2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第十五講：二次函數(shù)的應(yīng)用(含詳細參考答案)-教師版.doc

第 37 頁 共 37 頁2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第十五講 二次函數(shù)的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識回顧】一、 二次函數(shù)與一元二次方程： 二次函數(shù)y= ax2+bx+c的同象與x軸的交點的橫坐標對應(yīng)著一元二次方程ax2+bx+c=0的實數(shù)根，它們都由根的判別式 決定拋物線x軸有 個交點 b2-4ac0一元二次方程有 實數(shù)根拋物線x軸有 個交點 b2-4ac=0一元二次方程有 實數(shù)根拋物線x軸有 個交點 b2-4ac0一元二次方程有 實數(shù)根【名師提醒：若拋物線與x軸有兩交點為A（x1,0）B(x2,0)則拋物線對稱軸式x= 兩交點間距離AB 】二、二次函數(shù)解析式的確定：1、設(shè)頂點式，即：設(shè) 當知道拋物線的頂點坐標或?qū)ΨQ軸方程與函數(shù)最值時，除代入這一點外，再知道一個點的坐標即可求函數(shù)解析式2、設(shè)一般式，即：設(shè) 知道一般的三個點坐標或自變量與函數(shù)的三組對應(yīng)數(shù)值可設(shè)為一般式，從而列三元一次方程組求的函數(shù)解析式【名師提醒：求二次函數(shù)解析式，根據(jù)具體同象特征靈活設(shè)不同的關(guān)系或除上述常用方法以外，還有：如拋物線頂點在原點可設(shè) 以y軸為對稱軸，可設(shè) 頂點在x軸上，可設(shè) 拋物線過原點 等】三、二次函數(shù)的應(yīng)用 1、實際問題中解決最值問題：步驟：1、分析數(shù)量關(guān)系 建立模型 2、設(shè)自變量 建立函數(shù)關(guān)系 3、確定自變量的取值范圍 4、根據(jù)頂點坐標公式或配法結(jié)合自變量的取值范圍求出函數(shù)最值2、與一次函數(shù)或直線形圖形結(jié)合的綜合性問題 一般步驟：1、求一些特殊點的坐標 2、將點的坐標代入函數(shù)關(guān)系式求出函數(shù)的解析式 3、結(jié)合圖像根據(jù)自變量取值討論點的存在性或圖形的形狀等問題 【名師提醒：1、在有關(guān)二次函數(shù)最值的應(yīng)用問題中一定要注意自變量的取值范圍 2、有關(guān)二次函數(shù)綜合性問題中一般作為中考壓軸題出現(xiàn)，解決此類問題時要將題目分解開來，討論過程中要盡量將問題】【重點考點例析】 考點一：二次函數(shù)的最值例1 （2012呼和浩特）已知：M，N兩點關(guān)于y軸對稱，且點M在雙曲線上，點N在直線y=x+3上，設(shè)點M的坐標為（a，b），則二次函數(shù)y=-abx2+（a+b）x（）A有最大值，最大值為 B有最大值，最大值為 C有最小值，最小值為 D有最小值，最小值為思路分析：先用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出其最值即可解：M，N兩點關(guān)于y軸對稱，點M的坐標為（a，b），N點的坐標為（-a，b），又點M在反比例函數(shù)的圖象上，點N在一次函數(shù)y=x+3的圖象上，整理得，故二次函數(shù)y=-abx2+（a+b）x為y=x2+3x，二次項系數(shù)為0，故函數(shù)有最大值，最大值為y=，故選：B點評：本題考查的是二次函數(shù)的最值求二次函數(shù)的最大（?。┲涤腥N方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法本題是利用公式法求得的最值對應(yīng)訓(xùn)練1（2012蘭州）已知二次函數(shù)y=a（x+1）2-b（a0）有最小值1，則a，b的大小關(guān)系為（）Aab Bab Ca=b D不能確定1A解：二次函數(shù)y=a（x+1）2-b（a0）有最小值，拋物線開口方向向上，即a0；又最小值為1，即-b=1，b=-1，ab故選A考點二：確定二次函數(shù)關(guān)系式ABCOxy例2 （2012珠海）如圖，二次函數(shù)y=（x-2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B是點C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點A（1，0）及點B（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出滿足kx+b（x-2）2+m的x的取值范圍思路分析：（1）將點A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根據(jù)點的對稱性，將y=3代入二次函數(shù)解析式求出B的橫坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)圖象和A、B的交點坐標可直接求出kx+b（x-2）2+m的x的取值范圍解：（1）將點A（1，0）代入y=（x-2）2+m得，（1-2）2+m=0，1+m=0，m=-1，則二次函數(shù)解析式為y=（x-2）2-1當x=0時，y=4-1=3，故C點坐標為（0，3），由于C和B關(guān)于對稱軸對稱，在設(shè)B點坐標為（x，3），令y=3，有（x-2）2-1=3，解得x=4或x=0則B點坐標為（4，3）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，將A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，解得，則一次函數(shù)解析式為y=x-1；（2）A、B坐標為（1，0），（4，3），當kx+b（x-2）2+m時，1x4點評：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與不等式組，求出B點坐標是解題的關(guān)鍵對應(yīng)訓(xùn)練2（2012佳木斯）如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過坐標原點，并與x軸交于點A（2，0）（1）求此拋物線的解析式；（2）寫出頂點坐標及對稱軸；（3）若拋物線上有一點B，且SOAB=3，求點B的坐標2分析：（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c中，列方程組求b、c的值即可；（2）將二次函數(shù)解析式寫成頂點式，可求頂點坐標及對稱軸；（3）設(shè)點B的坐標為（a，b），根據(jù)三角形的面積公式 求b的值，再將縱坐標b代入拋物線解析式求a的值，確定B點坐標解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得，解得 ，所以解析式為y=x2-2x。