控制系統(tǒng)課程設計--哈工大-倒立擺.doc

哈爾濱工業(yè)大學課程設計說明書（論文）Harbin Institute of Technology課程設計說明書（論文）課程名稱： 控制系統(tǒng)設計課程設計 設計題目：直線一級倒立擺控制器設計院 系： 航天學院自動化專業(yè) 班 級： 設 計 者： 學 號： 指導教師： 設計時間： 09.08.31 09.09.18 哈爾濱工業(yè)大學目 錄1. 任務書-22. 理論模型建立和分析-43. PID控制器設計與調(diào)節(jié)-94. 狀態(tài)空間極點配置控制器設計-155. 問題的進一步討論-246. 設計結論與心得體會-25*注：此任務書由課程設計指導教師填寫。第一章 理論模型的建立及分析1.1直線一階倒立擺數(shù)學模型的推導系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機理建模和實驗建模。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應用數(shù)學手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關系。這里面包括輸入信號的設計選取，輸出信號的精確檢測，數(shù)學算法的研究等等內(nèi)容。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎上，通過物理、化學的知識和數(shù)學手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入狀態(tài)關系。 對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。但是經(jīng)過小心的假設忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系內(nèi)應用經(jīng)典力學理論建立系統(tǒng)的動力學方程。下面我們采用其中的牛頓歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型。 在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng). 下圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿水平和垂直方向的分量。圖1-1（a）小車隔離受力圖 （b）擺桿隔離受力圖本系統(tǒng)相關參數(shù)定義如下： M : 小車質(zhì)量 m：擺桿質(zhì)量 b：小車摩擦系數(shù) l：擺桿轉動軸心到桿質(zhì)心的長度 I：擺桿慣量 F：加在小車上的力 x：小車位置 ：擺桿與垂直向上方向的夾角 ：擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下） 注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定,因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向。應用牛頓方法來建立系統(tǒng)的動力學方程過程如下：分析小車水平方向受到的合力，可以得到下面等式： （1-1）由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： （1-2） （1-3） 把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： （1-4） 為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： （1-5） （1-6） 力矩平衡方程如下： （1-7） 注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有負號。 合并這兩個方程，約去P和N ，得到第二個運動方程： （1-8）1.1.1微分方程模型 設（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設與1（單位是弧度）相比很小,即，則可以進行近似處理：。用u來代表被控對象的輸入力F ，線性化后兩個運動方程如下： （1-9） 1.1.2傳遞函數(shù) 對以上微分方程組進行拉普拉斯變換，得到 （1-10） 注意：推導傳遞函數(shù)時假設初始條件為0。 由于輸出為角度為，求解方程組上述方程組的第一個方程，可以得到 （1-11）或者 （1-12）如果令，則有 （1-13）把上式代入10式，則有： （1-14）整理得到以輸入力為輸入量，擺桿角度為輸出量的傳遞函數(shù)： （1-15） 其中 1.1.3狀態(tài)空間數(shù)學模型由現(xiàn)代控制原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程可寫成如下形式： （1-16）可得代數(shù)方程，得到如下解： （1-17）整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： （1-18）由(1-9)的第二個方程為:對于質(zhì)量均勻分布的擺桿有:于是可以得到:化簡得到: （1-19）設，則有： （1-20）實際系統(tǒng)參數(shù)如下：M : 小車質(zhì)量 0.5kg m：擺桿質(zhì)量 0.2kg b：小車摩擦系數(shù) 0.1N/m/sec l：擺桿轉動軸心到桿質(zhì)心的長度 0.3m I：擺桿慣量 0.006kg*m*m 