考研數(shù)學一?？碱}型及重點匯總.doc

僅供個人參考第二篇 高等數(shù)學第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)思考的魚點撥“函數(shù)、極限、連續(xù)”這一部分的概念及運算是高等數(shù)學的基礎(chǔ)，它們是每年必考的內(nèi)容之一，數(shù)學一中本部分分數(shù)平均每年約占高等數(shù)學部分的10. 本章的考題類型及知識點大致有： 1.求函數(shù)的表達式： (1)給出函數(shù)在某一區(qū)間上的表達式及某些條件，求該函數(shù)在另一區(qū)間上的表達式(數(shù)學(二)考過)； (2)求分段復合函數(shù)的表達式(1990一(3)題考過，數(shù)學(二)考過多次). 2.數(shù)列的極限的概念理解與運算定理： (1)數(shù)列極限的概念的理解及定義的等價敘述(數(shù)學(二)考過)； (2)運算定理的正確運用與性質(zhì)的正確理解(2003二(2)題)； (3)求數(shù)列的極限： 化成積分和式求極限(1998七題)； 夾逼定理求極限(1998七題，2005二(7)題)； 單調(diào)有界定理求極限或討論極限的存在性(2006三(16)題，2008一(4)題)； 化成函數(shù)極限求極限(2006三(16)題). 3.函數(shù)的極限： (1)求七種待定型的極限(1998一(1)題，1999一(1)題，2003一(1)題，2006一(1)題，2008三(15)題，2003三題，1997五題)； (2)運算定理的正確使用與性質(zhì)的正確理解(1997一(1)題，2000三題，2004二(8)題)： (3)已知某些極限求其中的某些參數(shù)(2009一(1)題)； (4)已知某函數(shù)的極限，求與此有關(guān)的另一函數(shù)的極限(數(shù)學(二)考過). 4.無窮小的比較： (1)給了若干個無窮小，比較它們的階的高低(2004二(7)題，2007一(1)題)； (2)給了兩個無窮小，已知一個是另一個的等價(或高階)無窮小，求其中的參數(shù)(2002三題). 5.函數(shù)的連續(xù)與間斷： (1)討論初等函數(shù)的間斷點及類型(數(shù)學(二)考過多次)； (2)討論分段函數(shù)的連續(xù)性或由連續(xù)性確定其中的參數(shù)(數(shù)學(二)考過多次)； (3)函數(shù)以極限形式表達，討論該函數(shù)的連續(xù)性(數(shù)學(二)考過多次)； (4)已知某些函數(shù)的連續(xù)性(間斷點)，討論與此有關(guān)的另一些函數(shù)的連續(xù)性(間斷點)(數(shù)學(二)考過多次)； (5)連續(xù)函數(shù)介值定理的應(yīng)用(2005三(18)題，2004三(18)題，數(shù)學(二)考過多次).讀者請注意，上面提到的類型，數(shù)學(一)有許多未曾考到，所以本章尚有相當大的命題空間.其次，以后各章要用到本章內(nèi)容，從而掌握本章內(nèi)容是十分基礎(chǔ)、十分重要的.第二章 一元函數(shù)微分學思考的魚點撥導數(shù)與微分是微分學的基本概念，導數(shù)與微分的計算是微分學的基本計算，導數(shù)與微分的應(yīng)用利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)是微分學的基本內(nèi)容，每年必考，本部分分數(shù)在數(shù)學中平均約占高等數(shù)學部分的17. 本章的考題類型及知識點大致有： 1.求導數(shù)與微分，導數(shù)的幾何意義： (1)顯函數(shù)求導數(shù)(未考過)； (2)隱函數(shù)求導數(shù)(2002一(2)題，2008二(10)題)； (3)參數(shù)式求導數(shù)(1997一(3)題)； (4)在直角坐標中求切線斜率、切線方程(2004一(1)題)，2002四題，2003三題，2005三(17)題)； (5)在極坐標中求切線斜率、切線方程(1997一(3)題)； (6)奇、偶、周期函數(shù)的導數(shù)(2005二(8)題)； (7)變限積分求導數(shù)(2002四題，1997一(2)題，1998二(1)題，1999二(1)題，1997五題)； (8)導數(shù)的變量變換(變量變換變化微分方程)(2003七題). 2.