常微分方程第三版課后習(xí)題答案.doc

常微分方程第三版課后習(xí)題答案習(xí)題1.21=2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx 兩邊積分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0時，y=0原方程的通解為y= cex,x=0 y=1時 c=1特解為y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx兩邊積分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1時 c=e特解：y=3= 解：原方程為：=dy=dx 兩邊積分：x(1+x)(1+y)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程為： dy=-dx兩邊積分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。5（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程為： =-令=u 則=u+x 代入有：-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即 ln(y+x)=c-2arctg.6. x-y+=0 解：原方程為： =+-則令=u =u+ x du=sgnx dxarcsin=sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程為：=兩邊積分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= 另外y=0也是原方程的解，而c=0時，y=0.所以原方程的通解為sinycosx=c.8 +=0 解：原方程為：=e2 e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程為：=ln令=u ,則=u+ xu+ x=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln=cy.10. =e 解：原方程為：=eee=ce11 =(x+y) 解：令x+y=u,則=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12. =解：令x+y=u,則=-1 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13. =解: 原方程為：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y)-dx+x=c xy-y+y-x-x=c14: =解：原方程為：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c.15: =(x+1) +(4y+1) +8xy 解：原方程為：=（x+4y）+3令x+4y=u 則=-=u+3=4 u+13u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)=(x+4y+1).16:證明方程=f(xy),經(jīng)變換xy=u可化為變量分離方程，并由此求下列方程：1） y(1+xy)dx=xdy2） = 證明： 令xy=u,則x+y= 則=-，有： =f(u)+1 du=dx 所以原方程可化為變量分離方程。1） 令xy=u 則=- (1)原方程可化為：=1+（xy） (2)將1代入2式有：-=(1+u)u=+cx17.求一曲線，使它的切線坐標軸間的部分初切點分成相等的部分。解：設(shè)（x +y ）為所求曲線上任意一點，則切線方程為：y=y(x- x )+ y 則與x軸，y軸交點分別為： x= x - y= y - x y 則 x=2 x = x - 所以 xy=c18.求曲線上任意一點切線與該點的向徑夾角為0的曲線方程，其中 = 。解：由題意得：y= dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 則y=tgx 所以 c=1 y=x.19.證明曲線上的切線的斜率與切點的橫坐標成正比的曲線是拋物線。 證明：設(shè)(x,y)為所求曲線上的任意一點，則y=kx 則：y=kx +c 即為所求。 常微分方程習(xí)題2.11.,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解. 解：對原式進行變量分離得并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進行變量分離得：3 解：原式可化為： 12解1516解： ，這是齊次方程，令17. 解：原方程化為 令方程組則有令當當另外 19. 已知f(x).解：設(shè)f(x)=y, 則原方程化為 兩邊求導(dǎo)得20.