（2）y=x2-2x=（x-1）2-1，頂點為（1，-1），對稱軸為：直線x=1 。（3）設(shè)點B的坐標為（a，b），則2|b|=3，解得b=3或b=-3，頂點縱坐標為-1，-3-1 （或x2-2x=-3中，x無解）b=3，x2-2x=3，解得x1=3，x2=-1所以點B的坐標為（3，3）或（-1，3）。點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)關(guān)鍵是將拋物線上兩點坐標代入解析式，列方程組求解析式，將拋物線解析式寫成頂點式，可求頂點坐標及對稱軸考點三：二次函數(shù)與x軸的交點問題例3 （2012天津）若關(guān)于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有實數(shù)根x1、x2，且x1x2，有下列結(jié)論：x1=2，x2=3；m；二次函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）+m的圖象與x軸交點的坐標為（2，0）和（3，0）其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A0 B1 C2 D3 思路分析：將已知的一元二次方程整理為一般形式，根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可對選項進行判斷；再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積為6-m，這只有在m=0時才能成立，故選項錯誤；將選項中的二次函數(shù)解析式整理后，利用根與系數(shù)關(guān)系得出的兩根之和與兩根之積代入，整理得到確定出二次函數(shù)解析式，令y=0，得到關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標，即可對選項進行判斷解：一元二次方程（x-2）（x-3）=m化為一般形式得：x2-5x+6-m=0，方程有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+10，解得：m ，故選項正確；一元二次方程實數(shù)根分別為x1、x2，x1+x2=5，x1x2=6-m，而選項中x1=2，x2=3，只有在m=0時才能成立，故選項錯誤；二次函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，解得：x=2或3，拋物線與x軸的交點為（2，0）或（3，0），故選項正確綜上所述，正確的結(jié)論有2個：故選C點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式的運用，是中考中常考的綜合題對應(yīng)訓(xùn)練3（2012株洲）如圖，已知拋物線與x軸的一個交點A（1，0），對稱軸是x=-1，則該拋物線與x軸的另一交點坐標是（）A（-3，0） B（-2，0） Cx=-3 Dx=-23A解：拋物線與x軸的另一個交點為B（b，0），拋物線與x軸的一個交點A（1，0），對稱軸是x=-1，=-1，解得b=-3，B（-3，0）故選A 考點四：二次函數(shù)的實際應(yīng)用例4 （2012紹興）教練對小明推鉛球的錄像進行技術(shù)分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系為y=-（x-4）2+3，由此可知鉛球推出的距離是 m思路分析：根據(jù)鉛球落地時，高度y=0，把實際問題可理解為當y=0時，求x的值即可解：令函數(shù)式y(tǒng)=-（x-4）2+3中，y=0，0=-（x-4）2+3，解得x1=10，x2=-2（舍去），即鉛球推出的距離是10m故答案為：10點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用中函數(shù)式中自變量與函數(shù)表達的實際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵例5 （2012重慶）企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進行集中處理，另一種是通過企業(yè)的自身設(shè)備進行處理某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調(diào)試階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設(shè)備處理污水，兩種處理方式同時進行1至6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量y1（噸）與月份x（1x6，且x取整數(shù)）之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下表：月份x123456輸送的污水量y1（噸）12000600040003000240020007至12月，該企業(yè)自身處理的污水量y2（噸）與月份x（7x12，且x取整數(shù)）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系式為y2=ax2+c