復(fù)習(xí)：二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布PPT課件.ppt

隨機(jī)變量函數(shù)的分布 復(fù)習(xí) 例1設(shè) X Y 的概率密度是 求 1 c的值 2 兩個(gè)邊緣密度 5c 24 1 c 24 5 解 1 例1設(shè) X Y 的概率密度是 解 2 求 1 c的值 2 兩個(gè)邊緣密度 注意積分限 注意取值范圍 例1設(shè) X Y 的概率密度是 解 2 求 1 c的值 2 兩個(gè)邊緣密度 注意積分限 注意取值范圍 即 解 0 x 1 0 y 1 由于存在面積不為0的區(qū)域 故X和Y不獨(dú)立 為了解決類(lèi)似的問(wèn)題下面我們討論多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 問(wèn)題 一 二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 設(shè) X Y 是二維離散型隨機(jī)變量 則Z X Y的分布也是一個(gè)隨機(jī)變量 下面討論其分布 設(shè) X Y 的聯(lián)合分布律為P X xi Y yj pij i j 1 2 則Z X Y的可能取值z(mì)k xi yj k 1 2 因此Z也是離散型隨機(jī)變量 其分布律為 求和是對(duì)一切使xi yj zk的i j來(lái)作 特別 若X與Y相互獨(dú)立 則 類(lèi)似地 可討論其它情形 例1設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布律如下表所示 試求Z1 X Y Z2 XY Z3 max X Y 的分布律 112 12 0 250 10 3 0 150 150 05 解先列出如下表格 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 Z1 X Y Z2 XY Z3 max X Y 0 250 10 30 150 150 05 201134 1 1 2 224 112222 因此 Z1 X Y的分布律為 20134 0 250 10 450 150 05 Z2 XY的分布律為 2 1124 0 450 10 250 150 05 Z3 max X Y 的分布律為 112 0 250 10 65 例2已知隨機(jī)X Y相互獨(dú)立 且X P 1 Y P 2 試求Z X Y的分布律 解因X與Y均服從泊松分布 所以X與Y的取值為任一非負(fù)整數(shù) 因此Z X Y的取值也為全體非負(fù)整數(shù) 由概率的運(yùn)算法則知 對(duì)一任非負(fù)整數(shù)k 有 即X Y P 1 2 該結(jié)論也稱(chēng)為泊松分布的可加性 例3假設(shè)隨機(jī)變量X1 X2 X3 X4相互獨(dú)立 且同分布P Xi 0 0 6 P Xi 1 0 4 i 1 2 3 4 1 求行列式的概率分布 2 線(xiàn)性方程組只有零解的概率 解 1 記Y1 X1X4 Y2 X2X3 則 Y1 Y2 且Y1和Y2獨(dú)立同分布 隨機(jī)變量Z Y1 Y2有三個(gè)可能值 1 0 1 于是行列式Z的概率分布為 2 線(xiàn)性方程組只有零解 也就是Z 0 故有 二 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合概率密度為f x y 則Z X Y的分布函數(shù)為 這里積分區(qū)域G x y z是直線(xiàn)x y z的左下方半平面 如下圖 1 和的分布 Z X Y 作變量代換y u x得 Why 例4設(shè)X Y是相互獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N 0 1 的隨機(jī)變量 求Z X Y的概率密度 解由于 即Z N 0 2 一般來(lái)說(shuō) 若Xi i 1 2 n 是n個(gè)相互獨(dú)立的服從N i i2 分布的隨機(jī)變量 則仍然是一個(gè)服從正態(tài)分布N 2 的隨機(jī)變量 且其參數(shù)為 這個(gè)事實(shí) 也稱(chēng)正態(tài)分布具有可加性 例5設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立 且都服從 a a a 0 上的均勻分布 試求它們的和Z X Y的概率密度 解X與Y的概率密度分別為 顯然僅當(dāng) 上述積分不等于零 因此 當(dāng)0 z 2a時(shí) 當(dāng) 2a z 0時(shí) 所得到的分布稱(chēng)做辛卜生 Simpson 分布或稱(chēng)做三角分布 其概率密度曲線(xiàn)如圖 則有 2 M max X Y 及N min X Y 的分布 故有 推廣 例6 解 例7設(shè)X1 X2 Xn相互獨(dú)立 且都服從 0 1 上的均勻分布 試求U max X1 X2 Xn 及V min X1 X2 Xn 的密度函數(shù) 解因?yàn)橄鄳?yīng)于 0 1 上均勻分布的分布函數(shù)為 因此U的分布函數(shù)為 故U的概率密度為 而V的分布函數(shù)為 故V的概率密度為 小結(jié) 1 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律 2 