求具有性質(zhì) x(t+s)=的函數(shù)x(t),已知x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)= 若x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(0)=0. x(t)=) 兩邊積分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 當t=0時 x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t習(xí)題2.2求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n為常數(shù).解：原方程可化為： 是原方程的解.5+=解：原方程可化為：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 則 =u因此：= （*） 將帶入 （*）中 得：是原方程的解.13這是n=-1時的伯努利方程。兩邊同除以，令 P(x)= Q(x)=-1由一階線性方程的求解公式 =14 兩邊同乘以 令 這是n=2時的伯努利方程。兩邊同除以 令 P（x）= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = =15 這是n=3時的伯努利方程。兩邊同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設(shè)函數(shù)(t)于t上連續(xù)，(0)存在且滿足關(guān)系式(t+s)=(t)(s)試求此函數(shù)。令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或（1） 當時 即 ,) (2) 當時 = = =于是 變量分離得 積分 由于，即t=0時 1=c=1故 20.試證： （1）一階非齊線性方程（2 .28）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（2.3）之解； （2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，則方程（2.28）的通解可表為，其中為任意常數(shù).（3）方程（2.3）任一解的常數(shù)倍或任兩解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.證明： （2.28） （2.3）（1） 設(shè)，是（2.28）的任意兩個解則 （1） （2）（1）-（2）得 即是滿足方程（2.3）所以，命題成立。（2） 由題意得： （3） （4）1）先證是（2.28）的一個解。于是 得故是（2.28）的一個解。2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫成的形式設(shè)是(2.28)的一個解則 （4）于是 （4）-（4）得從而 即 所以，命題成立。（3） 設(shè)，是（2.3）的任意兩個解則 （5） （6）于是（5）得 即 其中為任意常數(shù)也就是滿足方程（2.3）（5）（6）得 即 也就是滿足方程（2.3）所以命題成立。21.試建立分別具有下列性質(zhì)的曲線所滿足的微分方程并求解。（5） 曲線上任一點的切線的縱截距等于切點橫坐標的平方；（6） 曲線上任一點的切線的縱截距是切點橫坐標和縱坐標的等差中項；解：設(shè)為曲線上的任一點，則過點曲線的切線方程為從而此切線與兩坐標軸的交點坐標為即 橫截距為 ， 縱截距為 。由題意得：（5） 方程變形為 于是 所以，方程的通解為。（6）方程變形為 于是 所以，方程的通解為。22求解下列方程。（1）解： = = = （2） P(x)= Q(x)=由一階線性方程的求解公式 = = =習(xí)題2.31、驗證下列方程是恰當方程，并求出方程的解。1. 解： ，=1 .則所以此方程是恰當方程。湊微分，得 ：2 解： ， .則 .所以此方程為恰當方程。湊微分，得 3 解： 則 .因此此方程是恰當方程。 （1） （2）對（1）做的積分，則= （3）對（3）做的積分，則=則故此方程的通解為4、 解： ， . .則此方程為恰當方程。湊微分，得 ：5.(sin-cos+1)dx+( cos- sin+)dy=0解： M=sin-cos+1 N= cos- sin+=- sin-cos- cos+sin=- sin-cos- cos+sin所以，=，故原方程為恰當方程因為sindx-cosdx+dx+ cosdy- sindy+dy=0d(-cos)+d (sin)+dx+d(-)=0所以，d(sin-cos+x -)=0故所求的解為sin-cos+x -=C求下列方程的解：62x(y-1)dx+dy=0解：= 2x , =2x所以，=，故原方程為恰當方程又2xydx-2xdx+dy=0所以，d(y-x)=0故所求的解為y-x=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，d e( x-2x+2)+d( xy)=0即d e( x-2x+2)+ xy=0故方程的解為e( x-2x+2)+ xy=C8. 