概率的基本性質.ppt

3 1 3概率的基本性質 在擲骰子試驗中 可以定義許多事件 例如 C1 出現1點 C2 出現2點 C3 出現3點 C4 出現4點 C5 出現5點 C6 出現6點 D1 出現的點數不大于1 D2 出現的點數大于3 D3 出現的點數小于5 E 出現的點數小于7 F 出現的點數大于6 G 出現的點數為偶數 H 出現的點數為奇數 1 事件包含關系 一般地 對于事件A與事件B 如果事件A發(fā)生 則事件B一定發(fā)生 這時稱事件B包含事件A 或稱事件A包含于事件B 記作 一般地 若 那么稱事件B與事件A相等 記作A B 2 事件相等關系 3 事件的并 或和 若某事件發(fā)生當且僅當事件A或事件B發(fā)生 則稱此事件為事件A與事件B的并事件 或和事件 記作A B 或A B 4 事件的交 或積 若某事件發(fā)生當且僅當事件A且事件B發(fā)生 則稱此事件為事件A與事件B的交事件 或積事件 記作A B 或AB 5 事件的互斥 若A B為不可能事件 A B為必然事件 那么稱事件A與事件B互為對立事件 其含義是 事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生 6 對立事件 1 包含關系2 相等關系 3 事件的并 或和 4 事件的交 或積 5 事件的互斥6 對立事件 事件的運算 事件的關系 一個人打靶時連續(xù)射擊兩次 事件 至少有一次中靶 的互斥事件是 A 至多有一次中靶 B 兩次都中靶 C 只有一次中靶 D 兩次都不中靶 把紅 藍 黑 白4張紙牌隨機分給甲 乙 丙 丁4個人 每人分得一張 事件 甲分得紅牌 與事件 乙分得紅牌 是 A 對立事件 B 互斥但不對立事件 C 不可能事件 D 以上都不對 D B 練習 2 概率的幾個基本性質 2 當事件A與事件B互斥時 A B的頻率fn A B fn A fn B 由此得到概率的加法公式 如果事件A與事件B互斥 則P A B P A P B 1 對于任何事件的概率的范圍是 0 P A 1不可能事件的概率是P A 0必然事件的概率是P A 1不可能事件與必然事件是一般事件的特殊情況 利用上述的基本性質 可以簡化概率的計算 3 特別地 當事件A與事件B是對立事件時 有P A 1 P B 例 拋擲骰子 事件A 朝上一面的數是奇數 事件B 朝上一面的數不超過3 求P A B 解法一 因為P A 3 6 1 2 P B 3 6 1 2所以P A B P A P B 1 解法二 A B這一事件包括4種結果 即出現1 2 3和5所以P A B 4 6 2 3 請判斷那種正確 例題 分析 事件C是事件A與事件B的并 且A與B互斥 因此可用互斥事件的概率和公式求解 事件C與事件D是對立事件 因此P D 1 P C 解 1 P C P A P B 2 P D 1 P C 練習1 同時拋擲兩枚硬幣 向上面都是正面為事件M 向上面至少有一枚是正面為事件N 則有 A M NB M NC M ND M N 答案 A 解析 事件N包含兩種結果 向上面都是正面或向上面是一正一反 則當M發(fā)生時 事件N一定發(fā)生 則有M N 2 拋擲一枚均勻的正方體骰子 事件P 向上的點數是1 事件Q 向上的點數是3或4 M 向上的點數是1或3 則P Q M Q 答案 向上的點數是1或3或4 向上的點數是3 3 在30件產品中有28件一級品 2件二級品 從中任取3件 記 3件都是一級品 為事件A 則A的對立事件是 答案 至少有一件是二級品 4 事件A與B是對立事件 且P A 0 6 則P B 等于 A 0 4B 0 5C 0 6D 1 答案 A 解析 P B 1 P A 0 4 5 已知P A 0 1 P B 0 2 且A與B是互斥事件 則P A B 答案 0 3 解析 P A B P A P B 0 1 0 2 0 3 事件關系的判斷 判斷下列各對事件是否是互斥事件 是否為對立事件 并說明理由 1 事件A與B 2 事件A與C 3 事件C與D 解析 1 不是互斥事件 更不可能是對立事件 理由 事件A 命中的環(huán)數大于7環(huán) 包含事件B 命中環(huán)數為10環(huán) 二者能夠同時發(fā)生 即A B 命中環(huán)數為10環(huán) 2 是互斥事件 但不是對立事件 理由 事件A 命中的環(huán)數大于7環(huán) 與事件C 命中的環(huán)數小于6環(huán)不可能同時發(fā)生 