數(shù)學模型思想及其滲透教學.pptx

B D A C 生活問題 數(shù)學化 模型化 哥尼斯堡七橋問題 一筆畫問題 一條小河從哥尼斯堡的市中心穿過 河中有兩個小島 河上有七座橋連接這兩個小島和河的兩岸 能不能一次連續(xù)走完這七座橋 而不在任何一座橋上重復通過 并且最后還回到原來的起點 現(xiàn)實背景中的生活問題 這個問題吸引了無數(shù)游人去實地嘗試和研究 它最終是由十八世紀大數(shù)學家歐拉解決的 歐拉沒有親自到實地去踏察 而是用A B C D四個點分別代表小島和兩岸 并把七座橋抽象為七條線段 與四個點連接成為一個圖形 生活問題的數(shù)學化 這樣 就把能否一次走過七座橋而無重復 轉化為能否一筆畫出這個圖形的問題 數(shù)學問題模型化 歐拉仔細分析了 一筆畫問題 數(shù)學模型的結構特征 發(fā)現(xiàn)能夠一筆畫出的圖形只能有一個起點和一個終點 并且圖中要么沒有奇頂點 要么只有兩個奇頂點 他應用這個結論去考察上述問題 發(fā)現(xiàn)圖中四個點都是奇點 因此不能一筆畫出 于是 他斷定這七座橋不可能無重復地一次走完 并運用 一筆畫問題 的原理闡明了其中的道理 運用模型求解 贏得了世人的公認 運用模型解釋 對解與相應模型的價值判斷 此后 一筆畫問題 的原理及其推論 普遍成為人們解決類似實際問題的數(shù)學模型 模型的價值判斷與變式 推廣應用 這是一個生活問題數(shù)學化 數(shù)學問題模型化的經(jīng)典范例 它讓人們在驚嘆數(shù)學家理性智慧的同時 領略到數(shù)學建模對于實際問題解決的效用之美 數(shù)學建模就是針對或參照現(xiàn)實世界中某一特定對象或現(xiàn)象 從某種特定的目的出發(fā) 按照一定的價值取向 作出必要的簡化和假設 運用適當?shù)臄?shù)學工具 方法得到一定的數(shù)學結構 并用它來刻畫和解釋特定對象或現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài) 預測對象或現(xiàn)象的未來狀況 提供處理對象或現(xiàn)象的優(yōu)化決策和控制方略 數(shù)學建模就是針對或參照現(xiàn)實世界中某一特定對象或現(xiàn)象 如上例中游人行走七橋的嘗試 從某種特定的目的出發(fā) 作出能否一次無重復地走完的判斷 按照一定的價值取向 試圖數(shù)學地解決與闡明此類問題 作出必要簡化和假設 畫示意圖 運用適當?shù)臄?shù)學工具 方法 奇 偶點的分析 得到一定的數(shù)學結構 一筆畫問題 特征數(shù)學化表達 并用它來刻畫和解釋特定對象或現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài) 七橋能否一次無重復地走完的判斷與解釋 預測對象或現(xiàn)象的未來狀況 一筆畫問題 的推廣與變式 提供處理對象或現(xiàn)象的優(yōu)化決策和控制方略 一筆畫問題 原理的數(shù)學模型 一 關于數(shù)學模型的內(nèi)涵分析與界定 二 探討的主要質(zhì)點 二 關于數(shù)學建模的認知與解讀 數(shù)學建模作為方法與過程的統(tǒng)一體 貫穿于數(shù)學教學活動的始終 是數(shù)學認知活動的重要內(nèi)容 更是數(shù)學探究活動的主要方式 是數(shù)學學習的核心要素 也是數(shù)學教學的中心環(huán)節(jié) 是揭示數(shù)學本質(zhì)和演繹數(shù)學思想的平臺 又是感悟數(shù)學價值和實施數(shù)學應用的載體 數(shù)學建模 即數(shù)學模型的建構 一 關于數(shù)學模型的內(nèi)涵分析與界定 二 探討的主要質(zhì)點 二 關于數(shù)學建模的認知與解讀 三 關于數(shù)學模型思想的理解及其教學滲透 數(shù)學模型思想是對數(shù)學模型與數(shù)學模型建構的本質(zhì)認識 所謂思想是指客觀存在反映在人的意識中 經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果 屬于理性認識 有實踐就會有真知 有思考就會有卓見 實踐加思考 真知變卓見 循環(huán)誠恒之 必然成思想 一 