2xydx+( x+1)dy=0解：2xydx+ xdy+dy=0d( xy)+dy=0即d(xy+y)=0故方程的解為xy+y=C9、解：兩邊同除以 得即，故方程的通解為10、解：方程可化為：即， 故方程的通解為： 即：同時，y=0也是方程的解。11、解：方程可化為： 即：故方程的通解為：12、解：方程可化為：故方程的通解為 ： 即：13、解：這里 ， 方程有積分因子兩邊乘以得：方程是恰當方程故方程的通解為：即：14、解：這里因為故方程的通解為： 即：15、解：這里 方程有積分因子： 兩邊乘以得：方程為恰當方程故通解為 ：即：16、解：兩邊同乘以得：故方程的通解為：17、試導(dǎo)出方程具有形為和的積分因子的充要條件。解：若方程具有為積分因子， （是連續(xù)可導(dǎo)）令 ， .， ， ， 方程有積分因子的充要條件是：是的函數(shù)，此時，積分因子為 . 令 ，此時的積分因子為18. 設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴于的積分因子.證:必要性 若該方程為線性方程,則有 ,此方程有積分因子,只與有關(guān) .充分性 若該方程有只與有關(guān)的積分因子 .則為恰當方程 ,從而 , , .其中 .于是方程可化為即方程為一階線性方程.20.設(shè)函數(shù)f(u)，g(u)連續(xù)、可微且f(u)g(u),，試證方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有積分因子u=(xyf(xy)-g(xy)證：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0兩邊同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0則=uf+uy+yf=+-yf=而=ug+ux+xg=+- xg=故=，所以u是方程得一個積分因子21假設(shè)方程（2.43）中得函數(shù)M（x,y）N(x,y)滿足關(guān)系=Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分別為x和y得連續(xù)函數(shù)，試證方程（2.43）有積分因子u=exp(+)證明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即證u+M=u+Nu(-)=N- Mu(-)=Nef(x)-M eg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y)由已知條件上式恒成立，故原命題得證。22、求出伯努利方程的積分因子.解：已知伯努利方程為：兩邊同乘以，令，線性方程有積分因子：，故原方程的積分因子為：，證畢！23、設(shè)是方程的積分因子，從而求得可微函數(shù)，使得試證也是方程的積分因子的充要條件是其中是的可微函數(shù)。證明：若，則又即為的一個積分因子。24、設(shè)是方程的兩個積分因子，且常數(shù)，求證（任意常數(shù)）是方程的通解。證明：因為是方程的積分因子所以 為恰當方程即 ，下面只需證的全微分沿方程恒為零事實上：即當時，是方程的解。證畢！習(xí)題 2.4求解下列方程1、解：令，則， 從而， 于是求得方程參數(shù)形式得通解為.2、解：令，則，即，從而 ，于是求得方程參數(shù)形式得通解為.3、解：令，則，從而 = ，于是求得方程參數(shù)形式的通解為,另外，y=0也是方程的解.4、, 為常數(shù)解：令，則，從而 ，于是求得方程參數(shù)形式的通解為.5、1解：令，則，從而 ，于是求得方程參數(shù)形式的通解為.6、解：令，則，得，所以，從而，于是求得方程參數(shù)形式的通解為，因此方程的通解為.習(xí)題2.52 解：兩邊同除以，得：即4解：兩邊同除以，得 令 則 即得到，即另外也是方程的解。6 解： 得到 即 另外也是方程的解。8. 解：令 則： 即 得到 故 即 另外也是方程的解。10 解：令 即 而故兩邊積分得到 因此原方程的解為，。 12. 解： 令 則 即 故方程的解為 14 解： 令 則 那么 求得： 故方程的解為 或可寫 為 16 解：令 則 即方程的解為18 解： 將方程變形后得 同除以得： 令 則 即原方程的解為19.X(解：方程可化為2y( 令27. 解： 令，則， ， 兩邊積分得 即為方程的通解。另外，即也是方程的解。28. 解： 兩邊同除以，方程可化為： 令，則 即 ，兩邊積分得 即 為方程的解。29. 解： 令，則 ， ，那么 即 兩邊積分得 即為方程的解。30. 解： 方程可化為 兩邊積分得 即 為方程的解。31. 解： 方程可化為 兩邊同除以，得 即 令，則 即 兩邊積分得 將代入得， 即 故 32. 解： 方程可化為 兩邊同加上，得 （*）再由，可知 （*）將（*）/（*）得 即 整理得 兩邊積分得 即 另外，也是方程的解。33. 求一曲線，使其切線在縱軸上之截距等于切點的橫坐標。解： 設(shè)為所求曲線上的任一點，則在點的切線在軸上的截距為： 由題意得 即 也即 兩邊同除以，得 即 即 為方程的解。34. 