按定義求一點處的導數(shù)，可導與連續(xù)的關(guān)系. (1)討論分段函數(shù)在分界點處的可導性或求導數(shù)(2005二(7)題)； (2)按定義討論某點的可導性(1999二(2)題)； (3)已知某極限存在討論某點可導，或反之，或利用導數(shù)求極限，利用極限求某點處的導數(shù)(200l二(3)題；2007 (4)題；2009三(18)題)； (4)已知某點可導，求其中參數(shù)(2002三題)； (5)絕對值函數(shù)求導數(shù)(1998二(2)題)； (6)由極限表示的函數(shù)的可導性(2005一(7)題). 3.討論函數(shù)單調(diào)性、極值、凹凸性、拐點、漸近線、曲率： (1)單調(diào)性與極值(2003二(1)題，2004二(8)題)； (2)增量、導數(shù)與微分的關(guān)系(1998二(3)題，2006二(7)題)；(3)凹向與拐點(2005三(17)題)； (4)漸近線(20051)題，2007一(2)題)； (5)曲率(1991九題考過). 4.中值定理及其應(yīng)用： (1)不等式的證明(2000二(1)題，1999六題，2004三(15)題)； (2)零點問題(2005三(18)題，1998九題，2000九題，2007三(19)題)； (3)有關(guān)函數(shù)與導數(shù)的關(guān)系(2001二(1)題，2002二(3)題，2007一(5)題)； (4)有關(guān)“中值”的極限問題(2001七題)； (5)泰勒公式的應(yīng)用(1999六題，2001七題，2002三題)； (6)中值定理的證明(2009三(18)題).由上列舉可見，本章的知識點及考題類型幾乎全部考到，頻率出現(xiàn)多的是：變限積分求導數(shù)，按定義求導，不等式與零點問題，泰勒公式的應(yīng)用.在按定義求導數(shù)時，應(yīng)與使用洛必達法則的條件相區(qū)別.其他頻率出現(xiàn)少的，也應(yīng)注意，例如導數(shù)的幾何意義、單調(diào)性與極值、絕對值函數(shù)求導數(shù)等.第三章 一元函數(shù)積分學思考的魚點撥定積分與不定積分的概念及運算是積分學的基礎(chǔ)，利用定積分表示與計算一些幾何、物理量是積分學的基本應(yīng)用，每年必考，本部分分數(shù)在數(shù)學一中平均約占高等數(shù)學部分的17. 本章的考題類型及知識點大致有： 1.不定積分與定積分的計算： (1)分段函數(shù)求不定積分(未考過)； (2)分段函數(shù)求定積分與變限積分(數(shù)學(二)考過)； (3)計算帶絕對值號的定積分(數(shù)學(二)考過)； (4)計算般不定積分(2004 (2)題，2001三題)； (5)計算一般定積分(2000一(1)題，2007二(11)題)： (6)計算反常積分(2002 (1)題)； (7)計算被積函數(shù)含有導數(shù)或變限積分的積分(2005三(17)題). 2.定積分的應(yīng)用： (1)幾何應(yīng)用(1997二(2)題，2003三題，2007一(3)題，2009一(3)題，2009三(16)題，2009三(17)題)； (2)物理應(yīng)用(1997七題，2003六題)； (3)利用積分和式求極限(1998七題). 3.定積分(變限積分)的證明題： (1)不等式問題(包括估值問題)(1997二(2)題，1997二(3)題)； (2)零點問題(1998九題，2000九題)； (3)關(guān)于奇、偶函數(shù)、周期函數(shù)的證明題(1999二(1)題，2005二(8)題，2008三(18)題)： (4)變限函數(shù)關(guān)于單調(diào)性的題(2009一(3)題)； (5)變限函數(shù)求導問題(1999一(2)題，1998二(1)題，1997五題，2008一(1)題)； (6)積分中值定理的應(yīng)用(2000九題).本章雖然各類型大都考過，但變換具體函數(shù)去命題，考題空間仍很大，讀者注意舉一反三，掌握一般方法.第四章 向量代數(shù)與空間解析幾何思考的魚點撥 向量代數(shù)主要是向量的表示法與向量的代數(shù)運算(加減、數(shù)乘、點積、叉積)，空間鋸析幾何主要是曲面與空間曲線的方程，重點是平面、直線以及常見曲面(球面、柱面以及旋轉(zhuǎn)面等)的方程，歷年考題中直接對本部分命制的題目不多，且多為選擇題或填空題. 本章的考題類型及知識點大致有： 1.關(guān)于向量運算： (1)給出一些關(guān)系求另一些關(guān)系(1995一(3)考過)； (2)兩向量平行、垂直、交角、模等問題(未考過)； (3)三點共線與三向量共面問題(未考過)； 2.