沖刺60天2012年高考文科數(shù)學解題策略 專題六 解析幾何.doc

圓錐曲線是高考命題的熱點,也是難點.縱觀近幾年的高考試題,對圓錐曲線的定義、幾何性質等的考查多以選擇填空題的形式出現(xiàn),而圓錐曲線的標準方程以及圓錐曲線與平面向量、三角形、直線等結合時,多以綜合解答題的形式考查,屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在之間. 考試要求 了解圓錐曲線的實際背景；掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質；了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,知道其簡單幾何性質；了解拋物線的定義、幾何圖形、標準方程,知道其簡單幾何性質；了解圓錐曲線的簡單應用；掌握數(shù)形結合、等價轉化的思想方法.題型一 圓錐曲線的定義及應用 例 已知點為橢圓的左焦點,是此橢圓上的動點,是一定點,則的最大值和最小值分別為. 已知雙曲線的虛軸長為,離心率為,、分別是它的左、右焦點,若過的直線與雙曲線的左支交于、兩點,且是與的等差中項,則. 點撥：題可利用橢圓定義、三角形的三邊間關系及不等式性質求最值；題是圓錐曲線與數(shù)列性質的綜合題,可根據(jù)條件先求出雙曲線的半實軸長的值,再應用雙曲線的定義與等差中項的知識求的值. 解：設橢圓右焦點為,則,.又 (當、共線時等號成立).又,.故的最大值為,最小值為. 依題意有,解得.、在雙曲線的左支上,.又,.,即. 易錯點：在本例的兩個小題中,正確應用相應曲線的定義至關重要,否則求解思路受阻；忽視雙曲線定義中的兩焦半徑的大小關系容易出現(xiàn)解題錯誤；由、三點共線求出的最值也是值得注意的問題. 變式與引申1.已知為拋物線上任一動點,記點到軸的距離為,對于給定的點,的最小值為( ). A. B. C. D.2.設、分別是橢圓：的左、右焦點,過的直線與相交于、兩點,且是與的等差中項,則.題型二 圓錐曲線的標準方程例2 已知拋物線：經過橢圓：的兩個焦點.圖 求橢圓的離心率； 設,又,為與不在軸上的兩個交點,若的重心在拋物線上,求和的方程. 點撥：問題：將的焦點坐標代入的方程,得出的關系式,進而求出的離心率；問題：利用問題的答案,聯(lián)立、的方程先得出、坐標,再利用的重心在拋物線上,求、的方程. 解：拋物線經過橢圓的兩個焦點,即,橢圓的離心率. 由可知,橢圓的方程為,聯(lián)立拋物線的方程,得,解得或(舍去),即,的重心坐標為.重心在上,得.拋物線的方程為,橢圓的方程為. 易錯點：忘記用第小問的答案；記錯重心坐標公式；聯(lián)立、的方程后,計算錯、坐標. 變式與引申3.求經過兩點和的橢圓的標準方程.4.已知橢圓與直線相交于、兩點,是的中點,若,的斜率為,求橢圓的方程.題型三 圓錐曲線的幾何性質圖 例 如圖,已知為橢圓的左焦點,過點作斜率為(為半焦距)的直線交橢圓于點、兩點. 若直線的傾斜角為,求證：(為橢圓的離心率)； 若,且,求橢圓的離心率的取值范圍. 點撥：這是一道過橢圓焦點的直線與橢圓性質的有關問題,依據(jù)題給條件,運用三角公式、斜率與傾斜角的關系以及橢圓離心率知識可使問題獲證；對于則運用平幾性質、焦半徑公式及題給條件建立含離心率的不等式,進而求出的取值范圍. 解法：,即,又,故. 解法：依題意直線的分別為,點的坐標為,故. 解：,.將直線代入橢圓,整理得,.,解不等式,得,故橢圓的離心率的取值范圍為. 易錯點：問題中忽視斜率的正負,會導致的符號出錯；問題中不適時聯(lián)想平幾性質，解題思路將受阻. 變式與引申5.給定拋物線：,過點斜率為的直線與交于,兩點. ()設線段的中點在直線上,求的值； ()設,求的取值范圍.題型四 以圓錐曲線為載體的探索性問題 例 已知橢圓：的離心率為,過右焦點的直線與相交于、兩點.當?shù)男甭蕿闀r,坐標原點到的距離為. 求、的值； 上是否存在點,使得當繞轉到某一位置時,有成立？若存在,求出所有的點的坐標與的方程.若不存在,說明理由. 點撥：問題可先寫出的方程,再利用點到的距離和橢圓的離心率求出、的值；問題是存在性探索問題,可先探索命題成立的充要條件,將向量坐標化,再綜合運用題給條件,逐步推出滿足題意的是否存在.但需考慮轉動時斜率不存在情形. 解：設,當?shù)男甭蕿闀r,其方程為,點到的距離為, .由,得,. 上存在點,使得當繞轉到某一位置時,有成立.由知的方程為 .設,. 當不垂直軸時,設的方程為.上的點使成立的充要條件是 的坐標為,且,即 .又、在上, 將代入 ,整理得, 于是 ,.代入解得, 此時,于是,即.因此,當時, 的方程為；當時,的方程為. 當垂直于軸時,由知,上不存在點,使成立. 