(a0)其圖象如圖所示1至6月，污水廠處理每噸污水的費用：z1（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式：z1=x，該企業(yè)自身處理每噸污水的費用：z2（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式：z2=x-x2；7至12月，污水廠處理每噸污水的費用均為2元，該企業(yè)自身處理每噸污水的費用均為1.5元（1）請觀察題中的表格和圖象，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識，分別直接寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）請你求出該企業(yè)去年哪個月用于污水處理的費用W（元）最多，并求出這個最多費用；（3）今年以來，由于自建污水處理設(shè)備的全面運行，該企業(yè)決定擴大產(chǎn)能并將所有污水全部自身處理，估計擴大產(chǎn)能后今年每月的污水量都將在去年每月的基礎(chǔ)上增加a%，同時每噸污水處理的費用將在去年12月份的基礎(chǔ)上增加（a-30）%，為鼓勵節(jié)能降耗，減輕企業(yè)負擔(dān)，財政對企業(yè)處理污水的費用進行50%的補助若該企業(yè)每月的污水處理費用為18000元，請計算出a的整數(shù)值（參考數(shù)據(jù)： 15.2，20.5， 28.4）思路分析：（1）利用表格中數(shù)據(jù)可以得出xy=定值，則y1與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)關(guān)系求出即可，再利用函數(shù)圖象得出：圖象過（7，10049），（12，10144）點，求出解析式即可；（2）利用當1x6時，以及當7x12時，分別求出處理污水的費用，即可得出答案；（3）利用今年每月的污水量都將在去年每月的基礎(chǔ)上增加a%，同時每噸污水處理的費用將在去年12月份的基礎(chǔ)上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）1.51+（a-30）%（1-50%）=18000，進而求出即可解：（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可以得出xy=定值，則y1與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)關(guān)系：y1=，將（1，12000）代入得：k=112000=12000，故y1=（1x6，且x取整數(shù)）；根據(jù)圖象可以得出：圖象過（7，10049），（12，10144）點，代入y2=ax2+c(a0)得：，解得：，故y2=x2+10000（7x12，且x取整數(shù)）；（2）當1x6，且x取整數(shù)時：W=y1z1+（12000-y1）z2=+（12000-）（x-x2），=-1000x2+10000x-3000，a=-10000，x=5，1x6，當x=5時，W最大=22000（元），當7x12時，且x取整數(shù)時，W=2（12000-y2）+1.5y2=2（12000-x2-10000）+1.5（x2+10000），=-x2+1900，a=-0，x=0，當7x12時，W隨x的增大而減小，當x=7時，W最大=18975.5（元），2200018975.5，去年5月用于污水處理的費用最多，最多費用是22000元；（3）由題意得：12000（1+a%）1.51+（a-30）%（1-50%）=18000，設(shè)t=a%，整理得：10t2+17t-13=0，解得：t=，28.4，t10.57，t2-2.27（舍去），a57，答：a的值是57點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用和根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式和二次函數(shù)關(guān)系式、求二次函數(shù)最值等知識此題閱讀量較大，得出正確關(guān)于a%的等式方程是解題關(guān)鍵對應(yīng)訓(xùn)練4（2012襄陽）某一型號飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式是y=60x-1.5x2，該型號飛機著陸后滑行 m才能停下來4600解：-1.50，函數(shù)有最大值s最大值=，即飛機著陸后滑行600米才能停止故答案為：600點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，運用二次函數(shù)求最值問題常用公式法或配方法得出是解題關(guān)鍵5（2012益陽）已知：如圖，拋物線y=a（x-1）2+c與x軸交于點A（1-，0）和點B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點P落在點P（1，3）處（1）求原拋物線的解析式；（2）學(xué)校舉行班徽設(shè)計比賽，九年級5班的小明在解答此題時頓生靈感：過點P作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計成一個“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠；而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比（約等于0.618）請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：2.236，2.449，結(jié)果可保留根號）5考點：二次函數(shù)的應(yīng)用分析：（1）利用P與P（1，3）關(guān)于x軸對稱，得出P點坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)已知得出C，D兩點坐標，進而得出“W”圖案的高與寬（CD）的比解：（1）P與P（1，3）關(guān)于x軸對稱，P點坐標為（1，-3）； 拋物線y=a（x-1）2+c過點A（1-，0），頂點是P（1，-3），；解得；則拋物線的解析式為y=（x-1）2-3，即y=x2-2x-2（2）CD平行x軸，P（1，3）在CD上，C、D兩點縱坐標為3； 由（x-1）2-3=3，解得：x1=1-，x2=1+，C、D兩點的坐標分別為（1-，3），（1+，3）CD=2。