直線與平面問題(大都與空間曲面的切平面、空間曲線的切線相結(jié)合的問題)： (1)求直線方程(1998三題)，2000一(2)題，1992二(3)考過)； (2)求平面方程(1997四(1)題，2000一(2)題，2003一(2)題，1989二(2)題，1990一(1)題，1991一(3)題，1994一(2)題，1996一(2)題都考過)； (3)平面與直線的相對位置(平行、垂直、交角等)(1993二(3)題，1995二(1)題都考過)； (4)點到平面的距離(2006一(4)題，1999八題). 3.二次曲面的題(大都與第六章相結(jié)合，給出二次曲面，要求知道它的位置及大致圖形.二次曲面中常用的圖形為橢球面(包括球面)、旋轉(zhuǎn)拋物面、錐面、母線與坐標面平行的柱面.求旋轉(zhuǎn)面的方程(2009三(17)題).由以上列舉看出，近十年來本章單獨考的不多，與第五章相結(jié)合的考過四次.應(yīng)該說是屬于不?？嫉恼鹿?jié).但基本公式、基本方法仍應(yīng)掌握.第五章 多元函數(shù)微分學思考的魚點撥 多元函數(shù)微分學包括有若干基本概念及其聯(lián)系，多元函數(shù)的復合函數(shù)求導法及其應(yīng)用，梯度向量與方向?qū)?shù)的計算方法，多元函數(shù)微分學的幾何應(yīng)用(求空間曲線的切線、法平面與空間曲面的切平面、法線)極值判斷與最值問題等，在歷年考試中多元函數(shù)微分學的平均分數(shù)約占高等數(shù)學的l7，也是比較重要的. 本章的考題類型及知識點大致有： 1.求偏導數(shù)，全微分，方向?qū)?shù)，梯度，散度，旋度： (1)給出具體函數(shù)關(guān)系的復合函數(shù)求偏導數(shù)或全微分(1994 (3)考過)； (2)給出抽象函數(shù)關(guān)系的復合函數(shù)求偏導數(shù)或全微分(1998一(2)題，2005二(9)題，2006二(10)題，2000四題，2001四題，2007二(12)題，2006三(15)題，2009二(9)題)； (3)給出方程經(jīng)變量變換化簡方程(1997四(2)題，1996四(2)也考過)； (4)給出具體的方程求隱函數(shù)的偏導數(shù)或全微分(199l一(2)考過)； (5)給出抽象的方程(方程組)求隱函數(shù)的偏導數(shù)或全微分(1999三題)； (6)求方向?qū)?shù)，梯度，散度，旋度(200l一(2)題，2005一(3)題，3.5(2002八題，2008一(2)題，1992一(2)也考過). 2.函數(shù)在一點處極限的存在性，連續(xù)性，偏導數(shù)的存在性，全微分存在性與偏導數(shù)的連續(xù)性的討論與它們之間的因果關(guān)系： (1)函數(shù)在點處極限不存在性討論(1997二(1)題)； (2)隱函數(shù)的存在性(2005二(10)題)； (3)偏導數(shù)的存在性(1997二(1)題)； (4)全微分的存在性(200l二(2)題)； (5)函數(shù)在一點處連續(xù)性，偏導數(shù)存在性，全微分存在性與偏導數(shù)的連續(xù)性的因果關(guān)系討論(2002二(1)題). 3.曲面的切平面，曲線的切線： (1)曲面的法向量、切平面與法線(2000一(2)題，2003一(2)題，1997四(1)題，1999八題，1993一(2)也考過，1994一(2)也考過)；(2)曲線的切向量、切線與曲線的法平面(2001二(2)題). 4.極值與最值： (1)按定義討論極值(2003二(3)題)； (2)極值的必要條件，駐點的討論(2006二(10)題)； (3)求極值(含拉格朗日乘數(shù)法)與最值(2002八題，2007三(17)題，2008三(17)題，2009三(15)題)； (4)求隱函數(shù)的極值(2004三(19)題).由以上可見，本章各知識點大都考過，主要是計算.考題頻率最高的是抽象函數(shù)關(guān)系的復合函數(shù)求偏導數(shù)，其次是方向?qū)?shù)，曲面的法向量與切平面(與空間解析幾何相合).關(guān)于概念(見以上“2”)方面的題，應(yīng)引起注意.關(guān)于“4”極值與最值的題，出題頻率雖然不高，但有一定的綜合性與難度，從考試結(jié)果看，這部分礙分不理想，考生不應(yīng)忽視.第六章 多元函數(shù)積分學思考的魚點撥 多元函數(shù)積分學包括各類積分的概念、計算和應(yīng)用；格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其應(yīng)用；平面曲線積分與路徑無關(guān)及全微分式的原函數(shù)問題等.