牛頓定律 因?yàn)槲⒄駝?則有 固有頻率 實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法 若已測出物體的固有頻率 則可求出 再由移軸定理 可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 23 單自由度系統(tǒng)自由振動 例 彈簧 質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動 斜面傾角300 質(zhì)量m 1kg 彈簧剛度k 49N cm 開始時彈簧無伸長 且速度為零 求 系統(tǒng)的運(yùn)動方程 重力角速度取9 8 2020年2月3日 振動力學(xué) 24 單自由度系統(tǒng)自由振動 解 以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系 振動固有頻率 振動初始條件 初始速度 運(yùn)動方程 2020年2月3日 振動力學(xué) 25 教學(xué)內(nèi)容 無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 26 能量法 對于不計阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng) 也可以利用能量守恒原理建立自由振動的微分方程 或直接求出系統(tǒng)的固有頻率 無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng) 其機(jī)械能守恒 即動能T和勢能V之和保持不變 即 或 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 27 彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 動能 勢能 重力勢能 彈性勢能 不可能恒為0 單自由度系統(tǒng)自由振動 零勢能點(diǎn) 2020年2月3日 振動力學(xué) 28 如果將坐標(biāo)原點(diǎn)不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置 而是取在彈簧為自由長時的位置 動能 勢能 設(shè)新坐標(biāo) 單自由度系統(tǒng)自由振動 零勢能點(diǎn) 彈簧原長 如果重力的影響僅是改變了慣性元件的靜平衡位置 那么將坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置上 方程中就不會出現(xiàn)重力項(xiàng) 2020年2月3日 振動力學(xué) 29 考慮兩個特殊位置上系統(tǒng)的能量 靜平衡位置上 系統(tǒng)勢能為零 動能達(dá)到最大 最大位移位置 系統(tǒng)動能為零 勢能達(dá)到最大 單自由度系統(tǒng)自由振動 對于轉(zhuǎn)動 x是廣義的 2020年2月3日 振動力學(xué) 30 例 如圖所示是一個倒置的擺 擺球質(zhì)量m 剛桿質(zhì)量忽略 每個彈簧的剛度 求 1 倒擺作微幅振動時的固有頻率 2 擺球時 測得頻率為 時 測得頻率為 問擺球質(zhì)量為多少千克時恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài) 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 31 解法1 廣義坐標(biāo) 動能 勢能 零勢能位置1 零勢能位置1 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 32 解法2 零勢能位置2 動能 勢能 零勢能位置2 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 33 單自由度系統(tǒng)自由振動 例 均質(zhì)圓柱質(zhì)量m 半徑R與地面純滾動在A B點(diǎn)掛有彈簧 確定系統(tǒng)微振動的固有頻率 2020年2月3日 振動力學(xué) 34 單自由度系統(tǒng)自由振動 解 廣義坐標(biāo) 圓柱微轉(zhuǎn)角 圓柱做一般運(yùn)動 由柯希尼定理 動能 C點(diǎn)為運(yùn)動瞬心 勢能 C A點(diǎn)速度 B點(diǎn)速度 2020年2月3日 振動力學(xué) 35 單自由度系統(tǒng)自由振動 解 動能 勢能 C 2020年2月3日 振動力學(xué) 36 單自由度系統(tǒng)自由振動 例 鉛垂平面內(nèi)一個滑輪 質(zhì)量 彈簧系統(tǒng) 確定系統(tǒng)微振動的固有頻率 滑輪為勻質(zhì)圓柱 繩子不可伸長 且與滑輪間無滑動 繩右下端與地面固結(jié) 2020年2月3日 振動力學(xué) 37 單自由度系統(tǒng)自由振動 解 廣義坐標(biāo) 質(zhì)量塊的垂直位移x 動能 x 勢能 2020年2月3日 振動力學(xué) 38 單自由度系統(tǒng)自由振動 解 廣義坐標(biāo) 質(zhì)量塊的垂直位移x 動能 x 勢能 2020年2月3日 振動力學(xué) 39 教學(xué)內(nèi)容 無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 40 瑞利法 利用能量法求解固有頻率時 對于系統(tǒng)的動能的計算只考慮了慣性元件的動能 而忽略不計彈性元件的質(zhì)量所具有的動能 因此算出的固有頻率是實(shí)際值的上限 單自由度系統(tǒng)自由振動 這種簡化方法在許多場合中都能滿足要求 但有些工程問題中 彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略 