“W”圖案的高與寬（CD）的比=（或約等于0.6124）點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知得出C，D兩點坐標是解題關(guān)鍵考點五：二次函數(shù)綜合性題目例6 （2012自貢）如圖，拋物線交x軸于點A（-3，0）、B（1，0），交y軸于點C（0，-3）將拋物線沿y軸翻折得拋物線（1）求的解析式；（2）在的對稱軸上找出點P，使點P到點A的對稱點A1及C兩點的距離差最大，并說出理由；（3）平行于x軸的一條直線交拋物線于E、F兩點，若以EF為直徑的圓恰與x軸相切，求此圓的半徑思路分析：（1）首先求出翻折變換后點A、B所對應(yīng)點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）如圖2所示，連接B1C并延長，與對稱軸x=1交于點P，則點P即為所求利用軸對稱的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系（三角形兩邊之差小于第三邊）可以證明此結(jié)論為求點P的坐標，首先需要求出直線B1C的解析式；（3）如圖3所示，所求的圓有兩個，注意不要遺漏解題要點是利用圓的半徑表示點F（或點E）的坐標，然后代入拋物線的解析式，解一元二次方程求出此圓的半徑解：（1）如圖1所示，設(shè)經(jīng)翻折后，點A、B的對應(yīng)點分別為A1、B1，依題意，由翻折變換的性質(zhì)可知A1（3，0），B1（-1，0），C點坐標不變，因此，拋物線經(jīng)過A1（3，0），B1（-1，0），C（0，-3）三點，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，則有： 9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3 ，解得a=1，b=-2，c=-3，故拋物線的解析式為：y=x2-2x-3（2）拋物線的對稱軸為：x= =1，如圖2所示，連接B1C并延長，與對稱軸x=1交于點P，則點P即為所求此時，|PA1-PC|=|PB1-PC|=B1C設(shè)P為對稱軸x=1上不同于點P的任意一點，則有：|PA-PC|=|PB1-PC|B1C（三角形兩邊之差小于第三邊），故|PA-PC|PA1-PC|，即|PA1-PC|最大設(shè)直線B1C的解析式為y=kx+b，則有：，解得k=b=-3，故直線B1C的解析式為：y=-3x-3令x=1，得y=-6，故P（1，-6）（3）依題意畫出圖形，如圖3所示，有兩種情況當圓位于x軸上方時，設(shè)圓心為D，半徑為r，由拋物線及圓的對稱性可知，點D位于對稱軸x=1上，則D（1，r），F(xiàn)（1+r，r）點F（1+r，r）在拋物線y=x2-2x-3上，r=（1+r）2-2（1+r）-3，化簡得：r2-r-4=0解得r1=，r2=（舍去），此圓的半徑為；當圓位于x軸下方時，同理可求得圓的半徑為綜上所述，此圓的半徑為或點評：本題考查內(nèi)容包括二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、翻折變換、軸對稱的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、圓的相關(guān)性質(zhì)等，涉及考點較多，有一定的難度第（2）問中，注意是“兩線段之差最大”而不是“兩線段之和最大”，后者比較常見，學(xué)生們已經(jīng)有大量的訓(xùn)練基礎(chǔ)，而前者接觸較少，但二者道理相通；第（3）問中，首先注意圓有2個，不要丟解，其次注意利用圓的半徑表示點的坐標，運用方程的思想求出圓的半徑對應(yīng)訓(xùn)練6（2012遵義）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象經(jīng)過原點O，交x軸于點A，其頂點B的坐標為（3，）（1）求拋物線的函數(shù)解析式及點A的坐標；（2）在拋物線上求點P，使SPOA=2SAOB；（3）在拋物線上是否存在點Q，使AQO與AOB相似？如果存在，請求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由6分析：（1）根據(jù)函數(shù)經(jīng)過原點，可得c=0，然后根據(jù)函數(shù)的對稱軸，及函數(shù)圖象經(jīng)過點（3，）可得出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可直接得出點A的坐標（2）根據(jù)題意可得點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標為2，代入函數(shù)解析式可得出點P的橫坐標；（3）先求出BOA的度數(shù)，然后可確定Q1OA=的度數(shù)，繼而利用解直角三角形的知識求出x，得出Q1的坐標，利用二次函數(shù)圖象函數(shù)的對稱性可得出Q2的坐標解：（1）由函數(shù)圖象經(jīng)過原點得，函數(shù)解析式為y=ax2+bx（a0），又函數(shù)的頂點坐標為（3，），解得：，故函數(shù)解析式為：，由二次函數(shù)圖象的對稱性可得點A的坐標為（6，0）；（2）SPOA=2SAOB，點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標為，代入函數(shù)解析式得：=，解得：x1=3+3，x2=3-3，即滿足條件的點P有兩個，其坐標為：P1（3+3，），P2（3-3，）（3）存在過點B作BPOA，則tanBAP=，故可得BOA=30，設(shè)Q1坐標為（x，），過點Q1作Q1Fx軸，OABOQ1A，Q1OA=30，故可得OF= 3 Q1F，即x=（），解得：x=9或x=0（舍去），經(jīng)檢驗得此時OA=AQ1，OQ1A是等腰三角形，且和OBA相似即可得Q1坐標為（9，3 ），根據(jù)函數(shù)的對稱性可得Q2坐標為（-3，3）在拋物線上存在點Q，使AQO與AOB相似，其坐標為：（9，3）或（-3，3）點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積及一元二次方程的解，綜合性較強，需要我們仔細分析，分步解答【聚焦山東中考】1（2012泰安）二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖，若一元二次方程ax2+bx+m=0有實數(shù)根，則m的最大值為（）A-3 B3 C-6 D91考點：拋物線與x軸的交點專題：探究型分析：先根據(jù)拋物線的開口向上可知a0，由頂點縱坐標為-3得出b與a關(guān)系，再根據(jù)一元二次方程ax2+bx+m=0有實數(shù)根可得到關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可解：拋物線的開口向上，頂點縱坐標為-3，a0，=-3，即b2=12a，一元二次方程ax2+bx+m=0有實數(shù)根，=b2-4am0，即12a-4am0，即12-4m0，解得m3，m的最大值為3故選B點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點，根據(jù)題意判斷出a的符號及a、b的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵2（2012濱州）拋物線y=-3x2-x+4與坐標軸的交點個數(shù)是（）A3 B2 C1 D02A分析：令拋物線解析式中x=0，求出對應(yīng)的y的值，即為拋物線與y軸交點的縱坐標，確定出拋物線與y軸的交點坐標，令拋物線解析式中y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的解有兩個，可得出拋物線與x軸有兩個交點，綜上，得到拋物線與坐標軸的交點個數(shù)解：拋物線解析式y(tǒng)=-3x2-x+4，令x=0，解得：y=4，拋物線與y軸的交點為（0，4），令y=0，得到-3x2-x+4=0，即3x2+x-4=0，分解因式得：（3x+4）（x-1）=0，解得：x1=，x2=1，拋物線與x軸的交點分別為（，0），（1，0），綜上，拋物線與坐標軸的交點個數(shù)為3故選A點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，以及一元二次方程的解法，其中令拋物線解析式中x=0，求出的y值即為拋物線與y軸交點的縱坐標；令y=0，求出對應(yīng)的x的值，即為拋物線與x軸交點的橫坐標3（2012濟南）如圖，濟南建邦大橋有一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達式為y=ax2+bx小強騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當小強騎自行車行駛10秒時和26秒時拱梁的高度相同，則小強騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需 秒336思路分析：10秒時和26秒時拱梁的高度相同，則A，B一定是關(guān)于對稱軸對稱的點，據(jù)此即可確定對稱軸，則O到對稱軸的時間可以求得，進而即可求得OC之間的時間解答：解：如圖，設(shè)在10秒時到達A點，在26秒時到達B，10秒時和26秒時拱梁的高度相同，A，B關(guān)于對稱軸對稱則從A到B需要16秒，則從A到D需要8秒從O到D需要10+8=18秒從O到C需要218=36秒故答案是：36點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，注意到A、B關(guān)于對稱軸對稱是解題的關(guān)鍵4（2012菏澤）牡丹花會前夕，我市某工藝廠設(shè)計了一款成本為10元/件的工藝品投放市場進行試銷經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：銷售單價x（元/件）2030405060每天銷售量（y件）500400300200100（1）把上表中x、y的各組對應(yīng)值作為點的坐標，在下面的平面直角坐標系中描出相應(yīng)的點，猜想y與x的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；（2）當銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=銷售總價-成本總價）（3）菏澤市物價部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過35元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？4分析：（1）利用表中x、y的各組對應(yīng)值作為點的坐標，在坐標系中描出即可，再根據(jù)點的分布得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，求出即可；（2）根據(jù)利潤=銷售總價-成本總價，由（1）中函數(shù)關(guān)系式得出W=（x-10）（-10x+700），進而利用二次函數(shù)最值求法得出即可；（3）利用二次函數(shù)的增減性，結(jié)合對稱軸即可得出答案解：（1）畫圖如圖：由圖可猜想y與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)這個一次函數(shù)為y=kx+b（k0），這個一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（20，500）、（30，400）這兩點，解得： ，函數(shù)關(guān)系式是y=-10x+700（2）設(shè)工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意得：W=（x-10）（-10x+700），=-10x2+800x-7000，=-10（x-40）2+9000，當x=40時，W有最大值9000（3）對