在歷年的考試中多元函數(shù)積分學占有最重要的地位，平均分數(shù)約占高等數(shù)學總分的14. 本章的考題類型及知識點大致有： 1.二重積分的計算及應(yīng)用： (1)二重積分在直角坐標中的計算(單獨未考過，在其他題中出現(xiàn)過)； (2)二重積分在極坐標中的計算與直極互化(2006二(8)題，2001八題，2005三(15)題，2006三(15)題)； (3)交換積分次序(2001一(3)題，2004二(10)題，1990一(4)題考過)； (4)絕對值函數(shù)的二重積分(二次積分)的計算(未考過)； (5)分塊函數(shù)的二重積分(二次積分)的計算(2002五題，2005三題)； (6)利用對稱性、輪換對稱性化簡計算(2003五題，2006三(15)題，2009(2)題)； (7)二重積分的證明題與二重積分的估值(2003五題)； (8)三重積分的應(yīng)用(2001八題). 2.三重積分的計算及應(yīng)用： (1)三重積分在直角坐標中的計算(單獨未考過)； (2)三重積分在球面坐標與柱面坐標中的計算(2005一(4)題，2006一(3)題，1997三(1)題，2000八題，2003八題，2009二(12)題)； (3)利用對稱性、輪換對稱性化簡計算(2000八題，1995三(2)題考過)； (4)三重積分的應(yīng)用(2000八題). 3.化多重積分為定積分： (1)化二重積分為變限積分求導問題(2004二(10)題)； (2)化二重積分為定積分求其中未知函數(shù)(數(shù)學(三)1997八題考過)； (3)化其它積分為定積分或二重積分的證明題(2003五題，2003八題). 4.第一型曲線積分與第型曲面積分：(1)計算(1999八題，2009二(11)題)； (2)利用對稱性、輪換對稱性化簡(1998一(3)題，2000二(2)題，2007二(14)題)； (3)應(yīng)用(未考過). 5.平面第二型曲線積分及應(yīng)用： (1)用參數(shù)式計算(2004(3)題，2000五題，2003五題)； (2)用格林公式或加、減弧段格林公式法(1999四題，2003五題，2008三(16)題)； (3)路徑無關(guān)問題與原函數(shù)法(1998四題，1999四題，2002六題，2005三(19)題，2006三(19)題，2007一(6)題)； (4)與微分方程有關(guān)的問題(2005三(19)題)； (5)挖洞法(2000五題)； (6)應(yīng)用(1990九題考過). 6.第二型曲面積分及應(yīng)用： (1)用投影法計算(1998六題，2001六題，2004三(17)題)； (2)用高斯公式或加、減曲面片高斯公式法(2005一(4)題，2006一(3)題，1998六題，2000六題，2004三(17)題，2007三(18)題，2008二(12)題)； (3)轉(zhuǎn)換投影法或化成第一型曲面積分計算(2001六題，2004三(17)題)； (4)挖洞法(2009三(19)題)； (5)與微分方程有關(guān)的問題(2000六題). 7.空間第二型曲線積分： (1)用參數(shù)式計算(1997三(2)題，2001六題)； (2)用斯托克斯公式計算(1997三(2)題，2001六題)； 由以上可見，本章在數(shù)學(一)中的地位至關(guān)重要，考分占總分的16，考得最多的是(1)二重積分：包括極坐標中計算，交換積分次序，利用對稱性、輪換對稱性化簡計算； (2)三重積分：包括在球面坐標、柱面坐標中的計算，利用對稱性、輪換對稱性化簡計算； (3)平面第二型曲線積分：包括用參數(shù)式計算，用格林公式或加、減弧段格林公式計算，路徑無關(guān)問題的討論與路徑無關(guān)問題計算該積分，原函數(shù)法與求原函數(shù)，與微分方程相結(jié)合的題； (4)第二型曲面積分：包括用投影法計算，用高斯公式或加、減曲面片高斯公式法計算，轉(zhuǎn)換投影法計算或化成第一型曲面積分計算，與微分方程相結(jié)合的題.以上各類題的計算，都有一套規(guī)范的方法.關(guān)鍵是選擇方便而有效的方法，可以起到事半功倍的作用.以上諸項中，“3”以及“5(3)”，有時涉及一些理論，可能會有點困難.但是，正如俗話所說“熟能生巧”，熟了也就不難了.第七章無窮級數(shù)思考的魚點撥 級數(shù)部分包括級數(shù)的若干基本概念，判別級數(shù)的斂散性(包括條件收斂與絕對收斂)的各種方法，冪級數(shù)的收斂性與和函數(shù)的性質(zhì)，冪級數(shù)收斂域的求法，求冪級數(shù)的和函數(shù)與求函數(shù)的冪級數(shù)展開式的方法，還有傅里葉級數(shù)和它的和函數(shù)等.