但A C 命中環(huán)數為1 2 3 4 5 8 9 10環(huán) I I為全集 3 是互斥事件 也是對立事件 理由 事件C 命中的環(huán)數小于6環(huán) 與事件D 命中的環(huán)數為6 7 8 9 10環(huán)不可能同時發(fā)生 且C D 命中環(huán)數為1 2 3 4 5 6 7 8 9 10環(huán) I I為全集 規(guī)律總結 互斥事件與對立事件的判斷方法 1 利用基本概念 判斷兩個事件是否為互斥事件 注意看它們能否同時發(fā)生 若不同時發(fā)生 則這兩個事件是互斥事件 若能同時發(fā)生 則這兩個事件不是互斥事件 判斷兩個事件是否為對立事件 主要看是否同時滿足兩個條件 一是不能同時發(fā)生 二是必有一個發(fā)生 如果這兩個條件同時成立 那么這兩個事件就是對立事件 只要有一個條件不成立 那么這兩個事件就不是對立事件 兩個事件是對立事件的前提是互斥事件 2 利用集合的觀點 設事件A與B所含的結果組成的集合分別是A B 事件A與B互斥 即集合A B 事件A與B對立 即集合A B 且A B I I為全集 也即 A IB或B IA 特別提醒 對立事件是針對兩個事件來說的 而互斥事件則可以是多個事件間的關系 某縣城有甲 乙兩種報紙供居民訂閱 記事件A為 只訂甲報 事件B為 至少訂一種報紙 事件C為 至多訂一種報紙 事件D為 不訂甲報 事件E為 一種報紙也不訂 判斷下列事件是不是互斥事件 如果是 再判斷它們是不是對立事件 1 A與C 2 B與E 3 B與D 4 B與C 5 C與E 解析 1 由于事件C 至多訂一種報紙 中包括 只訂甲報 即事件A與事件C有可能同時發(fā)生 故A與C不是互斥事件 2 事件B 至少訂一種報紙 與事件E 一種報紙也不訂 是不可能同時發(fā)生的 故B與E是互斥事件 由于事件B發(fā)生會導致事件E一定不發(fā)生 且事件E發(fā)生會導致事件B一定不發(fā)生 故B與E還是對立事件 3 事件B 至少訂一種報紙 中包括 只訂乙報 即有可能 不訂甲報 也就是說事件B和事件D有可能同時發(fā)生 故B與D不是互斥事件 4 事件B 至少訂一種報紙 中包括 只訂甲報 只訂乙報 訂甲 乙兩種報 事件C 至多訂一種報紙 中包括 一種報紙也不訂 只訂甲報 只訂乙報 也就是說事件B與事件C可能同時發(fā)生 故B與C不是互斥事件 5 由 4 的分析 事件E 一種報紙也不訂 是事件C中的一種可能情況 所以事件C與事件E可能同時發(fā)生 故C與E不是互斥事件 概率加法公式的應用 解析 1 對任一人 其血型為A B AB O型血的事件分別記為A B C D 它們是互斥的 由已知 有P A 0 28 P B 0 29 P C 0 08 P D 0 35 因為B O型血可以輸給B型血的人 故 可以輸給B型血的人 為事件B D 根據概率的加法公式 得P B D P B P D 0 29 0 35 0 64 2 由于A AB型血不能輸給B型血的人 故 不能輸給B型血的人 為事件A C 且P A C P A P C 0 28 0 08 0 36 易錯警示 不能由于只有四種血型就簡單地認為四種情況的概率都是0 25 本題中某種血型的人所占的比例其實就是任代一人 他是該血型的概率 規(guī)律總結 解決此類題的關鍵是明晰概率加法公式應用的前提是 各事件是互斥事件 對于較難判斷關系的 必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結果進行分析 解析 設A B C D 分別表示等候人數為0 1 4 大于等于5的事件 則A B C D互斥 1 設E表示事件 等候人數不超過1 則E A B 故P E P A P B 0 05 0 14 0 19 即等候人數不超過1的概率為0 19 2 設F表示事件 等候人數大于等于4 則F C D 故P F P C P D 0 10 0 06 0 16 即等候人數大于等于4的概率為0 16 對立事件概率公式的應用 分析 構造對立事件 靈活運用概率加法公式 求概率 規(guī)律總結 求復雜事件的概率通常有兩種方法 1 將所求事件轉化面幾個彼此互斥的事件的和事件 2 若將一個較復雜的事件轉化為幾個互斥事件的和事件時 需要分類大多 而其對立面的分類較少 可考慮利用對立事件的概率公式 即 正難則反 它常用來求 