關于數(shù)學模型的內(nèi)涵分析與界定 二 探討的主要質(zhì)點 二 關于數(shù)學建模的認知與解讀 三 關于數(shù)學模型思想的理解及其教學滲透 四 關于數(shù)學建模教學方略的探想 生活問題的數(shù)學化 數(shù)學應用的生活化 事物之間的相互關系 事件發(fā)生的內(nèi)在規(guī)律 事情所蘊含的事理 由數(shù)學模型聯(lián)想實際應用 有實際問題聯(lián)想相應的數(shù)學模型 用數(shù)學模型解釋實際問題 事件 現(xiàn)象所蘊含的原理 數(shù)學建模教學除了從數(shù)學外部獲得最初的來源和發(fā)展的原動力之外 還應當從解決數(shù)學內(nèi)部矛盾的需求那里獲得資源和策動力 對于運用既有數(shù)學知識解決新的數(shù)學問題時所形成的認知沖突 直接利用數(shù)學原理 方法與數(shù)學思維 建構新的數(shù)學模型 以化解沖突 解決問題 如在整數(shù)范圍內(nèi)2 3的商無法表示的問題 通過建立分數(shù)與除法的關系的數(shù)學模型去解決 這也是數(shù)學建模教學常用的基本方略 這也將是我們下一階段就數(shù)學模型思想及其滲透教學的主要研究內(nèi)容 我們的認識 數(shù)學模型 與 模型思想 是 義務教育數(shù)學課程標準 賦予數(shù)學教育的新的內(nèi)涵 在廣義數(shù)學模型觀下 數(shù)學是關于模型的科學 數(shù)學體系是由一個個數(shù)學模型與模型系統(tǒng)構成的模型體系 對數(shù)學的認知 就是對數(shù)學模型及其建構方略的理解與掌握 它只有深刻到 模型 的意義上 才真正到達了數(shù)學的本質(zhì)和數(shù)學思想的層面 生活問題的數(shù)學化 與 數(shù)學應用的生活化 是學生數(shù)學模型思想養(yǎng)成教育的基本途徑和方略 敬請期待下一期的專題沙龍 謝謝領導同仁 一 關于數(shù)學模型的內(nèi)涵分析與界定 二 探討的主要質(zhì)點 一個基本數(shù)學概念就是一個相對獨立的數(shù)學模型 而一個個彼此關聯(lián)的概念 縱橫貫通 在一定的邏輯關系下形成多元結構的概念群 便成為相對完整的數(shù)學模型系統(tǒng) 縱向觀察分析 隨著某一數(shù)學概念的推廣與拓展 在屬種關系下 由一個屬概念派生的一個個種概念 又是一個個新的數(shù)學模型 橫向觀察分析 伴隨著一個概念的產(chǎn)生 往往會有一些與之并列的概念或概念系統(tǒng)相應地生成 它們也都是一個個數(shù)學模型與模型系統(tǒng) 在廣義數(shù)學模型觀下 數(shù)學是關于模型的科學 數(shù)學體系是由一個個數(shù)學模型與模型系統(tǒng)構成的模型體系 二 關于數(shù)學建模的認知與解讀 數(shù)學模型建構即數(shù)學建模 它是通過建立數(shù)學模型來描述 刻畫客觀現(xiàn)實和解決實際問題的方法 也是一個有序 完整的系統(tǒng)操作 行為或思維 過程 它包括 從現(xiàn)實背景中發(fā)現(xiàn)和提出實際問題 實際問題的數(shù)學化 數(shù)學問題的模型化 運用模型求解與解釋 對解與相應模型的價值判斷 模型的變式與推廣應用等 二 關于數(shù)學建模的認知與解讀 數(shù)學建模可作為陳述性知識表征 即視作解決問題的方法 數(shù)學建?？勺鳛槌绦蛐灾R表征 即視作解決問題的過程 數(shù)學建模作為方法與過程的統(tǒng)一體 貫穿于數(shù)學教學活動的始終 是數(shù)學認知活動的重要內(nèi)容 更是數(shù)學探究活動的主要方式 是數(shù)學學習的核心要素 也是數(shù)學教學的中心環(huán)節(jié) 是揭示數(shù)學本質(zhì)和演繹數(shù)學思想的平臺 又是感悟數(shù)學價值和實施數(shù)學應用的載體 二 關于數(shù)學建模的認知與解讀 一個數(shù)學概念常常就是一個數(shù)學模型 隨著它的拓展與推廣 在種屬關系下所層層派生的一個個屬概念又是一個個新的數(shù)學模型 在數(shù)學概念下往會有相應的數(shù)學運算 規(guī)則 法則 定律 性質(zhì)等等衍生 三 關于數(shù)學模型思想的理解及其教學滲透 