利用輔助圓解決直線型問題.docx

課題: 利用輔助圓解決直線型問題 -初三幾何復習授課教師： 海淀北部新區(qū)實驗學校 劉曉燕 授課時間： 2017年4月24日教學目標:1、 通過品一道常規(guī)舊題,學會挖掘圖形間的內(nèi)在聯(lián)系,識清題目的本質。2、 經(jīng)歷多角度、多方法的分析題目，能借助題目中共端點的等線段及直角條件構造輔助圓，達到優(yōu)化解決直線型問題的方法。3、 學會對題目的解題過程進行及時的總結、歸類、拓寬、演變?！捌穱L”解法的獨特性、技巧性和關鍵點。教學重點：能理清萬變不離其宗的問題本質，品數(shù)學思維，玩味解題方法，并會將解題思想自主地運用于解決新問題的過程中。教學難點: 學會分析、歸納、變式，學會類比，從而自動生成新的問題，逐步形成問題意識，同時提高解決問題的能力。教學過程：一：品舊引入,延承思路問題：如圖:在三角形ABC中，AB=AC, BDAC于D , 探究1與BAC的數(shù)量關系。分析： 題目條件中AB=AC，說明ABC是等腰三角形，等腰三角形中的底角和頂角可以互相轉化，可用其中一個量表示另一個量。而另一個條件BDAC得出了ABD和BDC是直角三角形，于是在直角BDC中，1和C建立了互余關系，從而1和C可以互相表示。而C是聯(lián)系1和BAC兩角的紐帶，借助C可以探究出BAC是1的二倍關系。當然學生還可能借助等腰三角形的“三線合一”性質，或者利用等腰三角形的軸對稱性翻折三角形，構造與1相等的角等等。預設學生的解法方法一：1+C=又2C+BAC=，易導出BAC=21方法二：取BC的中點E，連接AE,利用等腰三角形三線合一的性質可得出AEBC,再通過等角的余角相等導出BAC=21。方法三：把BDC沿著BD或者CD邊翻折，構造新的等腰三角形，從而推出BAC=21。 設計意圖：利用初二時探究過的舊題，通過學生品條件，品圖形結構，后獨立思考，最后展示解法，幫助學生梳理解決等腰三角形的相關問題的常規(guī)思路，抓住圖形間元素的內(nèi)在聯(lián)系，認清圖形關系的本質，最終觸類旁通內(nèi)化為解決這一類問題的思想方法。二：品新探究，挖掘內(nèi)涵繼續(xù)探究這個問題，引導學生發(fā)現(xiàn)等腰三角形、直角與圓的緊密關系。從圓的定義可知，連接圓的任意兩條半徑都會構建一個等腰三角形；還有直徑所對的圓周角是直角。逆向思維要解決具有等腰三角形或直角的幾何圖形的問題，我們能否構造一個輔助圓幫助問題的解決呢？ 方法4： 以A為圓心，AB為半徑畫圓，利用圓中同弧所對的圓心角和圓周角的關系，很容易解決了 BAC=21的關系。方法5： 以AB中點O為圓心OA為半徑畫圓，圓O交BC于點P。易證點P是BC的中點,根據(jù)圓心角 和圓周角的關系導出BAC=21的關系。 等腰三角形的性質 等腰三角形（共端點的等線段）小結： 1構造輔助圓，利用圓中角與角豐富的關系 直角三角形的外接圓圓心是斜邊中點圓的性質及定理。直角三角形直徑所對的圓周角是直角2. 三：品比新舊，鞏固提高（老題新解法）1、四邊形ABCD中，ABACAD，已知：BDC=40o，求BAC的大小。 1題圖 2題圖分析：讀完條件BDC=40o，題中有一個角的度數(shù)已知，此時學生尋找的解決思路多半是借助等腰倒角建立關系，去解決問題。但是在倒角中發(fā)現(xiàn)直接建立起B(yǎng)AC與BDC的數(shù)量關系比較困難。轉變思路從另一個角度認識條件，三條共端點的等線段ABACAD，說明點B、C、D在以A點為圓心，AB為半徑的圓上。輔助圓的建立，很容易找到了所求的角與已知角的數(shù)量關系。2、如圖：PA=PB=PC,AC與PB交于點D,且PB=4，PD=3,求ADDC的值。分析:從圖上觀察，AP與BC平行，可得ADP與BDC相似，通過相似得到對應邊的比例關系，從而易求ADDC的值。但是這兩個三角形相似的判定條件缺一個，從題中的條件間接的也得不出ADP與BDC相似的另一個條件，所以這條解決思路行不通，只能另辟蹊徑，仍然借助條件PA=PB=PC，構建輔助圓解決。3、(備用) 平面直角坐標系中，已知點A（4，0），B（2，0），若點C在一次函數(shù)的圖象上，且ABC為直角三角形，則滿足條件的點C有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個分析：題中存在不確定條件直角三角形ABC的直角不確定，因此此題進行分類討論，以四：中考鏈接: 1、（2015年）28. 在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在射線CD上（與點C、D不重合），連接AP，平移，使點D移動到點C，得到，過點Q作于H，連接AH，PH. (1) 若點P在線段CD上，如圖1. 依題意補全圖1； 判斷AH與PH的數(shù)量關系與位置關系并加以證明；(2) 若點P在線段CD的延長線上，且，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路. （可以不寫出計算結果）ABCDPABCD圖1備用圖分析：第一問在前面復習中已經(jīng)解決，第二問點A、P、D、H滿足四點共圓,構建輔助圓解決求DP長比用直線型的方法解決容易。五:課后鞏固1、在直角梯形ABCD中，AB12，BC9，DC13，問在AB邊上是否存在點P，使得PCD為直角三角形？ 2、(東城二模)如圖，在ABC中，BA=BC，以AB為直徑的O分別交AC，BC于點D，E，BC的延長線與O的切線AF交于點F（1）求證：ABC=2CAF；（2）若AC=，求BE的長3、如圖，正方形ABCD的中心為O，面積為1989，P為正方形內(nèi)一點，且OPB=45o, PA:PB=5:14，求PB的長。 總體設計思路：在某些數(shù)學習題中，借助輔助圓解（證）題是比較生疏的一種解題方法，但同時又是一種行之有效、事半功倍的一種方法。解（證）平面幾何題，最棘手的莫過于添加輔助線，常見的輔助線，有連結、延長、平移或翻折、旋轉，這些都是對直線而言的，利用輔助圓解（證）平面幾何題，雖遠不如直線那么為人所熟知，但如果輔助添加合理，同樣可使分散的條件集中，隱蔽的條件明朗，同樣為溝通條件與結論之間的內(nèi)在聯(lián)系而起到事半功倍的作用。因此，本節(jié)課從等腰三角形中的一道常規(guī)題解決方法入手，引導學生品條件和結論間的關系，找到條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而找到解決問題的多種方法。從品題中的條件，結合圓的對稱性和旋轉不變性，再次引導學生將已知條件、欲求的結論以及所給圖形的特點三方面結合起來認真分析、思考，即可發(fā)現(xiàn)，適當?shù)奶砑訄A，并利用圓的有關性質，就能巧妙的找到解決問題的途徑，構造合適的輔助圓，搭橋鋪路，輕松解決問題。引導學生小結后，緊接著回歸書本，把人教社九年級上冊88頁書練習