此部分在歷年試題中的平均分數(shù)約占高等數(shù)學總分的l6. 若分為數(shù)值級數(shù)、冪級數(shù)與傅氏級數(shù)三大部分，則冪級數(shù)部分考得最多，占級數(shù)總分的一半還強，求冪級數(shù)的收斂域，實質(zhì)上就是級數(shù)斂散性的判斷，若把它劃入級數(shù)斂散性判斷部分，這部分的分數(shù)將接近級數(shù)總分的一半. 求一般函數(shù)項級數(shù)的收斂域在考試大綱中也是要求的，但從未考過.不過這個問題實質(zhì)上也是級數(shù)斂散性的判斷問題. 本章的考題類型及知識點大致有： 1.數(shù)項級數(shù)判斂： (1)給出具體的數(shù)項級數(shù)判斂(1999二(3)題考過，1992二(2)題考過，1995二(4)題考過； (2)已知某抽象數(shù)項級數(shù)的斂散性，討論與此有關(guān)的另一些級數(shù)的斂散性(2000二(3)題)，2002二(2)題，2004二(9)題，2006二(9)題，2009一(4)題)； (3)通項由某些條件(具體或抽象)給出，討論該級數(shù)的斂散性(1997六題，1998八題，1999九題，2004三(18)題)； (4)討論交錯級數(shù)或任意項級數(shù)的斂散性(2000七題). 2.關(guān)于冪級數(shù)： (1)求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域(2000七題，2005三(16)題，2008二(11)題，1995一(4)題考過)； (2)已知冪級數(shù)在某點收斂或發(fā)散或條件收斂，或已知收斂半徑，討論另一與此有關(guān)的冪級數(shù)在另一點處的斂散性，或求收斂半徑、收斂區(qū)間(的范圍)(1997一(2)題)； (3)將函數(shù)展開成xx0的冪級數(shù)并求收斂域，并求某數(shù)項級數(shù)的和(2001五題，2003四題，2006三(17)題)；(4)求冪級數(shù)的和函數(shù)或可通過冪級數(shù)求和的數(shù)項級數(shù)求和(2005三(16)題，1990四題考過)； (5)驗證或設(shè)某冪級數(shù)滿足某微分方程從而求此冪級數(shù)的和函數(shù)(2002七題，2007三(20)； (6)求某些數(shù)項級數(shù)的和(1999九題，2009三(16)題). 3.傅里葉級數(shù)： (1)求傅里葉系數(shù)或傅里葉級數(shù)(2003一(3)題，2008三(19)，1991五題考過，1993一(3)題考過)； (2)按正弦展開或按余弦展開求其傅里葉系數(shù)或傅里葉級數(shù)(1995四(2)題考過)； (3)按狄利克雷定理求傅里葉系數(shù)在某點的收斂和(1999二(3)題，1989二(4)題考過，1992一(3)題考過)； (4)由傅里葉級數(shù)討論與此有關(guān)的另一些數(shù)項級數(shù)的和(2008三(19)題，1991五題考過)由以上可見，數(shù)項級數(shù)判斂問題中的1(1)，早期考過幾次，后來不考了.近期考得多的是1(2)與1(3).函數(shù)展開成冪級數(shù)并討論其成立范圍，以及簡單冪級數(shù)求和，仍是考試熱點，考生對此應(yīng)引起足夠重視.函數(shù)展開成冪級數(shù)采用間接展開法，有一套規(guī)范步驟.簡單冪級數(shù)求和，雖說有一點難度，但作為考研來說，處理的手法還是有法可依.傅里葉級數(shù)的考題較簡單，由于求傅里葉級數(shù)計算量大，所以考得較少，按狄利克雷定理求某點處的收斂和，相對說來考得較多，考生對此應(yīng)足夠重視.第八章 常微分方程 思考的魚點撥 微分方程問題是積分問題的延伸，有著極為廣泛的應(yīng)用，是歷年考研必考內(nèi)容.在高等數(shù)學部分，微分方程在數(shù)學一中平均每年所占分數(shù)約為15. 本章的考試類型及知識點大致有： 1.12種典型類型求解以及自由項為特殊情形時的線性非齊次方程特解y的設(shè)定： (1)一階5種類型求解(2005 (2)題，2006一(2)題，2008二(9)題，1992一(4)題，1993二(4)題，1993三(3)題，1994五題均考過)； (2)二階可降階3種類型求解(2000一(3)題，2002一(3)題)； (3)二階及高階常系數(shù)線性齊次方程與非齊次方程3種類型求解(1999 (3)題，2007二(13)題，2008一(3)題，2009二(10)題)； (4)歐拉方程求解(2004一(4)題)； (5)y的設(shè)定(數(shù)學(二)考過). 