所謂思想是指客觀存在反映在人的意識中 經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果 屬于理性認識 數(shù)學模型思想是對數(shù)學模型與數(shù)學模型建構的本質(zhì)認識 認識來源于實踐 認識的正確與否需要實踐的檢驗 學生的數(shù)學模型思想來源于他們的數(shù)學實踐活動 來源于活動中對數(shù)學模型 模型建構及其內(nèi)在必然聯(lián)系的理解與思考 親身經(jīng)歷數(shù)學建模實踐是學生感悟與形成模型思想的最直接的載體和最有效的途徑 二 探討的主要質(zhì)點 數(shù)學史話 歐拉的七橋問題 三 關于數(shù)學模型思想的理解及其教學滲透 無論是作為方法還是作為過程的建模教學都具有深刻的數(shù)學教育意義 這種意義主要體現(xiàn)為對數(shù)學模型思想的滲透 對學生領悟 理解模型思想的啟迪 對學生形成 確立模型思想的促進 以及對學生理性精神的培養(yǎng) 四 關于數(shù)學建模教學方略的探想 數(shù)學模型的建構 一頭聯(lián)結著現(xiàn)實世界 一頭聯(lián)結著數(shù)學世界 它要對客觀事物或現(xiàn)象的本質(zhì)作數(shù)學化地描述與刻畫 要在現(xiàn)實與數(shù)學之間通過映射 反演的相互穿越 實現(xiàn)意義和理性的通達 它應當是關于數(shù)學建模的方法在解決實際問題中的情境化地演繹與臨場式地習得 它也應當是對于數(shù)學建模的過程在解決具體問題場景下的應然性地預設與原生態(tài)地生成 四 關于數(shù)學建模教學方略的探想 不管是作為方法 還是作為過程的教與學的活動 也不管是作為教師一方的應然性預設和情境化演繹 還是作為學生一方的臨場式習得與原生態(tài)生成 它都需要依賴于現(xiàn)實而具體的操作平臺和真切而實在的臨場體驗 感悟 這種平臺的搭建與場域氛圍的營造 需要有一個由現(xiàn)實的生活背景 鮮活的原始素材 典型的問題情境 翔實的探究過程等作為承載與支持的載體 四 關于數(shù)學建模教學方略的探想 從數(shù)學建模的角度去考察生活 容易發(fā)現(xiàn)許多生活問題其內(nèi)核和精髓 本質(zhì)上就近似或類似于數(shù)學模型的原型或雛形 1 生活問題的數(shù)學化 某些事物之間的相互關系 某些事件發(fā)生的內(nèi)在規(guī)律 某些事情所蘊含的事理 四 關于數(shù)學建模教學方略的探想 生活問題的數(shù)學化 讓學生經(jīng)歷的是將實際問題抽象成數(shù)學模型的過程 而數(shù)學應用的生活化 則是讓學生經(jīng)歷應用數(shù)學模型解決實際問題的過程 2 數(shù)學應用的生活化 新知形成時 新知應用時 知識綜合應用中 三 數(shù)學建模教學的行與思 一 激活經(jīng)驗儲備類化提煉建模 三 數(shù)學建模教學的行與思 一 激活經(jīng)驗儲備類化提煉建模 1 激活生活經(jīng)驗儲備 在簡約事理中建模 案例 有一種新款童裝 上衣每件90元 褲子每條60元 學校舞蹈興趣組買來8套 一共花了多少錢 1 說事理 案例 有一種新款童裝 上衣每件90元 褲子每條60元 學校舞蹈興趣組買來8套 一共花了多少錢 2 事理的數(shù)學概括 案例 有一種新款童裝 上衣每件90元 褲子每條60元 學校舞蹈興趣組買來8套 一共花了多少錢 3 事理向算理的嬗變 案例 有一種新款童裝 上衣每件90元 褲子每條60元 學校舞蹈興趣組買來8套 一共花了多少錢 4 算理的推廣 案例 有一種新款童裝 上衣每件90元 褲子每條60元 學校舞蹈興趣組買來8套 一共花了多少錢 5 算理的符號化 數(shù)學模型的形成 案例 有一種新款童裝 上衣每件90元 褲子每條60元 學校舞蹈興趣組買來8套 一共花了多少錢 5 算理的符號化 數(shù)學模型的形成 案例 有一種新款童裝 上衣每件90元 褲子每條60元 學校舞蹈興趣組買來8套 一共花了多少錢 5 算理的符號化 數(shù)學模型的形成 注意點 選取的生活實例要典型 適切 具有代表性 蘊含的事理要鮮明 易于學生捕捉和揭示 并便于他們進行數(shù)學化處理 抽象概括和表述 領悟的事理 用列舉實例的方式進行演繹 