糖果配比銷售.doc

2010年河南理工大學(xué)公選課數(shù)學(xué)建模課程論文姓 名論文題目糖果配比銷售問題討論學(xué) 號(hào)學(xué)院、專業(yè)論文分?jǐn)?shù)教師填寫:糖果配比銷售問題討論摘要: 此問題屬于一個(gè)優(yōu)化問題，即在一系列的限制條件中尋找最優(yōu)的方案。所以這里我們采用優(yōu)化模型，優(yōu)化模型是為了使在原材料供應(yīng)量受到限制的前提下使得決策的問題達(dá)到最優(yōu)，在本問題中，要求我們決定各品牌果仁糖的總周利潤(rùn)最大的前提下，需購(gòu)進(jìn)杏仁、核桃仁、腰果仁和胡桃仁的數(shù)量以及各果仁糖中果仁的配比問題。我們?cè)谶@篇文章里假設(shè)購(gòu)進(jìn)的果仁全部配制成糖果銷售，對(duì)問題進(jìn)行優(yōu)化，然后通過糖果制作及供應(yīng)量限制的條件列出條件方程，然后用Lindo軟件進(jìn)行求解。在問題二中，我們通過四種情況來討論當(dāng)供貨量增加10%時(shí)配比是否變化以及利潤(rùn)如何變化等。通過這種分析，可以為決策者找到一個(gè)最優(yōu)方案，無論是在淡季還是在旺季，都可以找到最優(yōu)的銷售配比方案。關(guān)鍵詞: 優(yōu)化模型、周利潤(rùn)、銷售量、果仁配比。問題的提出某糖果店出售三種不同品牌的果仁糖，每個(gè)品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁。為了維護(hù)商店的質(zhì)量信譽(yù)，每個(gè)品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必須滿足的，如下表所示：品牌含量需求售價(jià)/ 美元/kg普通腰果仁不超過20%0.89胡桃仁不低于40%核桃仁不超過25%杏仁沒有限制豪華腰果仁不超過35%1.10杏仁不低于40%核桃仁、胡桃仁沒有限制藍(lán)帶腰果仁含量位于30%50%之間1.80杏仁不低于30%核桃仁、胡桃仁沒有限制每周商店從供應(yīng)商處能夠得到的每類果仁的最大數(shù)量和售價(jià)如下表：售價(jià)/ 美元/kg每周最大供應(yīng)量/ kg杏仁0.452000核桃仁0.554000腰果仁0.705000胡桃仁0.5030001） 商店希望確定每周購(gòu)進(jìn)杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的數(shù)量，使周利潤(rùn)最大，建立數(shù)學(xué)模型，幫助該商店管理人員解決果仁混合的問題。2） 若在圣誕周，豪華和藍(lán)帶品牌的銷售量會(huì)增加，這時(shí)商店會(huì)讓果仁供應(yīng)量增加10%,試問在這種情況下混合配比是否改變，圣誕周利潤(rùn)會(huì)改變多少？請(qǐng)分情況說明。模型假設(shè)1. 所購(gòu)入的原料全部都制成了糖果，無剩余；2. 糖果廠所配制的所有糖果均能全部售出；3. 糖果廠資金充足，周轉(zhuǎn)不會(huì)出現(xiàn)問題；模型的建立設(shè)x,y,z分別表示普通，豪華，藍(lán)帶品牌糖果；x1，x2，x3，x4分別為配制成的普通糖果中腰果仁，胡桃仁，核桃仁，杏仁的含量，單位(kg)；y1，y2，y3，y4分別為配制成的豪華糖果中腰果仁，胡桃仁，核桃仁，杏仁的含量，單位(kg)；z1，z2，z3，z4分別為配制成的藍(lán)帶糖果中腰果仁，胡桃仁，核桃仁，杏仁的含量，單位(kg)。則按照糖果的配比可知：x10.2xx20.4xx30.25xy10.35yy40.4yz10.3zz10.5zz40.3z有糖果組成知道：x1+x2+x3+x4=xy1+y2+y3+y4=yz1+z2+z3+z4=z將以上不等式的x帶入以上3個(gè)等式整理可得x2+x3+x4-4x10x1-1.5x2+x3+x40x1+x2-3x3+x4035y2+35y3+35y4-65y102y1+2y2+2y3-3y403z2+3z3+3z4-7z10z2+z3+z4-z103z1+3z2+3z3-7z40由各種原料供應(yīng)量限制有以下關(guān)系：x1+y1+z15000x2+y2+z23000x3+y3+z34000x4+y4+z42000根據(jù)實(shí)際情況可知所有變量不會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù)：x10x20x30x40y10y20y30y40z10z20z30z40所配制的各種糖果出售價(jià)格為：普通糖果： 0.89(x1+x2+x3+x4)豪華糖果： 1.10(y1+y2+y3+y4)藍(lán)帶糖果： 1.8(z1+z2+z3+z4)果仁進(jìn)價(jià)為：腰果仁：0.7(x1+y1+z1)胡桃仁：0.5(x2+y2+z2)核桃仁：0.55(x3+y3+z3) 杏仁：0.45(x4+y4+z4)所以商店的利潤(rùn)為：P= 0.89(x1+x2+x3+x4)+1.10(y1+y2+y3+y4)+1.8(z1+z2+z3+z4)-0.7(x1+y1+z1)-0.5(x2+y2+z2) -0.55(x3+y3+z3) -0.45(x4+y4+z4) =0.19x1+0.39x2+0.34x3+0.44x4+0.4y1+0.6y2+0.55y3+0.65y4+1.1z1+1.3z2+1.25z3+1.35z4利潤(rùn)最大即求目標(biāo)函數(shù) MAX P到此本題轉(zhuǎn)化為了數(shù)學(xué)問題已知限制條件：x2+x3+x4-4x10x1-1.5x2+x3+x40x1+x2-3x3+x4035y2+35y3+35y4-65y102y1+2y2+2y3-3y403z2+3z3+3z4-7z10z2+z3+z4-z103z1+3z2+3z3-7z40x1+y1+z15000x2+y2+z23000x3+y3+z34000x4+y4+z42000x10x20x30x40y10y20y30y40z10z20z30z40求解 