2.線性非齊次微分方程與對應(yīng)的線性齊次微分方程的解的關(guān)系： (1)已知非齊次方程的解求對應(yīng)的齊次方程的(通)解(未考過)； (2)已知非齊次方程足夠多的解求該非齊次方程的通解(1989二(3)題考過，2006數(shù)學(三)、(四)考過. 3.已知(通)解求微分方程： (1)未說明方程是什么形式，已知通解求微分方程(未考過)； (2)已知二階(或一階或更高階)線性方程的通解(或若干個線性無關(guān)的特解)求該方程(2001 (1)題，2009二(10)題). 4.自由項為絕對值函數(shù)或有間斷點的函數(shù)的線性微分方程求解： (1)自由項為絕對值函數(shù)的情形(未考過)； (2)自由項為有跳躍間斷點的函數(shù)的情形(數(shù)學(三)1999六題考過). 5.經(jīng)變量變換解微分方程： (1)經(jīng)反函數(shù)變量變換(2003七題)； (2)給出已知的變量變換(數(shù)學(二)考過多次). 6.將積分方程或偏微分方程化成微分方程求解：(1)積分方程化為微分方程求解(1991二(2)考過)； (2)偏微分方程化為微分方程求解(1997四(2)題，2006三(18)題). 7.微分方程的應(yīng)用 (1)幾何方面(1999五題，1995五題考過，1996六題考過)； (2)物理方面(1998五題，2004三(16)題)； (3)變化率方面(1997三(3)題，2001八題).由上可見，本章?？嫉氖恰?”與“7”.有許多類型未命過題或很少命題，命題空間很大，例如1(5)，4，以及6可以與其他章節(jié)結(jié)合來命題，值得重視.第三篇 線性代數(shù)第一章 行列式思考的魚點撥 行列式在整個試卷中所占比重不是很大，一般以填空題，選擇題為主，但它是必考內(nèi)容當然，不只是考查行列式的概念、性質(zhì)、運算，還會涉及到其他各章、節(jié)的內(nèi)容，例如矩陣的可逆、矩陣的秩、向量的線性相關(guān)性、線性方程組、矩陣的特征值、正定二次型等等，如果試卷中沒有獨立的行列式的試題，那必然會在其他章節(jié)的試題中得到體現(xiàn). 一般有關(guān)行列式的試題有兩大類：計算題和判斷題 1.行列式的計算題.例如：計算行列式計算行列式的值 這類屬于數(shù)字型的直接計算題，一般利用性質(zhì)，消零展開或消零化成上(下)三角形行列式即可解決. 多數(shù)行列式的試題，屬于與后續(xù)章節(jié)有關(guān)的、抽象型的行列式的計算題，如1.1題，1.2題這類題增加了考核的知識點，有一定的綜合性.要求考生充分利用題設(shè)條件，通過知識的內(nèi)在聯(lián)系，化簡、運算，最后得出所求行列式的值.(2)行列式的判別題，主要是判別行列式是否為零.例2.1題，因為行列式是否為零對矩陣是否可逆、是否滿秩，對方程組Ann X=O是否有非零解，Ann X=b是否有唯一解，對A中的列(行)向量組是否線性相關(guān)等都起到了“分水嶺”的作用，會引起矩陣重要性質(zhì)的變化. Ann 是否為零，除直接計算出A =O(或0)，或計算出A =kA ，其中k1，Ann =0(0)Ann不可逆(可逆)r(A)n，不滿秩(=n，滿秩)Ann X=O有非零解(只有零解)Ann X=b有唯一解(解不唯一；可能無解；若有解，則為無窮解)Ann 的n個行(列)線性相關(guān)(線性無關(guān)) 注意這些都是充分必要條件，可以相互判別.第二章 矩陣思考的魚點撥矩陣及其運算是線性代數(shù)的核心，后續(xù)各章的基礎(chǔ)，考點較多，重點考點是逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程，這幾年還頻頻出現(xiàn)初等變換與初等陣的試題，應(yīng)注意到的大致有以下幾部分內(nèi)容. 1.基本運算：要搞清概念，熟練掌握運算規(guī)則并保證運算的正確性，重點關(guān)注以下幾點. (1)搞清能否運算，怎樣運算，運算結(jié)果是什么. (2)搞清數(shù)的運算、行列式的性質(zhì)，與矩陣運算的區(qū)別. (3)充分利用運算規(guī)則，如計算中結(jié)合律、分配律的利用，但矩陣運算沒有交換律，消去律. 2.逆矩陣：理解逆矩陣的概念，掌握運算法則，掌握矩陣可逆的充分必要條件，會證矩陣可逆，并能正確求出逆矩陣. 