否則算出的固有頻率明顯偏高 2020年2月3日 振動力學(xué) 41 例如 彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 設(shè)彈簧的動能 系統(tǒng)最大動能 系統(tǒng)最大勢能 若忽略 則增大 單自由度系統(tǒng)自由振動 彈簧等效質(zhì)量 因此忽略彈簧動能所算出的固有頻率是實(shí)際值的上限 2020年2月3日 振動力學(xué) 42 教學(xué)內(nèi)容 無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 43 等效質(zhì)量和等效剛度 方法1 選定廣義位移坐標(biāo)后 將系統(tǒng)得動能 勢能寫成如下形式 當(dāng) 分別取最大值時 則可得出 Ke 簡化系統(tǒng)的等效剛度 Me 簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量 等效的含義是指簡化前后的系統(tǒng)的動能和勢能分別相等 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 44 動能 勢能 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 45 單自由度系統(tǒng)自由振動 動能 勢能 2020年2月3日 振動力學(xué) 46 單自由度系統(tǒng)自由振動 x 動能 勢能 2020年2月3日 振動力學(xué) 47 方法2 定義法 等效剛度 使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力 叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效剛度 等效質(zhì)量 使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力 叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效質(zhì)量 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 48 例 串聯(lián)系統(tǒng) 總變形 在質(zhì)量塊上施加力P 彈簧1變形 彈簧2變形 根據(jù)定義 或 P k1 k2 單自由度系統(tǒng)自由振動 使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力 叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效剛度 2020年2月3日 振動力學(xué) 49 例 并聯(lián)系統(tǒng) 兩彈簧變形量相等 受力不等 在質(zhì)量塊上施加力P 由力平衡 根據(jù)定義 并聯(lián)彈簧的剛度是原來各個彈簧剛度的總和 P k1 k2 單自由度系統(tǒng)自由振動 k1 k2 使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力 叫做系統(tǒng)在這個坐標(biāo)上的等效剛度 2020年2月3日 振動力學(xué) 50 例 杠桿系統(tǒng) 杠桿是不計質(zhì)量的剛體 求 系統(tǒng)對于坐標(biāo)x的等效質(zhì)量和等效剛度 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 51 解法1 能量法 動能 勢能 單自由度系統(tǒng)自由振動 等效質(zhì)量 等效剛度 固有頻率 2020年2月3日 振動力學(xué) 52 解法2 定義法 設(shè)使系統(tǒng)在x方向產(chǎn)生單位加速度需要施加力P 設(shè)使系統(tǒng)在x坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移需要施加力P 單自由度系統(tǒng)自由振動 則在m1 m2上產(chǎn)生慣性力 對支座取矩 則在k1 k2處將產(chǎn)生彈性恢復(fù)力 對支點(diǎn)取矩 2020年2月3日 振動力學(xué) 53 教學(xué)內(nèi)容 無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 54 阻尼自由振動 最常用的一種阻尼力學(xué)模型是粘性阻尼例如 在流體中低速運(yùn)動或沿潤滑表面滑動的物體 通常就認(rèn)為受到粘性阻尼 單自由度系統(tǒng)自由振動 實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒 存在各種各樣的阻力 振動中將阻力稱為阻尼 摩擦阻尼 電磁阻尼 介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼 盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方法 但是實(shí)際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定 2020年2月3日 振動力學(xué) 55 粘性阻尼力與相對速度稱正比 即 c 為粘性阻尼系數(shù) 或阻尼系數(shù) 單位 動力學(xué)方程 或?qū)憺?