MAXP=0.19x1+0.39x2+0.34x3+0.44x4+0.4y1+0.6y2+0.55y3+0.65y4+1.1z1+1.3z2+1.25z3+1.35z4用Lindo 求解（程序見附錄），可得： OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 10069.70 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1090.909058 0.000000 X2 3000.000000 0.000000 X3 1363.636353 0.000000 X4 0.000000 3.321212 Y1 0.000000 0.000000 Y2 0.000000 0.345455 Y3 0.000000 0.000000 Y4 0.000000 2.666667 Z1 2030.302979 0.000000 Z2 0.000000 0.345455 Z3 2636.363525 0.000000 Z4 2000.000000 0.000000 由以上結(jié)果可匯總為以下表格所表示的內(nèi)容：腰果仁胡桃仁核桃仁杏仁配制糖果量(kg)普通糖果1090.913000.001363.640.005454.55豪華糖果0.000.000.000.000.00藍(lán)帶糖果2030.300.002636.362000.006666.66購(gòu)買果仁量(kg)3121.213000.004000.002000.00商店的最大利潤(rùn)為10069.70元，配比比例如表格所示。問題2：若在圣誕周，豪華和藍(lán)帶品牌的銷售量會(huì)增加，這時(shí)商店會(huì)讓果仁供應(yīng)量增加10%,試問在這種情況下混合配比是否改變，圣誕周利潤(rùn)會(huì)改變多少？請(qǐng)分情況說明。若各種果仁量均增加10% 由于配置標(biāo)準(zhǔn)未曾改變，糖果出售價(jià)格及果仁進(jìn)價(jià)都沒有改變，同時(shí)糖果又能全部售出，所以只需在問題1最優(yōu)解的基礎(chǔ)上個(gè)配料增加10%即可，而相應(yīng)的利潤(rùn)也會(huì)增加10%，變?yōu)?0069.70*(100%+10%)=11076.67 元若僅腰果仁增加10%由問題1知在最優(yōu)配置中，由于其他果仁進(jìn)貨量限制，腰果仁購(gòu)買量未達(dá)到最大值，所以腰果仁即使增加，配比方式也不會(huì)改變，利潤(rùn)也不會(huì)增加。若僅胡桃增加10%只需將程序中進(jìn)貨量限制中的條件x2+y2+z23000 改為 x2+y2+z23300 求解得： 1) 10233.33 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1200.000000 0.000000 X2 3300.000000 0.000000 X3 1500.000000 0.000000 X4 0.000000 3.321212 Y1 0.000000 0.000000 Y2 0.000000 0.345455 Y3 0.000000 0.000000 Y4 0.000000 2.666667 Z1 2166.666748 0.000000 Z2 0.000000 0.345455 Z3 2500.000000 0.000000 Z4 2000.000000 0.000000此種情況下周利潤(rùn)會(huì)增加到10233.33元若僅核桃增加10%只需將進(jìn)貨量限制中的條件x3+y3+z34000 改為 x3+y3+z34400 1) 10074.24 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1090.909058 0.000000 X2 3000.000000 0.000000 X3 1363.636353 0.000000 X4 0.000000 3.453030 Y1 0.000000 0.150000 Y2 0.000000 0.563636 Y3 0.000000 0.000000 Y4 0.000000 2.641667 Z1 2000.000000 0.000000 Z2 0.000000 0.563636 Z3 2666.666748 0.000000 Z4 2000.000000 0.000000此種情況下周利潤(rùn)會(huì)增加到10074.24元若僅杏仁增加10%只需將進(jìn)貨量限制中的條件x4+y4+z42000改為 x4+y4+z42200即可求出結(jié)果 1) 10853.03 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1090.909058 0.000000 X2 3000.000000 0.000000 X3 1363.636353 0.000000 X4 0.000000 3.321212 Y1 0.000000 0.000000 Y2 0.000000 0.345455 Y3 0.000000 0.000000 Y4 0.000000 2.666667 Z1 2496.969727 0.000000 Z2 0.000000 0.345455 Z3 2636.363525 0.000000 Z4 2200.000000 0.000000此種情況下周利潤(rùn)會(huì)增加到10853.03元模型評(píng)價(jià)本模型沒有考慮糖果銷售情況，只是假設(shè)所有配制糖果均能完全銷售，然而在實(shí)際問題中考慮到商店的實(shí)際情況，包括平時(shí)員工工資，銷售時(shí)長(zhǎng)，營(yíng)業(yè)稅以及糖果多樣性對(duì)商店銷售情況的影響，單純進(jìn)行的一個(gè)優(yōu)化，用銷售額與進(jìn)價(jià)之差表示利潤(rùn)。具有一定的局限性。參考文獻(xiàn)：【1】謝金星 薛毅，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件，清華大學(xué)出版社，2005年07月附：Lindo 6.1程序： MAX 0.19x1+0.39x2+0.34x3+0.44x