求逆矩陣的方法：對數(shù)值矩陣，一般有(1)公式法.A-1=1/A A ，特別適用二階矩陣；(2)初等變換法.A BE A.對抽象矩陣，一般有(3)定義法，化成AB=E，則A可逆，且A-1=B；(4)化成已知可逆矩陣的乘積，即若化成A=BC，其中B，C均是可逆陣，則A可逆，A-1=(BC)-1=C-1B-1. 證明A可逆的方法： A可逆A 0AX=0有唯一零解AX=b有唯一解r(A)=nA的行(列)向量組線性無關(guān)，或用反證法. 3.伴隨矩陣A：理解伴隨矩陣的概念，注意Ai j與A的聯(lián)系，能熟練得出A，A-1，A，(A)-1，A ，A 之間的關(guān)系，如(1) A =A n-1，(2)若A可逆，(A)-1=1/A A，A=A A-1 .若公式中將A代入kA時，有(kA)(kA)=kA E，得(kA)=kn-1A； 若公式中將A代入A時，有A(A)=A E，得(A)=A n-2A.A的秩只有n，1，0三種可能，且 4.矩陣方程：矩陣方程的試題較多，這類試題具有定的綜合性，既考查了利用矩陣運算法則、性質(zhì)等把方程化簡，又考查了具體的數(shù)值計算.解這類試題要求分二步走，“先化簡”，寫出所求矩陣的最簡表達式，再代入具體的數(shù)值矩陣，進行數(shù)值運算(如題2.3).5.初等變換、初等陣、矩陣的秩及等價矩陣理解初等變換的概念，了解初等陣及其性質(zhì)，能將矩陣的初等變換表達成矩陣乘初等陣，反之能將矩陣乘初等陣翻譯成作初等變換(如題2.12.3)理解矩陣秩的概念，掌握用初等變換求秩及逆矩陣的方法6.分塊陣：了解分塊陣及其運算，會求分塊對角陣的n次冪及分塊對角陣的逆等.第三章 向量思考的魚點撥 向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)中的難點，也是考試的重點，考生應(yīng)深刻理解線性相關(guān)性的內(nèi)在的含義外，還應(yīng)與線性表出、向的秩及線性方程組等相聯(lián)系，從各個側(cè)面加強對線性相關(guān)性的理解.本章試題大致有以下四個部分: 1.向量的線性表出 向量能否由向量組1，2，s，線性表出方程組1x1+2x2+s x n=1，2，sX=Ans X=是否有解，其解即是表出系數(shù)r(A)和r(A)是否相等. 若1，2，s線性無關(guān)，1，2，s，線性相關(guān)，則可由1，2，s線性表出，且表出法唯一. 若1，2，s線性相關(guān)，則至少存在一個向量i可由其余向量線性表出. 向量組(I) 1，2，s中任一個向量i(1，2，s)都可由() 1，2，s線性表出，稱向量組(I)可由向量組()線性表出，兩組向量可以相互表出，則稱兩向量組等價，等價向量組等秩，反之不成立. 2.向量組線性相關(guān)性的判別和證明 要說明或證明向量組1，2，s線性相關(guān)，只要求出(觀察出)有不全為零的數(shù)k1，k2，ks，使k11+k22+kss=0.即說明或證明方程組有k11+k22+kss=0有非零解. 證明一組向量1，2，s線性無關(guān)，有兩類題型：(1)若題設(shè)條件中只有一組向量(附有一些其他條件)，則應(yīng)利用定義證明(實質(zhì)上是反證法)；(2)若已知一組向量線性無關(guān)，要證另一組向量也線性無關(guān)，則可以用定義證明，也可以用等價向量組、秩、方程組等方法證明(例題2.5). 3.求向量組的極大線性無關(guān)組及向量組的秩應(yīng)理解向量組的極大線性無關(guān)組的概念，并掌握其求法則向量組1，2，s和1，2，s是等價向量組，等價向量組等秩.A=1，2，s 1，2，s， 則1，2，s與1，2，s中任何對應(yīng)的部分向量組有相同的線性相關(guān)性. 向量組極大線性無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組的向量個數(shù)是唯一的，此數(shù)即是向量組的秩. (4)向量空間，要求了解向量空間、子空間、解空間，基、維數(shù)，坐標等概念，了解基變換公式、坐標變換公式，會求過渡矩陣，掌握施密特標準正交化方法，這部分內(nèi)容相對試題較少，從1987年考研數(shù)學統(tǒng)考以來，共出過4題，二個題是過渡矩陣的(例題1.1)，一題是求解空間的標準正交基，一題是求一個向量在一組基下的坐標.第四章 線性方程組思考的魚點撥 本章要求理解線性齊次方程組有非零解、唯一零解，線性非齊次方程組無解、唯一解、無窮多解的充分必要條件，理解線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系、通解、解空間的概念，掌握求解的方法，并會求解，理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念，并會求解.