平行線的判定和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)詳解.doc

平行線的判定和性質(zhì)（綜合篇） 一、重點(diǎn)和難點(diǎn)： 重點(diǎn)：平行線的判定性質(zhì)。 難點(diǎn)：平行線的性質(zhì)與平行線的判定的區(qū)分 掌握推理論證的格式。 二、例題： 這部分內(nèi)容所涉及的題目主要是從已知圖形中辨認(rèn)出對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角。解答這類題目的前提是熟練地掌握這些角的概念，關(guān)鍵是把握住這些角的基本圖形特征，有時(shí)還需添加必要的輔助線，用以突出基本圖形的特征。 上述類型題目大致可分為兩大類。 一類題目是判斷兩個(gè)角相等或互補(bǔ)及與之有關(guān)的一些角的運(yùn)算問(wèn)題。其方法是“由線定角”，即運(yùn)用平行線的性質(zhì)來(lái)推出兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。 另一類題目主要是“由角定線”，也就是根據(jù)某些角的相等或互補(bǔ)關(guān)系來(lái)判斷兩直線平行，解此類題目必須要掌握好平行線的判定方法。 例1如圖，已知直線a,b,c被直線d所截，若1=2，2+3=180，求證：1=7 分析：運(yùn)用綜合法，證明此題的思路是由已知角的關(guān)系推證出兩直線平行，然后再由兩直線平行解決其它角的關(guān)系。1與7是直線a和c被d所截得的同位角。須證a/c。 法（一）證明：d是直線（已知） 1+4=180（平角定義） 2+3=180，1=2（已知） 3=4（等角的補(bǔ)角相等） a/c（同位角相等，兩直線平行） 1=7（兩直線平行，同位角相等） 法（二）證明：2+3=180，1=2（已知） 1+3=180（等量代換） 5=1，6=3（對(duì)頂角相等） 5+6=180（等量代換） a/c （同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行） 1=7（兩直線平行，同位角相等）。 例2已知如圖，1+2=180，A=C，AD平分BDF，求證：BC平分DBE。 分析：只要求得EBC=CBD，由1+2=180推出1=BDC，從而推出AE/FC，從而推出C=EBC而C=A于是可得A=EBC。因此又可得AD/BC，最后再運(yùn)用平行線性質(zhì)和已知條件便可推出EBC=DBC。 證明：2+BDC=180 （平角定義） 又2+1=180（已知） BDC=1（同角的補(bǔ)角相等） AE/FC（同位角相等兩直線平行） EBC=C（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等） 又A=C（已知） EBC=A（等量代換） AD/BC（同位角相等，兩直線平行） ADB=CBD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ADF=C（兩直線平行，同位角相等） 又DA平分BDF（已知） ADB=ADF（角平分線定義） EBC=DBC（等量代換） BC平分DBE（角平分線定義） 說(shuō)明：這道題反復(fù)應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)，這是以后在證題過(guò)程中經(jīng)常使用的方法，見(jiàn)到“平行”應(yīng)想到有關(guān)的角相等，見(jiàn)到有關(guān)的角相等，就應(yīng)想到能否判斷直線間的平行關(guān)系。 把平行線的判定與性質(zhì)緊密地結(jié)合在一起也就是使直線平行和角相等聯(lián)系在一起，這樣解題能得心應(yīng)手，靈活自如。 三、小結(jié)：證明角相等的基本方法 1、第一章、第二章中已學(xué)過(guò)的關(guān)于兩個(gè)角相等的命題： （1）同角（或等角）的余角相等； （2）同角（或等角）的補(bǔ)角相等； （3）對(duì)頂角相等； （4）兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 以上四個(gè)命題是我們目前論證兩個(gè)角相等的武器，但是何時(shí)用這些武器，用什么武器，怎樣使用，這是遇到的一個(gè)具體問(wèn)題，需要認(rèn)真進(jìn)行分析。首先必須分析，在題設(shè)中給出了哪些條件，與其相關(guān)的圖形是什么！