利用輔助圓解決直線型問(wèn)題.docx

課題: 利用輔助圓解決直線型問(wèn)題 -初三幾何復(fù)習(xí)授課教師： 海淀北部新區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 劉曉燕 授課時(shí)間： 2017年4月24日教學(xué)目標(biāo):1、 通過(guò)品一道常規(guī)舊題,學(xué)會(huì)挖掘圖形間的內(nèi)在聯(lián)系,識(shí)清題目的本質(zhì)。2、 經(jīng)歷多角度、多方法的分析題目，能借助題目中共端點(diǎn)的等線段及直角條件構(gòu)造輔助圓，達(dá)到優(yōu)化解決直線型問(wèn)題的方法。3、 學(xué)會(huì)對(duì)題目的解題過(guò)程進(jìn)行及時(shí)的總結(jié)、歸類(lèi)、拓寬、演變。“品嘗”解法的獨(dú)特性、技巧性和關(guān)鍵點(diǎn)。教學(xué)重點(diǎn)：能理清萬(wàn)變不離其宗的問(wèn)題本質(zhì)，品數(shù)學(xué)思維，玩味解題方法，并會(huì)將解題思想自主地運(yùn)用于解決新問(wèn)題的過(guò)程中。教學(xué)難點(diǎn): 學(xué)會(huì)分析、歸納、變式，學(xué)會(huì)類(lèi)比，從而自動(dòng)生成新的問(wèn)題，逐步形成問(wèn)題意識(shí)，同時(shí)提高解決問(wèn)題的能力。教學(xué)過(guò)程：一：品舊引入,延承思路問(wèn)題：如圖:在三角形ABC中，AB=AC, BDAC于D , 探究1與BAC的數(shù)量關(guān)系。分析： 題目條件中AB=AC，說(shuō)明ABC是等腰三角形，等腰三角形中的底角和頂角可以互相轉(zhuǎn)化，可用其中一個(gè)量表示另一個(gè)量。而另一個(gè)條件BDAC得出了ABD和BDC是直角三角形，于是在直角BDC中，1和C建立了互余關(guān)系，從而1和C可以互相表示。而C是聯(lián)系1和BAC兩角的紐帶，借助C可以探究出BAC是1的二倍關(guān)系。當(dāng)然學(xué)生還可能借助等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，或者利用等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性翻折三角形，構(gòu)造與1相等的角等等。預(yù)設(shè)學(xué)生的解法方法一：1+C=又2C+BAC=，易導(dǎo)出BAC=21方法二：取BC的中點(diǎn)E，連接AE,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出AEBC,再通過(guò)等角的余角相等導(dǎo)出BAC=21。方法三：把BDC沿著B(niǎo)D或者CD邊翻折，構(gòu)造新的等腰三角形，從而推出BAC=21。 設(shè)計(jì)意圖：利用初二時(shí)探究過(guò)的舊題，通過(guò)學(xué)生品條件，品圖形結(jié)構(gòu)，后獨(dú)立思考，最后展示解法，幫助學(xué)生梳理解決等腰三角形的相關(guān)問(wèn)題的常規(guī)思路，抓住圖形間元素的內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)清圖形關(guān)系的本質(zhì)，最終觸類(lèi)旁通內(nèi)化為解決這一類(lèi)問(wèn)題的思想方法。二：品新探究，挖掘內(nèi)涵繼續(xù)探究這個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等腰三角形、直角與圓的緊密關(guān)系。從圓的定義可知，連接圓的任意兩條半徑都會(huì)構(gòu)建一個(gè)等腰三角形；還有直徑所對(duì)的圓周角是直角。逆向思維要解決具有等腰三角形或直角的幾何圖形的問(wèn)題，我們能否構(gòu)造一個(gè)輔助圓幫助問(wèn)題的解決呢？ 方法4： 以A為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，利用圓中同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系，很容易解決了 BAC=21的關(guān)系。方法5： 以AB中點(diǎn)O為圓心OA為半徑畫(huà)圓，圓O交BC于點(diǎn)P。易證點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),根據(jù)圓心角 和圓周角的關(guān)系導(dǎo)出BAC=21的關(guān)系。 等腰三角形的性質(zhì) 等腰三角形（共端點(diǎn)的等線段）小結(jié)： 1構(gòu)造輔助圓，利用圓中角與角豐富的關(guān)系 直角三角形的外接圓圓心是斜邊中點(diǎn)圓的性質(zhì)及定理。直角三角形直徑所對(duì)的圓周角是直角2. 三：品比新舊，鞏固提高（老題新解法）1、四邊形ABCD中，ABACAD，已知：BDC=40o，求BAC的大小。 1題圖 2題圖分析：讀完條件BDC=40o，題中有一個(gè)角的度數(shù)已知，此時(shí)學(xué)生尋找的解決思路多半是借助等腰倒角建立關(guān)系，去解決問(wèn)題。