本章試題大致有三種類型： 1.判別齊次方程組是否有非零解，非齊次方程組AX=b是否無解、唯一解、無窮多解Amn X=O有非零解(唯一零解) r(A)n(=n) A的列向量組線性相關(guān)(線性無關(guān)). Amn X=O無解r(A)rA b. 唯一解r(A)=rA b=n. 無窮多解r(A)= rA b=rn. 當A是nn矩陣時，還可用A =O(或0)判別(例題1.1)，并說明解的幾何意義. 判別某向量，或某向量集合是否是方程的解或方程組的通解，及兩個方程組是否同解等(例題2.1). 2.求解線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解(例題3.5)，求解非齊次方程組的通解(例題3.6)(包括含有參數(shù)時，有解情況的討論)，求解方程組時，請注意每個步驟的正確性.步驟如下： (1)抄對系數(shù)矩陣或增廣矩陣； (2)正確進行初等行變換，含有參數(shù)時，要選擇合適的消元的順序； (3)全面討論參數(shù)的取值與解的關(guān)系； (4)認定r(A)(即獨立未知量，獨立方程個數(shù))，認定自由未知量，并賦予合適的特定值，回代方程，求得基礎(chǔ)解系及齊次通解(或先求通解，后得基礎(chǔ)解系)； (5)求非齊次特解，解的結(jié)構(gòu)，求出非齊次通解. 并應(yīng)注意到方程組Amn X=1，2，nX=其齊次方程組的解是向量組1，2，n的線性相關(guān)的線性組合系數(shù)，非齊次特解(及通)是由1，2，n線性表出的表出系數(shù)(例題3.3).當AB=0時，B的列向量是AX=0的解向量(例題3.6).3.證明某組向量是方程組的基礎(chǔ)解系(例題3.1，3.2).向量組1，2，s是方程組AX=0的基礎(chǔ)解系要滿足三條，Ai=0(i=1，2，3，s)，1，2，n線性無關(guān)，s=n-r(A).第五章 特征值、特征向量思考的魚點撥特征值、特征向量是線性代數(shù)的重要內(nèi)容，是考研的重點之一.共有三部分要求： 1.理解特征值、特征向量的概念和性質(zhì)，會求矩陣Ann的特征值、特征向量，一般求Ann的特征值、特征向量有兩條思路. (I)利用定義，求滿足定義A=(0)的和，一般適用于抽象矩陣. 若Ann有特征值，對應(yīng)的特征向量為，則利用定義可求得A2，Ak，f(A)是多項式)的特征值為2，k，f()當A可逆時，則A-1，A，對應(yīng)的特征值為1/,A /，(如題1.1)，特征向量仍是.()利用特征方程求EA =0，再由(EA )x=0求出基礎(chǔ)解系得對應(yīng)于的線性無關(guān)特征向量，一般適用于具體的數(shù)值矩陣.顯然對角陣，上、下三角陣的特征值為對角元素(特征向量是什么?).當r(A)=r0.即正定，二次型正定性的證明般用定理(正定的充分必要條件)，最后的辦法是用定義.(4)兩個二次型(或?qū)崒ΨQ陣)合同有相同的正、負慣性指數(shù)相同的正慣性指數(shù)和秩.第四篇 概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章 隨機事件和概率思考的魚點撥 本章的重點在事件的關(guān)系和運算，概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯公式、事件的獨立性等近幾年單獨出本章的考題較少，但大多作為基本知識點出現(xiàn)在以后各章的考題中大多數(shù)考生對本章中的古典型概率感到困難對古典型概率和幾何型概率只要會計算一般難度的題型就可以，不必刻意去做各種較復雜的題型因為古典型概率和幾何型概率畢竟不是重點，應(yīng)該將本章重點中有關(guān)的基本概念、基本理論和基本方法理解徹底和熟練掌握第二章 隨機變量及其分布思考的魚點撥本章的重點是隨機變量及其分布函數(shù)的概念和性質(zhì)，分布律和概率密度，隨機變量的函數(shù)的分布，一些常見的分布：0-1分布、二項分布、超幾何分布、泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等 單獨出本章考題的不多，近幾年大多把本章的知識點結(jié)合多維隨機變量及其分布的內(nèi)容一起考查一些常見的分布從定義到有關(guān)特征必須背熟這會給解題過程帶來很大方便對于分布函數(shù)，分布律和概率密度的定義及它們成立的充分必要條