佐證 以及對事理作數(shù)學化推廣的環(huán)節(jié)是必不可少的 算理的符號化表述 數(shù)學表達式是數(shù)學模型的重要形式 應當盡可能多地采用 2 激活學習經(jīng)驗儲備 在類比遷移中建模 建模教學中要充分利用學生先前獲得的認知結構 建模經(jīng)驗 讓學生從既有的數(shù)學知識 技能和思想方法的遷移中類推 衍生并提煉 概括新的數(shù)學模型 把建模過程化作學生運用遷移規(guī)律進行自主探究的實踐和歷練過程 案例 1 回溯 激活知識 經(jīng)驗儲備 奠定遷移基礎 案例 2 遷移 尋求算理 算法依據(jù) 續(xù)構新的模型 案例 3 聯(lián)想 運用拓展 延伸機制 升華遷移價值 案例 3 聯(lián)想 運用拓展 延伸機制 升華遷移價值 二 探解認知沖突思辨明理建模 從數(shù)學史視閾審視數(shù)學的產(chǎn)生與發(fā)展 其根本的動因是源于實際問題解決的需要 從本質(zhì)屬性上去考察數(shù)學的內(nèi)涵 其實質(zhì)是在對客觀世界深刻認識的基礎上所作出的定量刻畫和定性把握 從學生數(shù)學學習的有效機理分析 其自身內(nèi)在的心里矛盾運動是最為理想的動力策源 課題在沖突中提出 方位 在沖突中統(tǒng)一 方向在沖突中精準 模型在沖突中完善 三 依托操作支撐循序遞推建模 動手操作 是學生數(shù)學學習中最直接 最具體 最利于從感性向理性抽象過渡的認知 探究活動 學習活動中 學生隨著操作思維和思維操作的交替往復 熟練程度會逐步提高 動手操作將逐漸衰減淡出 理性思維將逐步遞進攀升 頭腦中會漸漸地自發(fā)形成一些簡化了的 類似于條件反射式的認知聯(lián)結 并且其基本內(nèi)涵與本質(zhì)屬性最終會以一定的圖式來表征 建構生成數(shù)學模型 案例 材料準備 每位學生7枚面積1平方厘米的正方形卡片 長方形 正方形的面積計算方法的模型建構 建模過程 1 擺測奠基 滋生算理 2 設疑引探 推算遂就 生 不用擺了 根據(jù)圖中的格點能想到 師引述 沿長的方向 一行可以擺4個 師引述 沿寬的方向 正好可以擺3行 一共能擺4 3 12 個 面積是12平方厘米 3 引發(fā)聯(lián)想 棄擺從算 生 9 5 45 平方厘米 4 循序遞推 確立算法 5 強算蓄勢 因勢建模 6 變式體驗 完善建構 長寬面積 1 9厘米5厘米 45平方厘米 2 8分米4分米 32平方分米 3 10分米7分米 70平方分米 4 6米4米 24平方米 5 5米5米 25平方米 注意點 1 操作僅僅是實施建模的一種前期手段 操作的最終目的卻是為了退出操作 2 操作的目的與意圖光是教師清楚還遠遠不夠 還要設法通過滲透 啟發(fā)和借助情境的刺激 催化作用 將教學 操作 的目的轉化為學生的學習 操作 心理驅動 并內(nèi)化為全體學生共同意識 3 所有的操作要以建模目標主線貫穿成鏈 主旨鮮明 操作內(nèi)容的選擇和組織要切合學生學習基礎和建模的實際需要 操作目標和要求要具體明確 操作方式要簡單方法要易行 既要尊重學生的選擇 又要服從建模的需要 四 遵循數(shù)理邏輯據(jù)理分類建模 數(shù)理邏輯 分類是數(shù)學上常用的方法 也是數(shù)學自身發(fā)展的一條重要途徑和主要的方式 方法之一 有許許多多新的數(shù)學知識就是通過對既有知識的進一步分類而分離或分化出來的 分離 方程就是以 式子 等式 含有未知數(shù)的等式 這樣的序鏈進行分類 從 式子 這一數(shù)學概念中分離出來的新的數(shù)學分支 分化 小數(shù)就是從分母是10 100 1000 這類分數(shù)中分化出來的關于 數(shù) 的新的分支 以新知識產(chǎn)生的背景為基礎 運用數(shù)理邏輯通過分類建構新知模型的方法 是學生追溯數(shù)學知識的本源 把握數(shù)學知識的內(nèi)涵 領悟數(shù)學知識的本質(zhì)和生成新的數(shù)學認識 建構新的數(shù)學模型的重要途徑與方法 它對于學生弄懂數(shù)學知識的來龍去脈 搞清數(shù)學知識間的邏輯關系和厘定數(shù)學概念的內(nèi)涵與外延 具有十分重要的作用 運用邏輯分類的方法幫助學生進行數(shù)學建模 可以從他們的生活 學習經(jīng)驗