但是在倒角中發(fā)現(xiàn)直接建立起B(yǎng)AC與BDC的數(shù)量關(guān)系比較困難。轉(zhuǎn)變思路從另一個(gè)角度認(rèn)識(shí)條件，三條共端點(diǎn)的等線段ABACAD，說(shuō)明點(diǎn)B、C、D在以A點(diǎn)為圓心，AB為半徑的圓上。輔助圓的建立，很容易找到了所求的角與已知角的數(shù)量關(guān)系。2、如圖：PA=PB=PC,AC與PB交于點(diǎn)D,且PB=4，PD=3,求ADDC的值。分析:從圖上觀察，AP與BC平行，可得ADP與BDC相似，通過(guò)相似得到對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系，從而易求ADDC的值。但是這兩個(gè)三角形相似的判定條件缺一個(gè)，從題中的條件間接的也得不出ADP與BDC相似的另一個(gè)條件，所以這條解決思路行不通，只能另辟蹊徑，仍然借助條件PA=PB=PC，構(gòu)建輔助圓解決。3、(備用) 平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0），B（2，0），若點(diǎn)C在一次函數(shù)的圖象上，且ABC為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)分析：題中存在不確定條件直角三角形ABC的直角不確定，因此此題進(jìn)行分類(lèi)討論，以四：中考鏈接: 1、（2015年）28. 在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線，點(diǎn)P在射線CD上（與點(diǎn)C、D不重合），連接AP，平移，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到，過(guò)點(diǎn)Q作于H，連接AH，PH. (1) 若點(diǎn)P在線段CD上，如圖1. 依題意補(bǔ)全圖1； 判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；(2) 若點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上，且，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)寫(xiě)出求DP長(zhǎng)的思路. （可以不寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果）ABCDPABCD圖1備用圖分析：第一問(wèn)在前面復(fù)習(xí)中已經(jīng)解決，第二問(wèn)點(diǎn)A、P、D、H滿足四點(diǎn)共圓,構(gòu)建輔助圓解決求DP長(zhǎng)比用直線型的方法解決容易。五:課后鞏固1、在直角梯形ABCD中，AB12，BC9，DC13，問(wèn)在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使得PCD為直角三角形？ 2、(東城二模)如圖，在ABC中，BA=BC，以AB為直徑的O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，BC的延長(zhǎng)線與O的切線AF交于點(diǎn)F（1）求證：ABC=2CAF；（2）若AC=，求BE的長(zhǎng)3、如圖，正方形ABCD的中心為O，面積為1989，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且OPB=45o, PA:PB=5:14，求PB的長(zhǎng)。 總體設(shè)計(jì)思路：在某些數(shù)學(xué)習(xí)題中，借助輔助圓解（證）題是比較生疏的一種解題方法，但同時(shí)又是一種行之有效、事半功倍的一種方法。解（證）平面幾何題，最棘手的莫過(guò)于添加輔助線，常見(jiàn)的輔助線，有連結(jié)、延長(zhǎng)、平移或翻折、旋轉(zhuǎn)，這些都是對(duì)直線而言的，利用輔助圓解（證）平面幾何題，雖遠(yuǎn)不如直線那么為人所熟知，但如果輔助添加合理，同樣可使分散的條件集中，隱蔽的條件明朗，同樣為溝通條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系而起到事半功倍的作用。因此，本節(jié)課從等腰三角形中的一道常規(guī)題解決方法入手，引導(dǎo)學(xué)生品條件和結(jié)論間的關(guān)系，找到條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而找到解決問(wèn)題的多種方法。從品題中的條件，結(jié)合圓的對(duì)稱(chēng)性和旋轉(zhuǎn)不變性，再次引導(dǎo)學(xué)生將已知條件、欲求的結(jié)論以及所給圖形的特點(diǎn)三方面結(jié)合起來(lái)認(rèn)真分析、思考，即可發(fā)現(xiàn)，適當(dāng)?shù)奶砑訄A，并利用圓的有關(guān)性質(zhì)，就能巧妙的找到解決問(wèn)題的途徑，構(gòu)造合適的輔助圓，搭橋鋪路，輕松解決問(wèn)題。引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)后，緊接著回歸書(shū)本，把人教社九年級(jí)上冊(cè)88頁(yè)書(shū)練習(xí)