其次再分析一下要證明的兩個(gè)角在圖形的具體位置，與已知條件有什么關(guān)聯(lián)，怎樣運(yùn)用一次推理或幾個(gè)一次推理的組合而來(lái)完成題設(shè)到結(jié)論的過(guò)渡。 例3，如圖1=2=C，求證B=C。 分析：題設(shè)中給出三個(gè)相等的角，其中2和C是直線DE和BC被AC所截構(gòu)成的同位角，由2=C則DE/BC。再看題中要證明的結(jié)論是B=C，由于C=1，所以只要證明1=B，而1與B是兩條平行直線DE，BC被直線AB所截構(gòu)成的同位角，1=B是很顯然的，這樣我們就理順了從已知到求證的途徑： 證明：2=C（已知）， DE/BC（同位角相等，兩直線平行）， 1=B（兩直線平行，同位角相等）， 又1=C（已知）， B=C（等量代換）。 例4、已知如圖，AB/CD，AD/BC，求證：A=C，B=D。 分析：要證明A=C，B=D，從這四個(gè)角在圖中的位置來(lái)看，每一組既不構(gòu)成同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，由此不可能利用題設(shè)中的平行關(guān)系，經(jīng)過(guò)一次推理得到結(jié)論，仍然如同例10一樣通過(guò)等角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從題設(shè)條件出發(fā)，由AB/CD，且AB與CD被直線BC所截，構(gòu)成了一對(duì)同旁內(nèi)角，B、C，因此B+C=180o，同時(shí)B又是另一對(duì)平行線AD、BC被直線AB所截，構(gòu)成的一對(duì)同旁內(nèi)角B、A，B+A=180o，通過(guò)B的中介，就可以證明得A=C。同理，也可得到B=D，整個(gè)思路為： 證明：AD/BC（已知）， A+B=180o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）， AB/CD（已知）， B+C=180o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）， A=C（同角的補(bǔ)角相等）， 同理可證B=D。 例5、已知如圖，ADBC于D，EGBC于G，E=3，求證：1=2。 分析：要證明1=2，而從圖中所示的1和2的位置來(lái)看，根據(jù)題設(shè)或?qū)W過(guò)的定義、公理、定理無(wú)法直接證明這兩個(gè)角相等，因我們可將視野再拓廣一下，尋找一下1、2與周邊各角的關(guān)系，我們看到直線AD與GE被直線AE所截，形成同位角1、E；被AB所截，形成內(nèi)錯(cuò)角2、3；而題設(shè)明確告訴我們3=E，于是目標(biāo)集中到證明AD/GE，根據(jù)題設(shè)中ADBC，EGBC，我們很容易辦到這一點(diǎn)，總結(jié)一下思路，就可以得到以下推理程序： 證明： ADBC于D（已知）， ADC=90o（垂直定義）， EGBC于G（已知）， EGD=90o（垂直定義）， ADC=EGD（等量代換）， EG/AD（同位角相等，兩直線平行）， 1=E（兩直線平行同位角相等）， 2=3（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）， 又E=3（已知）， 1=2（等量代換）。 四、兩條直線位置關(guān)系的論證。 兩條直線位置關(guān)系的論證包括：證明兩條直線平行，證明兩條直線垂直，證明三點(diǎn)在同一直線上。 1、學(xué)過(guò)證明兩條直線平行的方法有兩大類 （一）利用角； （1）同位角相等，兩條直線平行； （2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行； （3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行。 （二）利用直線間位置關(guān)系： （1）平行于同一條直線的兩條直線平行； *（2）垂直于同一條直線的兩條直線平行。 例6、如圖，已知BE/CF，1=2，求證：AB/CD。 分析：要證明AB/CD，由圖中角的位置可看出AB與CD被BC所截得一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角ABC和DCB，只要證明這對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，而圖中的直線位置關(guān)系顯示，ABC=1+EBC，BCD=2+FCB，條件中又已知1=2，于是只要證明EBC=BCF。 