固有頻率 相對阻尼系數(shù) k c 單自由度系統(tǒng)自由振動 建立平衡位置 并受力分析 2020年2月3日 振動力學(xué) 56 動力學(xué)方程 令 特征方程 特征根 三種情況 欠阻尼 過阻尼 臨界阻尼 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 57 動力學(xué)方程 特征方程 特征根 特征根 阻尼固有頻率 有阻尼的自由振動頻率 振動解 c1 c2 初始條件決定 單自由度系統(tǒng)自由振動 兩個復(fù)數(shù)根 2020年2月3日 振動力學(xué) 58 欠阻尼 振動解 設(shè)初始條件 則 或 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 59 欠阻尼 振動解 阻尼固有頻率 阻尼自由振動周期 T0 無阻尼自由振動的周期 阻尼自由振動的周期大于無阻尼自由振動的周期 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 60 欠阻尼 響應(yīng)圖形 單自由度系統(tǒng)自由振動 振動解 欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動 0 1 時間 位置 2020年2月3日 振動力學(xué) 61 欠阻尼 響應(yīng)圖形 單自由度系統(tǒng)自由振動 振動解 欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動 1 0 動畫3 2020年2月3日 振動力學(xué) 62 不同阻尼 振動衰減的快慢不同 單自由度系統(tǒng)自由振動 不同阻尼大小的振動衰減情況 阻尼大 則振動衰減快阻尼小 則衰減慢 動畫4 2020年2月3日 振動力學(xué) 63 評價阻尼對振幅衰減快慢的影響 與t無關(guān) 任意兩個相鄰振幅之比均為 衰減振動的頻率為 振幅衰減的快慢取決于 這兩個重要的特征反映在特征方程的特征根的實(shí)部和虛部 減幅系數(shù) 單自由度系統(tǒng)自由振動 定義為相鄰兩個振幅的比值 2020年2月3日 振動力學(xué) 64 減幅系數(shù) 含有指數(shù)項(xiàng) 不便于工程應(yīng)用 實(shí)際中常采用對數(shù)衰減率 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 65 實(shí)驗(yàn)求解 利用相隔j個周期的兩個峰值進(jìn)行求解 得 當(dāng)較小時 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 66 第二種情況 過阻尼 動力學(xué)方程 特征方程 特征根 特征根 兩個不等的負(fù)實(shí)根 振動解 c1 c2 初始條件決定 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 67 過阻尼 振動解 設(shè)初始條件 則 一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動 沒有振動發(fā)生 單自由度系統(tǒng)自由振動 響應(yīng)圖形 2020年2月3日 振動力學(xué) 68 第三種情況 臨界阻尼 動力學(xué)方程 特征方程 特征根 特征根 二重根 振動解 c1 c2 初始條件決定 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 69 振動解 臨界阻尼 則 也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動 但比過阻尼衰減快些 臨界阻尼系數(shù) 單自由度系統(tǒng)自由振動 設(shè)初始條件 響應(yīng)圖形 2020年2月3日 振動力學(xué) 70 臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動 但比過阻尼衰減快些 欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動 過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動 沒有振動發(fā)生 2020年2月3日 振動力學(xué) 71 小結(jié) 動力學(xué)方程 欠阻尼 過阻尼 臨界阻尼 按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動 按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動 比過阻尼衰減快 振幅衰減振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 72 例 阻尼緩沖器 靜載荷P去除后質(zhì)量塊越過平衡位置的位移為初始位移的10 求 緩沖器的相對阻尼系數(shù) 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 73 解 由題知 設(shè) 求導(dǎo) 設(shè)在時刻t1質(zhì)量越過平衡位置到達(dá)最大位移 這時速度為 即經(jīng)過半個周期后出現(xiàn)第一個振幅x1 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 74 由題知 解得 單自由度系統(tǒng)自由振動 2020年2月3日 振動力學(xué) 75 例 單自由度系統(tǒng)自由振動 剛桿質(zhì)量不計 求 1 寫出運(yùn)動微分方程 2 臨界阻尼系數(shù) 阻尼固有頻率 小球質(zhì)量m 2020年2月3日 振動力學(xué) 76 解 單自由度系統(tǒng)自由振動 阻尼固有頻率 無阻尼固有頻率 m 廣義坐標(biāo) 力矩平衡 受力分析 2020年2月3日 振動力學(xué) 77 教學(xué)內(nèi)容 無阻尼