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 一 重點(diǎn)與難點(diǎn) 二 主要內(nèi)容 三 典型例題 第三章多維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題課 一 重點(diǎn)與難點(diǎn) 1 重點(diǎn) 二維隨機(jī)變量的分布 有關(guān)概率的計(jì)算和隨機(jī)變量的獨(dú)立性 2 難點(diǎn) 條件概率分布 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 定義 聯(lián)合分布函數(shù) 聯(lián)合分布律 聯(lián)合概率密度 邊緣分布 條件分布 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 定義 性質(zhì) 二維隨機(jī)變量 推廣 二 主要內(nèi)容 二維隨機(jī)變量 1 定義 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 且有 2 性質(zhì) 3 n維隨機(jī)變量的概念 二維隨機(jī)變量 X Y 的分布律也可表示為 二維離散型隨機(jī)變量的分布律 離散型隨機(jī)變量 X Y 的分布函數(shù)為 2020 2 6 51 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 1 定義 2 性質(zhì) 表示介于f x y 和xoy平面之間的空間區(qū)域的全部體積等于1 3 說(shuō)明 4 兩個(gè)常用的分布 設(shè)D是平面上的有界區(qū)域 其面積為A 若二維隨機(jī)變量 X Y 具有概率密度 則稱(chēng) X Y 在D上服從均勻分布 若二維隨機(jī)變量 X Y 具有概率密度 二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布 邊緣分布函數(shù) 為隨機(jī)變量 X Y 關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量的邊緣分布 隨機(jī)變量關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為 聯(lián)合分布 邊緣分布 連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布 同理得Y的邊緣概率密度 1 離散型隨機(jī)變量的條件分布 隨機(jī)變量的條件分布 同理可定義 2 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布 聯(lián)合分布 邊緣分布 條件分布的關(guān)系 聯(lián)合分布 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 說(shuō)明 1 若離散型隨機(jī)變量 X Y 的聯(lián)合分布律為 二維隨機(jī)變量的推廣 其它依次類(lèi)推 5 隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義的推廣 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 1 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 當(dāng)X Y獨(dú)立時(shí) 2 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 則有 推廣 三 典型例題 例1 解 例2 解 故得 從而有 因此 求證 隨機(jī)變量X沒(méi)有數(shù)學(xué)期望 證由定義 數(shù)學(xué)期望應(yīng)為 由微積分學(xué)可知 右邊的級(jí)數(shù)發(fā)散 因此 隨機(jī)變量X沒(méi)有數(shù)學(xué)期望 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 備用題例8 1 解 由于 例8 2 柯西分布 設(shè)隨機(jī)變量X服從柯西分布 求E X 因X服從柯西分布 則其密度函數(shù)為 因而其數(shù)學(xué)期望E X 不存在 游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光 例9 1 解 已知X在 0 60 上服從均勻分布 其密度為 電梯于每個(gè)正點(diǎn)的第5分鐘 第25分鐘和第55分鐘從底層起行 假設(shè)在早上的8點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處 且X在 0 60 上服從均勻分布求游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望 考研試題 設(shè)Y是游客等候電梯的時(shí)間 單位 分 則 因此 11 67 解 例9 2 設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為 試求 考研試題 解 例9 3 報(bào)童問(wèn)題 設(shè)某報(bào)童每日的潛在賣(mài)報(bào)數(shù) 若記真正賣(mài)報(bào)數(shù)為Y 則Y與X的關(guān)系如下 X服從參