摩托艇以5米/秒的速度在靜水運動，全速時停止了發(fā)動機，過了20秒鐘后，艇的速度減至米/秒。確定發(fā)動機停止2分鐘后艇的速度。假定水的阻力與艇的運動速度成正比例。解：，又，由此 即 其中，解之得 又時，；時，。故得 ，從而方程可化為 當時，有 米/秒即為所求的確定發(fā)動機停止2分鐘后艇的速度。35. 一質(zhì)量為m的質(zhì)點作直線運動，從速度等于零的時刻起，有一個和時間成正比（比例系數(shù)為k1）的力作用在它上面，此質(zhì)點又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為k2）。試求此質(zhì)點的速度與時間的關(guān)系。解：由物理知識得：根據(jù)題意：故：即：(*)式為一階非齊線性方程，根據(jù)其求解公式有又當t=0時，V=0，故c=因此，此質(zhì)點的速度與時間的關(guān)系為：36. 解下列的黎卡提方程（1）解：原方程可轉(zhuǎn)化為：觀察得到它的一個特解為：，設(shè)它的任意一個解為，代入（*）式得到：由（*）-（*）得：變量分離得：兩邊同時積分：即：故原方程的解為 （2）解：原方程可化為：由觀察得，它的一個特解為，設(shè)它的任意一個解為，故變量分離再兩邊同時積分得：即故原方程的解為（3）解：原方程可化為：由觀察得到，它的一個特解為，設(shè)它的任一個解為，故，該式是一個的伯努利方程兩邊同除以得到：即：，令，則：，根據(jù)一階非齊線性方程的求解公式得：故：因此：原方程的解為：（4）解：原方程可化為：由觀察得到，它的一個特解為，設(shè)它的任一個解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：即：故：原方程的解為：（5）解：原方程可化為：由觀察得，它的一個特解為，故設(shè)它的任一個解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：故：原方程的解為：，即.（6）解：原方程可化為：由觀察得到它的一個特解為，設(shè)它的任一個解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：從而：故原方程的解為：即：（7）解：由觀察得到它的一個特解為，故設(shè)它的任一個解為，于是，這是n=2的佰努利方程，兩邊同除以得：即：從而：故原方程的解為：習(xí)題3.1 1 求方程=x+y通過點(0,0)的第三次近似解； 解： 取 = 2 求方程=x-y通過點(1,0)的第三次近似解； 解： 令 則 = 3 題 求初值問題： R：1，1的解的存在區(qū)間，并求解第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計；解： 因為 M=max=4 則h=min(a,)= 則解的存在區(qū)間為= 令 =0 ;=y+dx=x+; =y+dx=x-+ 又 =L則：誤差估計為：=4 題 討論方程：在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點（0，0）的一切解；解：因為=在y上存在且連續(xù)； 而在上連續(xù)由 有：=（x+c）又 因為y(0)=0 所以：=x另外 y=0也是方程的解；故 方程的解為：=或 y=0;6題 證明格朗瓦耳不等式： 設(shè)K為非負整數(shù)，f(t)和g(t)為區(qū)間上的連續(xù)非負函數(shù)，且滿足不等式： f(t)k+, 則有：f(t)kexp(),證明：令R（t）=,則(T)=f(t)g(t) (T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) kg(t)(T)- R(t)g(t)kg(t); 兩邊同乘以exp(-) 則有： (T) exp(-)-R(t)g(t) exp(-) kg(t) exp(-)兩邊從到t積分：R(t) exp(-)-exp(-)ds即 R(t) exp(-)ds又 f(t) 1k+R(t) k+kexp(-)ds k(1-1+ exp(-)=k exp()即 f(t) k;7題 假設(shè)函數(shù)f(x,y)于（x,y）的領(lǐng)域內(nèi)是y的 不增函數(shù)，試證方程= f(x,y)滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)最多只有一個解；證明：假設(shè)滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)有兩個(x),(x) 則滿足： (x)= y+dx (x)= y+dx不妨假設(shè)(x)(x)，則(x)- (x)0而(x)- (x)= dx-dx =dx又因為 f(x,y)在（x,y）的領(lǐng)域內(nèi)是y的 增函數(shù)，則： f(x, (x)-f(x, (x)0則(x)- (x)= dx0則(x)- (x)0所以 (x)- (x)=0， 即 (x)= (x)則原命題方程滿足條件y(x)= y的解于x x一側(cè)最多只有一個解；習(xí)題 3.4(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的話）：1、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得 從得 時，；從得 ，為參數(shù)，為任意常數(shù).