《線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)》呂 線代1-3,4及習(xí)題.ppt

復(fù)習(xí) 行列式的性質(zhì)及推論 性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 推論 如果行列式的兩行 列 完全相等 此行列式為零 性質(zhì)2 互換行列式的兩行 列 行列式變號 推論 若行列式中某一行 列 的元素全為零 則此行列式等于零 性質(zhì)5 若行列式的某一行 列 的元素都是兩數(shù)之和 則此行列式等于兩個(gè)行列式之和 性質(zhì)3 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一數(shù)k 等于用數(shù)k乘此行列式 性質(zhì)4 若行列式中有兩行 列 成比例 則此行列式等于零 推論 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外邊 性質(zhì)6 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一數(shù) 然后加到另一行 列 對應(yīng)的元素上去 行列式不變 例計(jì)算 解 第一行的 1倍加到以下各行 可得爪形行列式 稱 為元素aij的代數(shù)余子式 余子式 在n階行列式中 劃去元素所在的第i行與第j列 剩下的元素按原來的相對位置所排成的n 1階行列式 叫做原行列式中元素的余子式 記作Mij 例如 的元素x的余子式為 代數(shù)余子式為 代數(shù)余子式 1 3 2行列式按行 列 展開 證明 由性質(zhì)1 4與行列式定義可以證明該性質(zhì) 定理行列式等于它的任一行的各元素與其代數(shù)余子式的乘積之和 即 說明 該性質(zhì)又稱為行列式的按行展開定理 同理也有按列展開定理 在實(shí)際應(yīng)用中 常常選取零元素較多的一行或列 按該行或列施行展開 達(dá)到降階 簡化計(jì)算的目的 意義 實(shí)現(xiàn)了n階行列式到n 1階行列式的降階變換 例 解 按第二行展開 但是 解 由于第一行中的0較多 所以按第一行展開 例求行列式的值 D 推論行列式的任一行 列 的各元素與另一行 列 對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于0 即 說明 該性質(zhì)與按行展開定理合并可得公式 將行列式的第j行元素?fù)Q成第i行元素 再按照第j行展開 證明 第一節(jié)中關(guān)于二元 三元線性方程組的解法 可否推廣至四元 五元 乃至n元的線性方程組的求解 一 問題的提出 根據(jù)此模式可否推出n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線性方程組解的情形 2 由三元線性方程組所作的討論可知 若線性方程組的系數(shù)行列式則解可表示為 1 4克拉默 Cramer 法則 二 含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性方程組 1 系數(shù)行列式記為D 是D中第j列元素?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)所得 定理 克拉默法則 若線性方程組 1 的系數(shù)行列式 則存在唯一解 注意 克萊姆法則只適用于包含n個(gè)未知量n個(gè)方程 并且系數(shù)行列式不為零的線性方程組 用克萊姆法則求解線性方程組 在一般情況下 要計(jì)算n 1個(gè)n階行列式 計(jì)算量很大 例1解線性方程組 解 27 利用公式 同理可求 三關(guān)于齊次線性方程組的結(jié)論 當(dāng)線性方程組右端的常數(shù)項(xiàng)不全為0時(shí) 線性方程組 1 叫做非齊次線性方程組 1 當(dāng)線性方程組右端的常數(shù)項(xiàng)全為0時(shí) 線性方程組 2 叫做齊次線性方程組 2 一定是 2 的解 這個(gè)解叫做齊次線性方程組 2 的零解 如果一組不全為零的數(shù)是 2 的解 則這個(gè)解叫做齊次線性方程組 2 的非零解 定理 若齊次線性方程組 2 的系數(shù)行列式則該齊次線性方程組 2 沒有非零解 即只有零解 等價(jià)命題 如果齊次線性方程組 2 有非零解 則該齊次線性方程組的系數(shù)行列式必為零 分析 如果齊次線性方程組有非零解 則系數(shù)行列式D 0 由D 0 第一章行列式習(xí)題課 知識結(jié)構(gòu) 行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式的展開四行列式的計(jì)算五行列式的應(yīng)用 一 n階行列式的定義 二 逆序數(shù) 2 定理 A 對換改變排列的奇偶性 1 定義 排列的逆序總和稱為該排列的逆序數(shù) C 任意一個(gè)n級排列經(jīng)過一系列對換變成自然排列 并且所作對換次數(shù)的奇偶性與這個(gè)排列的奇偶性相同 B n級全排列中 n 2 奇偶各占一半 一行列式的定義 例 寫出四階行列式中含有a11a23的項(xiàng) 解 四階行列式中含有a11a23的項(xiàng)形如 a11a23a3ia4j 當(dāng)i 2 j 4時(shí) 1 1324 a11a23a32a44 a11a23a32a44 當(dāng)i 4 j 2時(shí) 1 1342 a11a23a34a42 a11a23a34a42 例 解 性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 推論 如果行列式的兩行 列 完全相等 此行列式為零 性質(zhì)2 互換行列式的兩行 列 行列式變號 推論 若行列式中某一行 列 的元素全為零 則此行列式等于零 性質(zhì)5 若行列式的某一行 列 的元素都是兩數(shù)之和 則此行列式等于兩個(gè)行列式之和 性質(zhì)3 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一數(shù)k 等于用數(shù)k乘此行列式 性質(zhì)4 若行列式中有兩行 列 成比例 則此行列式等于零 推論 行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外邊 性質(zhì)6 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一數(shù) 然后加到另一行 列 對應(yīng)的元素上去 行列式不變 二行列式的性質(zhì) 定理 三行列式按行 列 展開 四行列式的計(jì)算 思路一 利用定義 例 解 分析 當(dāng)行列式的各行 列 的所有元素之和相等時(shí) 可將各列 行 的元素都加到第一列 行 的元素上去 思路二 利用性質(zhì) 例 上三角形 思考 例 解 將第一行的 1倍分別加到其余各行 思考 例 解 按第二行展開 但是 思路三 利用行列展開 例 三對角形 1 三角行列式 上三角 下三角 對角行列式 2 范德蒙行列式 重要行列式 思路四 利用重要行列式 例 解 將第一行的3倍加到最后一行 五行列式的應(yīng)用 1 若線性方程組的系數(shù)行列式 則存在唯一解 2 若線性方程組無解或有多個(gè)不同的解 則系數(shù)行列式 3 若齊次線性方程組的系數(shù)行列式 則存在唯一零解 4 若齊次線性方程組有非零解 則系數(shù)行列式 克拉默法則 例 a為何值時(shí) 方程組有非零解 解 當(dāng)系