于函數(shù)W=-10（x-40）2+9000，當x35時，W的值隨著x值的增大而增大，故銷售單價定為35元件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)增減性應(yīng)用等知識，此題難度不大是中考中考查重點內(nèi)容5（2012青島）在“母親節(jié)”期間，某校部分團員參加社會公益活動，準備購進一批許愿瓶進行銷售，并將所得利潤捐給慈善機構(gòu)根據(jù)市場調(diào)查，這種許愿瓶一段時間內(nèi)的銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示：（1）試判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；（2）若許愿瓶的進價為6元/個，按照上述市場調(diào)查的銷售規(guī)律，求銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若許愿瓶的進貨成本不超過900元，要想獲得最大利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價，并求出此時的最大利潤5分析：（1）觀察可得該函數(shù)圖象是一次函數(shù)，設(shè)出一次函數(shù)解析式，把其中兩點代入即可求得該函數(shù)解析式，進而把其余兩點的橫坐標代入看縱坐標是否與點的縱坐標相同；（2）銷售利潤=每個許愿瓶的利潤銷售量；（3）根據(jù)進貨成本可得自變量的取值，結(jié)合二次函數(shù)的關(guān)系式即可求得相應(yīng)的最大利潤解：（1）y是x的一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b，圖象過點（10，300），（12，240）， ，解得，y=-30x+600，當x=14時，y=180；當x=16時，y=120，即點（14，180），（16，120）均在函數(shù)y=-30x+600圖象上y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-30x+600；（2）w=（x-6）（-30x+600）=-30x2+780x-3600，即w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w=-30x2+780x-3600；（3）由題意得：6（-30x+600）900，解得x15w=-30x2+780x-3600圖象對稱軸為：x=13a=-300，拋物線開口向下，當x15時，w隨x增大而減小，當x=15時，w最大=1350，即以15元/個的價格銷售這批許愿瓶可獲得最大利潤1350元點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；注意結(jié)合自變量的取值求得二次函數(shù)的最值問題6（2012聊城）某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子產(chǎn)品，每件制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y=-2x+100（利潤=售價-制造成本）（1）寫出每月的利潤z（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得350萬元的利潤？當銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得最大利潤？最大利潤是多少？（3）根據(jù)相關(guān)部門規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷售單價不能高于32元，如果廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤，那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬元？6分析：（1）根據(jù)每月的利潤z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z與x之間的函數(shù)解析式，（2）把z=350代入z=-2x2+136x-1800，解這個方程即可，將z-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512，即可求出當銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得最大利潤，最大利潤是多少（3）結(jié)合（2）及函數(shù)z=-2x2+136x-1800的圖象即可求出當25x43時z350，再根據(jù)限價32元，得出25x32，最后根據(jù)一次函數(shù)y=-2x+100中y隨x的增大而減小，即可得出當x=32時，每月制造成本最低，最低成本是18（-232+100）.解：（1）z=（x-18）y=（x-18）（-2x+100）=-2x2+136x-1800，z與x之間的函數(shù)解析式為z=-2x2+136x-1800；（2）由z=350，得350=-2x2+136x-1800，解這個方程得x1=25，x2=43所以，銷售單價定為25元或43元，將z-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512，因此，當銷售單價為34元時，每月能獲得最大利潤，最大利潤是512萬元；（3）結(jié)合（2）及函數(shù)z=-2x2+136x-1800的圖象（如圖所示）可知，當25x43時z350，又由限價32元，得25x32，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得y=-2x+100中y隨x的增大而減小，當x=32時，每月制造成本最低最低成本是18（-232+100）=648（萬元），因此，所求每月最低制造成本為648萬元點評：本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出二次函數(shù)的解析式，綜合利用二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題【備考真題過關(guān)】一、選擇題2（2012湖州）如圖，已知點A（4，0），O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O，A），過P、O兩點的二次函數(shù)y1和過P、A兩點的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B、C，射線OB與AC相交于點D當OD=AD=3時，這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于（）A