證明： BE/CF（已知）， EBC=FCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 1=2（已知）， 1+EBC=2+FCB（等量加等量其和相等）， 即ABC=BCD（等式性質(zhì)）， AB/CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。 例7、如圖CDAB，EFAB，1=2，求證：DG/BC。 分析：要證明DG/BC，只需證明1=DCB，由于1=2，只需證明2=DCB，2與DCB又是同位角，只需證明CD/EF。根據(jù)題設(shè)CDAB，EFAB，CD/EF，很容易證得，這樣整個(gè)推理過(guò)程分成三個(gè)層次。 （1）（平行線的判定） （2）CD/EF2=DCB（平行線的性質(zhì)） （3）1=DCBDG/BC（平行線判定） 在這三個(gè)推理的環(huán)節(jié)中，平行線的判定和性質(zhì)交替使用，層次分明。 證明：CDAB于D（已知）， CDB=90o（垂直定義）， EFAB于F（已知）， EFB=90o（垂直定義）， CDB=EFB（等量代換）， CD/EF（同位角相等，兩直線平行）， 2=DCB（兩直線平行，同位角相等） 又1=2（已知）， 1=DCB（等量代換）， DG/BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。 說(shuō)明：從以上幾例我們可以發(fā)現(xiàn)，證明兩條直線平行，必須緊扣兩直線平行的條件，往往歸結(jié)于求證有關(guān)兩個(gè)角相等，根據(jù)圖形找出兩直線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，設(shè)法證明這一組同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)。而證明兩角相等，又經(jīng)常歸于證明兩直線平行。因此，交替使用平行線的判定方法和平行線的性質(zhì)就成為證明兩直線平行的常用思路。 2、已經(jīng)學(xué)過(guò)的證明兩直線垂直的方法有如下二個(gè)： （1）兩直線垂直的定義 （2）一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直。（即證明兩條直線的夾角等于90o而得到。） 例8、如圖，已知EFAB，3=B，1=2，求證：CDAB。 分析：這是一個(gè)與例14同樣結(jié)構(gòu)的圖形，但證明的目標(biāo)卻是兩條直線垂直。證明CDAB，根據(jù)“一條直線垂直于兩條平行線中的一條，必垂直于另一條?！庇钟捎谝阎獥l件EFAB，只要證明EF/CD，要證EF/CD，結(jié)合圖形，只要證明2=DCB，因?yàn)?=2，只需證明DCB=1，而DCB與1是一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，因而根據(jù)平行線的性質(zhì)，就需證明DG/BC，要證明DG/BC根據(jù)平行線的判定方法只需證明3=B，而這正是題設(shè)給出的條件，整個(gè)推理過(guò)程經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)層次： 3=BDG/BCDCB=2 （1）平行線判定 （2）平行線性質(zhì) CDAB （3）平行線判定性質(zhì) （4）垂直定義 證明：3=B（已知）， DG/BC（同位角相等，兩直線平行） 1=DCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）， 1=2（已知）， DCB=2（等量代換）， DC/EF（同位角相等，兩直線平行），有括號(hào)部分的五步也可以用以下證法： 接DC/EF（同位角相等，兩直線平行）， 又EFAB（已知）， CDAB（一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直。） 3、已經(jīng)學(xué)過(guò)的證明三點(diǎn)共線的方法在前面的幾講中已分析過(guò)，若證明E、O、F三點(diǎn)共線，通常采用EOF=180o，利用平角的定義完成三點(diǎn)共線證明。此方法不再舉例。 五、一題多解。 例9、已知如圖，BED=B+D。求證：AB/CD。 法（一）分析：要證明AB/CD，從題設(shè)中條件和圖形出發(fā)考慮，圖形中既不存在“三線八角”，又不存在與AB、CD同時(shí)平行的第三條直線或與AB、CD同時(shí)垂直的直線，這樣就無(wú)法利用平行線公理的推理或平行線的判定方法來(lái)證明兩條直線平行。能不能為此創(chuàng)造條件呢？