至少 或 至多 型事件的概率 在大小相同的5個球中 只有紅色和白色兩種球 若從中任取2個 全是白球的概率為0 3 求所取出的2個球中至少有1個紅球的概率 分析 判斷事件間的關系 利用對立事件的概率公式求解 解析 記事件A表示 取出的2個球中至少有1個紅球 事件B表示 取出的2個球全是白球 則事件A與事件B互為對立事件 而事件B發(fā)生的概率為P B 0 3 所以事件A發(fā)生的概率為P A 1 P B 1 0 3 0 7 錯因分析 錯解的原因在于忽視了 事件和 概率公式應用的前提條件 由于 朝上一面的數是奇數 與 朝上一面的數不超過3 這二者不是互斥事件 即出現1或3時 事件A B同時發(fā)生 所以不能應用公式P A B P A P B 求解 某戰(zhàn)士射擊一次 擊中環(huán)數大于7的概率是0 6 擊中環(huán)數是6或7或8的概率相等 且和為0 3 求該戰(zhàn)士射擊一次擊中環(huán)數大于5的概率 錯解 該戰(zhàn)士擊中環(huán)數大于5的概率是0 6 0 3 0 9 正解 記 擊中6環(huán) 為事件A 擊中7環(huán) 為事件B 擊中7環(huán)以上 為事件C 事件A B C 彼此互斥 且易知P A 0 1 P B 0 1 P C 0 6 記 擊中5環(huán)以上 為事件D 則P D P A B C 0 1 0 1 0 6 0 8 錯因分析 該戰(zhàn)士 擊中7環(huán)以上 與 擊中環(huán)數為6或7或8 不是互斥事件 所以不能直接用互斥事件的概率加法公式計算 總結 在應用概率加法公式時 一定要注意其應用的前提是涉及的事件是互斥事件 實際上 對于事件A B 有P A B P A P B 只有當事件A B互斥時 等號才成立 1 下列各組事件中 不是互斥事件的是 A 一個射手進行一次射擊 命中環(huán)數大于8與命中環(huán)數小于6B 統(tǒng)計一個班的數學成績 平均分不低于90分與平均分不高于90分C 播種100粒菜籽 發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D 檢驗某種產品 合格率高于70 與合格率低于70 答案 B 解析 對于B 設事件A1為平均分不低于90分 事件A2為平均分不高于90分 則A1 A2為平均分等于90分 A1 A2可能同時發(fā)生 故它們不是互斥事件 2 從裝有數十個紅球和十個白球的罐子里任取2球 下列情況中是互斥而不對立的兩個事件是 A 至少有一個紅球 至少有一個白球B 恰有一個紅球 都是白球C 至少有一個紅球 都是白球D 至多有一個紅球 都是紅球 答案 B 解析 對于A 至少有一個紅球 可能為一個紅球 一個白球 至少有一個白球 可能為一個白球 一個紅球 故兩事件可能同時發(fā)生 所以不是互斥事件 對于B 恰有一個紅球 則另一個必是白球 與 都是白球 是互斥事件 而任取2個球還有都是紅球的情形 故兩事件不是對立事件 對于C 至少有一個紅球 為都是紅球或一紅一白 與 都是白球 顯然是對立事件 對于D 至多有一個紅球 為都是白球或一紅一白 與 都是紅球 是對立事件 3 口袋內裝有一些大小相同的紅球 白球和黑球 從中摸出1個球 摸出紅球的概率是0 52 摸出白球的概率是0 28 那么摸出黑球的概率是 A 0 2B 0 28C 0 52D 0 8 答案 A 解析 本題主要考查互斥事件的概率加法公式 設 摸出紅球 為事件M 摸出白球 為事件N 摸出黑球 為事件E 則P M P N P E 1 所以P E 1 P M P N 1 0 52 0 28 0 2 故選A 4 甲 乙兩人下象棋 甲獲勝的概率為30 兩人下成和棋的概率為50 則乙獲勝的概率為 甲不輸的概率為 答案 20 80 解析 設事件 甲勝 乙勝 甲乙和棋 分別為A B C 則P A 30 P C 50 甲不輸的概率為 P A C P A P C 80 P B 1 P A C 1 80 20 點評 乙獲勝 的對立事件是 甲不輸 不是 甲勝 又 x 3 的對立事件是 x 3 不是 x 3 等等 6 某公務員去外地開會 他乘火車 輪船 汽車 飛機去的概率分別是0 3 0 2 0 1 0 4 求 1 他乘火車或乘飛機去的概率 2 他不乘輪船去的概率 解析 設乘火車去開會為事件A 乘輪船去開會為事件B 乘汽車去為事件C 乘飛機去為事件D 它們彼此互斥 則P A 0