B C3 D4 2思路分析：過B作BFOA于F，過D作DEOA于E，過C作CMOA于M，則BF+CM是這兩個二次函數(shù)的最大值之和，BFDECM，求出AE=OE=2，DE=，設(shè)P（2x，0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出OF=PF=x，推出OBFODE，ACMADE，得出，代入求出BF和CM，相加即可求出答案解答：如圖，過B作BFOA于F，過D作DEOA于E，過C作CMOA于M，BFOA，DEOA，CMOA，BFDECM，OD=AD=3，DEOA，OE=EA=OA=2，由勾股定理得：DE=，設(shè)P（2x，0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出OF=PF=x，BFDECM，OBFODE，ACMADE，即，解得：BF=，CM= ，BF+CM=故選A點評：本題考查了二次函數(shù)的最值，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)和定理進行推理和計算的能力，題目比較好，但是有一定的難度3（2012宜昌）已知拋物線y=ax2-2x+1與x軸沒有交點，那么該拋物線的頂點所在的象限是（）A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限3考點：拋物線與x軸的交點分析：根據(jù)拋物線y=ax2-2x+1與x軸沒有交點，得出=4-4a0，a1，再根據(jù)b=-2，得出拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，即可求出答案解：拋物線y=ax2-2x+1與x軸沒有交點，=4-4a0，解得：a1，拋物線的開口向上，又b=-2，拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，拋物線的頂點在第一象限；故選D點評：此題考查了二次函數(shù)的圖象與x軸交點，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的解之間的聯(lián)系求出a的值，這些性質(zhì)和規(guī)律要求掌握4（2012資陽）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c0的解集是（）A-1x5 Bx5 Cx-1且x5 Dx-1或x54D解：由圖象得：對稱軸是x=2，其中一個點的坐標為（5，0），圖象與x軸的另一個交點坐標為（-1，0）利用圖象可知：ax2+bx+c0的解集即是y0的解集，x-1或x5故選：D5（2012義烏市）如圖，已知拋物線y1=-2x2+2，直線y2=2x+2，當x任取一值時，x對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2若y1y2，取y1、y2中的較小值記為M；若y1=y2，記M=y1=y2例如：當x=1時，y1=0，y2=4，y1y2，此時M=0下列判斷：當x0時，y1y2； 當x0時，x值越大，M值越?。皇沟肕大于2的x值不存在； 使得M=1的x值是或其中正確的是（）A B C D 5思路分析：利用圖象與坐標軸交點以及M值的取法，分別利用圖象進行分析即可得出答案解：當x0時，利用函數(shù)圖象可以得出y2y1；此選項錯誤；拋物線y1=-2x2+2，直線y2=2x+2，當x任取一值時，x對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2若y1y2，取y1、y2中的較小值記為M；當x0時，根據(jù)函數(shù)圖象可以得出x值越大，M值越大；此選項錯誤；拋物線y1=-2x2+2，直線y2=2x+2，與y軸交點坐標為：（0，2），當x=0時，M=2，拋物線y1=-2x2+2，最大值為2，故M大于2的x值不存在；使得M大于2的x值不存在，此選項正確；使得M=1時，可能是y1=-2x2+2=1，解得：x1=，x2=-，當y2=2x+2=1，解得：x=-，由圖象可得出：當x=0，此時對應(yīng)y2=M，拋物線y1=-2x2+2與x軸交點坐標為：（1，0），（-1，0），當-1x0，此時對應(yīng)y1=M，故M=1時，x1= ，x=-，故使得M=1的x值是-或此選項正確；故正確的有：故選：D點評：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)增減性是解題關(guān)鍵6（2012大連）如圖，一條拋物線與x軸相交于A、B兩點，其頂點P在折線C-D-E上移動，若點C、D、E的坐標分別為（-1，4）、（3，4）、（3，1），點B的橫坐標的最小值為1，則點A的橫坐標的最大值為（）A1 B2 C3 D46分析：拋物線在平移過程中形狀沒有發(fā)生變化，因此函數(shù)解析式的二次項系數(shù)在平移前后不會改變首先，當點B橫坐標取最小值時，函數(shù)的頂點在C點，根據(jù)待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式；而點A橫坐標取最大值時，拋物線的頂點應(yīng)移動到E點，結(jié)合前面求出的二次項系數(shù)以及E點坐標可確定此時拋物線的解析式，進一步能求出此時點A的坐標，即點A的橫坐標最大值解：由圖知：當點B的橫坐標為1時，拋物線頂點?。?1，4），設(shè)該拋物線的解析式為：y=a（x+1）2+4，代入點B坐標，得：0=a（1+1）2+4，a=-1，即：B點橫坐標取最小值時，拋物線的解析式為：y=-1（x+1）2+4當A點橫坐標取最大值時，拋物線頂點應(yīng)?。?