如果我們能夠在圖中添置一條直線，使這條直線和AB、CD中的一條平行，那么我們就有可能證明它也平行于另一條，從而得到AB/CD。根據(jù)平行公理，經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，所以這樣的直線是存在的。接下來(lái)的問(wèn)題是：過(guò)哪一點(diǎn)作這條平行線，考慮題設(shè)中的已知條件，三個(gè)角的關(guān)系圍繞著E點(diǎn)展開(kāi)的，因而選擇E點(diǎn)作AB的平行線是較為理想的位置。 證明：過(guò)點(diǎn)E作EF/AB， B=1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）， BED=1+2（全量等于部分之和）， 2=BED-1（等式性質(zhì)）， 又BED=B+D（已知）， D=BED-B（等式性質(zhì)） 2=D（等量代換） EF/CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）， EF/AB（作圖）， AB/CD（平行于同一直線的兩直線平行）。 說(shuō)明：在光憑題設(shè)條件無(wú)法直接證得結(jié)論時(shí)，在圖中添置新的線，以構(gòu)成一個(gè)條件充分的圖形，從而得出所求證的結(jié)論，像這樣添置的線叫做輔助線，在畫(huà)圖時(shí)，輔助線用虛線畫(huà)出。 法（二）分析：如果在E點(diǎn)的另一側(cè)添置AB的平行線（如圖），同樣可以憑此證得結(jié)論，但是由于所取的角的位置不同，推理的依據(jù)過(guò)程也有所不同。 證明：過(guò)點(diǎn)E作EF/AB（如圖）， B+1=180o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）， 1+2+BED=360o（周角定義）， BED=B+D（已知）， B+D+1+2=360o（等量代換）， D+2=360o-（B+1）（等式性質(zhì)） =360o-180o（等量代換） =180o EF/CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）， EF/AB（作圖）， AB/CD（平行于同一直線的兩條直線平行）。 注意：在添置輔助線EF時(shí)，只能過(guò)E點(diǎn)作直線EF平行于直線AB、CD中的一條，而不能同時(shí)平行于AB和CD。 從另一個(gè)方面考慮這個(gè)命題，仍然是這個(gè)圖形如果我們交換題設(shè)和結(jié)論部分：即已知AB/CD，能否得到BED=B+D的結(jié)論，仍然像例16法（一）那樣添置AB的平行線EF，可得到B=BEF，又由于AB/CD，則EF/CD。于是又有D=DEF，很顯然B+D=BEF+DEF=BED?？芍?，交換原命題的題設(shè)和結(jié)論部分，仍然得到一個(gè)真命題。 平行線的性質(zhì) 考點(diǎn)掃描: 會(huì)用一直線截兩平行線所得的同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)等性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算 名師精講: 平行線的性質(zhì)是指在兩條直線平行的前提條件下，能夠得到的與圖形有關(guān)的位置及數(shù)量關(guān)系平行線的性質(zhì)有：（1）平行線永遠(yuǎn)不相交（定義）； （2）兩直線平行，同位角相等（性質(zhì)公理）； （3）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（性質(zhì)定理1）； （4）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（性質(zhì)定理2） 平行線的判定和平行線的性質(zhì)不能混淆，應(yīng)分清定理（或公理）的條件結(jié)論： （1）判定定理說(shuō)的是滿足了什么條件（性質(zhì)）的兩條直線是互相平行的 （2）性質(zhì)定理說(shuō)的是如果兩條直線平行，它具有什么性質(zhì) 由此可見(jiàn)，判定定理與性質(zhì)定理是因果關(guān)系倒置的兩類定理（稱為“互逆”定理）1已知：如圖，ABCD，CE平分ACD，A110，則ECD的度數(shù)等于（ ） A、110 B、70 C、55 D、35 考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)，角平分線 評(píng)析：因?yàn)锳與ACD是同旁內(nèi)角，又ABCD，由平行線