綜上,上存在點使成立,此時的方程為.在、之間),為坐標原點.圖 若,求的面積； 對于任意的動直線,是否存在常數(shù)，總有？若存在,求出的值；若不存在,請說明理由.本節(jié)主要考查： 知識點有圓錐曲線的定義、標準方程、簡單幾何性質(焦點、離心率、焦點三角形,焦半徑等)以及這些知識的綜合應用； 以平面向量、三角形、導數(shù)為背景的圓錐曲線的方程問題、參數(shù)范圍問題、最值問題、定值問題等相關的綜合問題； 圓錐曲線定義法、待定系數(shù)法、相關點法、點差法、設而不求的整體思想以及坐標法和“幾何問題代數(shù)化” 等解析幾何的基本方法； 數(shù)形結合思想、方程思想、等價轉化思想的應用以及邏輯推理能力、運算求解能力等基本數(shù)學能力.點評： 圓錐曲線是解析幾何的重點,也是高中數(shù)學的重點內容,同時又是高考的熱點和壓軸點之一,主要考查圓錐曲線的定義(如例)與性質(如例)、求圓錐曲線方程(如例)、直線與圓錐曲線的位置關系、以圓錐曲線為載體的探索性問題(如例)等. 圓錐曲線的定義,揭示了圓錐曲線存在的條件性質、幾何特征與焦點、離心率相關的問題,恰當利用圓錐曲線定義和數(shù)形結合思想解題,可避免繁瑣的推理與運算. 求圓錐曲線的標準方程：定型確定是橢圓、拋物線、或雙曲線；定位判斷焦點的位置；定量建立基本量、的關系式,并求其值；定式據(jù)、的值寫出圓錐曲線方程. 圓錐曲線的性質如范圍、對稱性、頂點、焦點、離心率、焦半徑、焦點三角形、通徑等都是高考的重點熱點.此類問題,它源于課本,又有拓寬引申、高于課本,是高考試題的題源之一,應引起重視,注意掌握好這一類問題的求解方法與策略.如對于求離心率的大小或范圍問題,只需列出關于基本量、的一個方程(求大小)或找到關于基本量、間的不等關系(求范圍)即可. 求參數(shù)取值范圍是圓錐曲線中的一種常見問題,主要有兩種求解方法：一是根據(jù)題給條件建立含參數(shù)的等式后,再分離參數(shù)求其值域；另一是正確列出含參數(shù)的不等式,進而求之.其列不等式的思路有：運用判別式或；點在圓錐曲線內部(一側)或外部(另一側)；利用圓錐曲線的幾何意義(如橢圓中等)；根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊(注意三點共線的情況). 解有關圓錐曲線與向量結合的問題時,通性通法是向量坐標化,將一幾何問題變成純代數(shù)問題. 探索性問題是將數(shù)學知識有機結合并賦予新的情境創(chuàng)設而成的,它要求學生具有觀察分析問題的能力、具有創(chuàng)造性地運用所學知識和方法解決問題的能力以及探索精神.解題思路往往是先假設滿足題意,即從承認結論、變結論為條件出發(fā),然后通過歸納,逐步探索待求結論.習題6-2 .已知橢圓中心在原點,左、右焦點、在軸上,、是橢圓的長、短軸端點,是橢圓上一點,且軸,則此橢圓的離心率是( ). A. B. C. D.2.過拋物線的焦點F作直線，交拋物線于A、B兩點，交其準線于C點，若，則直線的斜率為_.已知定點,定直線：,不在軸上的動點與點的距離是它到直線的距離的倍.設點的軌跡為,過點的直線交于、兩點，直線、分別交于點、. 求的方程； 試判斷以線段為直徑的圓是否過點,并說明理由. .如圖,已知直線：與拋物線：交于、兩點,為坐標原點,. 求直線和拋物線的方程； 若拋物線上一動點從到運動時,求面積的最大值.【答案】變式與引申1. C提示：如圖6-2-1,點到軸的距離比到準線的距離(即)少,.而點在拋物線外,的最小值為.2. 提示：由橢圓定義知,又，,.3. 解法一：當焦點在軸上時,設橢圓的標準方程為,依題意有,解得.當焦點在軸上時,同理解得,不合,舍去. 綜上所求橢圓的方程為.解法二：設所求橢圓方程為.依題意有,解得.故所求橢圓的方程為.4. 解法一：設,代入橢圓方程得,相減得.,.由,得.,.又,.將代入,解得,.故橢圓方程為.解法二：由,得.設,則,.,. 設,則,代入,得,.故橢圓方程為.5. 解：()過點斜率為的直線為,將代入方程，得. 設,則有,.線段的中點在直線上,即,得(此時式的判別式大于零).()由,得,即. 由,得.,由、得,易知,.,又,即,得,解得或,故的取值范圍是.6. 解：由題意,直線的方程為.設點,由,得,則,.設點,則.由、三點共線得.由得點到軸距離與到直線：距離相等,即,.把,代入,得,即,解得.故存在常數(shù),總有.習題6-2 . B. 提示：設橢圓的方程為,則,.由軸,得,即,解得,故橢圓的離心率.選B. 2. 提示：過點B向準線作垂線,垂足為M，可知，所以直線的斜率為. 解：設,則,化簡得. 當直線與軸不垂直時,設的方程為,與雙曲線聯(lián)立消去得.由題意知且.設,則,.,的方程為,點的坐標為,同理可得,因此.