，1），則此時拋物線的解析式：y=-（x-3）2+1=-x2+6x-8=-（x-2）（x-4）A（2，0）、B（4，0）故選B點評：考查了二次函數(shù)綜合題，解答該題的關(guān)鍵在于讀透題意，要注意的是拋物線在平移過程中形狀并沒有發(fā)生變化，改變的是頂點坐標注意拋物線頂點所處的C、E兩個關(guān)鍵位置，前者能確定函數(shù)解析式、后者能得到要求的結(jié)果1（2012鎮(zhèn)江）若二次函數(shù)y=（x+1）（xm）的圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，則實數(shù)m的取值范圍是（）Am1B1m0C0m1Dm1考點：拋物線與x軸的交點。810360 專題：探究型。分析：先令（x+1）（xm）=0求出x的值即可得出二次函數(shù)與x軸的交點坐標，再根據(jù)拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)即可得到關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可解答：解：（x+1）（xm）=0，則x=1或x=m，二次函數(shù)y=（x+1）（xm）的圖象與x軸的交點為（1，0）、（m，0），二次函數(shù)的對稱軸x=，函數(shù)圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，0，解得m1故選D點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，先根據(jù)函數(shù)的解析式得出二次函數(shù)的圖象與x軸的交點是解答此題的關(guān)鍵2（2012泰安）二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖，若一元二次方程ax2+bx+m=0有實數(shù)根，則m的最大值為（）A3B3C6D9考點：拋物線與x軸的交點。810360 專題：探究型。分析：先根據(jù)拋物線的開口向上可知a0，由頂點縱坐標為3得出b與a關(guān)系，再根據(jù)一元二次方程ax2+bx+m=0有實數(shù)根可得到關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可解答：解：拋物線的開口向上，頂點縱坐標為3，a0.=3，即b2=12a，一元二次方程ax2+bx+m=0有實數(shù)根，=b24am0，即12a4am0，即124m0，解得m3，m的最大值為3故選B點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點，根據(jù)題意判斷出a的符號及a、b的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵3（2012杭州）已知拋物線y=k（x+1）（x）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，則能使ABC為等腰三角形的拋物線的條數(shù)是（）A2B3C4D5考點：拋物線與x軸的交點。810360 專題：推理填空題。分析：整理拋物線解析式，確定出拋物線與x軸的一個交點A和y軸的交點C，然后求出AC的長度，再分k0時，點B在x軸正半軸時，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三種情況求解；k0時，點B在x軸的負半軸時，點B只能在點A的左邊，只有AC=AB一種情況列式計算即可解答：解：y=k（x+1）（x）=（x+1）（kx3），所以，拋物線經(jīng)過點A（1，0），C（0，3），AC=，點B坐標為（，0），k0時，點B在x正半軸上，若AC=BC，則=，解得k=3，若AC=AB，則+1=，解得k=，若AB=BC，則+1=，解得k=；k0時，點B在x軸的負半軸，點B只能在點A的左側(cè)，只有AC=AB，則1=，解得k=，所以，能使ABC為等腰三角形的拋物線共有4條故選C點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題，根據(jù)拋物線的解析式確定出拋物線經(jīng)過的兩個定點是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論二、填空題7（2012深圳）二次函數(shù)y=x2-2x+6的最小值是 75分析：利用配方法將原式化為頂點式，即可求出二次函數(shù)的最小值解答：解：原式=x2-2x+1+5=（x-1）2+5，可見，二次函數(shù)的最小值為5故答案為5點評：本題考查了二次函數(shù)的最值，將原式化為頂點式是解題的關(guān)鍵8（2012無錫）若拋物線y=ax2+bx+c的頂點是A（2，1），且經(jīng)過點B（1，0），則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 8y=-x2+4x-3解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2+1，將B（1，0）代入y=a（x-2）2+1得a=-1，函數(shù)解析式為y=-（x-2）2+1，展開得y=-x2+4x-3故答案為y=-x2+4x-3三、解答題9（2012杭州）當k分別取-1，1，2時，函數(shù)y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值嗎？請寫出你的判斷，并說明理由；若有，請求出最大值考點：二次函數(shù)的最值專題：分類討論9分析：當k分別取-1，1，2時，函數(shù)y=（k-1）x2-4x+5-k表示不同類型的函數(shù)，需要分類討論，最終確定函數(shù)的最值解：k可取值-1，1，2（1）當k=1時，函數(shù)為y=-4x+4，是一次函數(shù)（直線），無最值；（2）當k=2時，函數(shù)為y=x2-4x+3，為二次函數(shù)此函數(shù)開口向上，只有最小值而無最大值；（3）當k=-1時，函數(shù)為y=-2x