經(jīng)檢驗得，（）是方程奇解.2、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得 ，解之得 ，所以，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.3、解：這是克萊洛方程，因此它的通解為，從 中消去c,得到奇解.4、解：這是克萊洛方程，因此它的通解為 ，從 中消去c,得到奇解 .5、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得 ，解之得 ，所以 ，可知此方程沒有奇解.6、解：原方程可化為，這是克萊羅方程，因此其通解為，從 中消去c，得奇解.7、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得 ，所以 ，可知此方程沒有奇解.8、解：可知此方程沒有奇解.9、解：令，則，兩邊對x求導(dǎo)，得 解之得 ，所以 ，且 也是方程的解，但不是方程的奇解.10、解：這是克萊羅方程，因此方程的通解為，從中消去c,得方程的奇解.（二）求下列曲線族的包絡(luò).1、解:對c求導(dǎo)，得 x+2c=0, , 代入原方程得， 經(jīng)檢驗得，是原方程的包絡(luò).2、解：對c求導(dǎo)，得 ，代入原方程得 ，即，經(jīng)檢驗得是原方程的包絡(luò).3、解：對c求導(dǎo)，得 2(x-c)-2(y-c)=0, ,代入原方程得.經(jīng)檢驗,得 是原方程的包絡(luò).4、解：對c求導(dǎo)，得 -2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得 ，,經(jīng)檢驗，得是原方程的包絡(luò).(三) 求一曲線，使它上面的每一點的切線截割坐標軸使兩截距之和等于常數(shù)c.解：設(shè)所求曲線方程為y=y(x),以X、Y表坐標系，則曲線上任一點（x,y(x)）的切線方程為，它與X軸、Y軸的截距分別為，按條件有 ，化簡得，這是克萊洛方程，它的通解為一族直線，它的包絡(luò)是，消去c后得我們所求的曲線.(四) 試證：就克萊洛方程來說，p-判別曲線和方程通解的c-判別曲線同樣是方程通解的包絡(luò)，從而為方程的奇解.證：克萊洛方程 y=xp+f(p)的p-判別曲線就是用p-消去法，從 中消去p后而得的曲線； c-判別曲線就是用c-消去法，從通解及它對求導(dǎo)的所得的方程中消去c而得的曲線，顯然它們的結(jié)果是一致的，是一單因式，因此p-判別曲線是通解的包絡(luò)，也是方程的通解. 習(xí)題4.1 1. 設(shè)和是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，證明：如果在區(qū)間上有常數(shù)或常數(shù)，則和在區(qū)間上線形無關(guān)。證明：假設(shè)在，在區(qū)間上線形相關(guān)則存在不全為零的常數(shù)，使得那么不妨設(shè)不為零，則有顯然為常數(shù)，與題矛盾，即假設(shè)不成立，在區(qū)間上線形無關(guān)2. 證明非齊線形方程的疊加原理：設(shè)，分別是非齊線形方程 （1） （2） 的解，則+是方程 +的解。證明：由題可知，分別是方程（1），（2）的解則： （3） （4）那么由（3）+（4）得：+即+是方程是+的解。3. 試驗證0的基本解組為，并求方程的通解。 證明：由題將代入方程0得：-=0,即是該方程的解，同理求得也是該方程的解又顯然線形無關(guān)，故是0的基本解組。 由題可設(shè)所求通解為：，則有：解之得：故所求通解為：4. 試驗證0有基本解組t，并求方程t-1的通解。解：由題將t代入方程0得： ，即t為該方程的解 同理也是該方程的解，又顯然t，線形無關(guān)， 故t，是方程0的基本解組由題可設(shè)所求通解為，則有：解之得：故所求通解為5. 以知方程0的基本解組為，求此方程適合初始條件的基本解組（稱為標準基本解組，即有）并求出方程的適合初始條件的解。 解：時間方程0的基本解組，故存在常數(shù)使得： 于是：令t=0,則有方程適合初始條件，于是有：解得： 故又該方程適合初始條件，于是：解得： 故顯然，線形無關(guān)，所以此方程適合初始條件的基本解組為：， 而此方程同時滿足初始條件，于是：解得：故滿足要求的解。6. 設(shè)是齊線形方程（4.2）的任意n個解。它們所構(gòu)成的伏朗斯行列式記為，試證明滿足一階線形方程，因而有： 解：又滿足即則：即 則有：即： 7. 假設(shè)是二階齊線形方程（*）的解，這里 在區(qū)間上連續(xù)，試證：（1）是方程的解的充要條件為：；（2）方程的通解可以表示為：,其中為常數(shù),證