把上述參數(shù)帶入，可以得到系統(tǒng)的實際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： （1-21）擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)： （1-22）擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù) （1-23）以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： （1-24）以小車加速度作為輸入系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程： （1-25）1.2系統(tǒng)階躍響應分析在matlab中鍵入以下命令：得到如下結果：圖1-2 直線一階校正前倒立擺單位階躍響應仿真可以看出，在單位階躍響應作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。第二章 直線一級倒立擺PID控制器設計本章主要利用PID控制算法對直線一級倒立擺系統(tǒng)進行控制器設計。在設計的過程中，要求熟悉控制參數(shù)、對系統(tǒng)性能的影響，然后按照所要求的控制指標并綜合實際響應結果恰當?shù)卣{(diào)整參數(shù)。運用MATLAB仿真軟件可以快捷地進行系統(tǒng)仿真和參數(shù)調(diào)整，本章第2節(jié)的內(nèi)容即是運用MATLAB軟件對PID控制系統(tǒng)的設計和仿真。第3節(jié)中，將對控制系統(tǒng)進行實際的運行和參數(shù)調(diào)試，以獲得一組最佳的PID控制參數(shù)。設計目的：學習PID控制器的設計方法，了解控制器各個參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，學會根據(jù)控制指標要求和實際響應調(diào)整PID控制器的參數(shù)。設計要求：設計PID控制器，使得當在小車上施加0.1N的階躍信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為：（1）穩(wěn)定時間小于5秒；（2）穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1 弧度。設計報告要求：（1）給出系統(tǒng)擺桿角度和小車位置的仿真圖形及控制器參數(shù)，并對各個參數(shù)對系統(tǒng)控制效果的影響進行說明；（2）給出實際控制曲線和控制器參數(shù)，對響應的動態(tài)和靜態(tài)指標進行分析。D控制系統(tǒng)原理框圖如下所示，系統(tǒng)由模擬PID控制器KD（S）和被控對象G（S）組成。PID控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值r(t)與實際輸出值y(t)構成控制偏差e(t)將偏差的比例（P），積分（I）和微分（D）通過線性組個構成控制量，對被控對象進行控制，谷稱為PID控制器。其控制規(guī)律為：或寫成傳遞函數(shù)的形式：在控制系統(tǒng)設計和仿真中，也將傳遞函數(shù)寫成：簡單來說,PID控制器各個校正環(huán)節(jié)的作用如下:（1） 比例環(huán)節(jié)：成比例的反應控制系統(tǒng)的偏差信號e(t)，偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。（2）積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強弱取決于積分時間常數(shù)T1，T1越大，積分作用越弱，反之則越強。（3） 微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號的變化趨勢（變化速率），并能在偏差信號值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調(diào)節(jié)時間。 這個控制問題，輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)一個擾動，觀察擺桿的響應，系統(tǒng)框圖如下：圖2-1直線一級倒立擺PID控制系統(tǒng)框圖中KD(s)是控制器傳遞函數(shù)，G(s)是被控對象傳遞函數(shù)?？紤]到輸入r(s)=0，結構圖可以很容易的變換成圖2-2 直線一級倒立擺PID控制簡化系統(tǒng)框圖 該系統(tǒng)的輸出為 其中，num被控對象傳遞函數(shù)的分子項 den被控對象傳遞函數(shù)的分母項 numPIDPID 控制器傳遞函數(shù)的分子項 denPIDPID 控制器傳遞函數(shù)的分母項 通過分析上式可以得到系統(tǒng)的各項性能。由（2-13）可以得到擺桿角度和小車加速度的傳遞函數(shù)：PID控制器的傳遞函數(shù)為：只需調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)，就可以得到滿意的效果。小車的位置輸出為：通過對控制量雙重積分可以得到小車的位置。2.2 PID控制參數(shù)設定及MATLAB仿真通過不斷的調(diào)試，最后=80，=20，=15。系統(tǒng)MATLAB仿真模型如下：圖2-3一階倒立擺PID控制MATLAB仿真模型其輸入0.1N的脈沖響應如下：圖2-4直線一階倒立擺PID控制仿真結果圖可以看出，在3.68s的時候系統(tǒng)已經(jīng)穩(wěn)定了，并且在穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度。由于PID控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制小車擺桿的角度，并不能控制小車的位置。2.3 PID控制實驗MATLAB版實驗軟件下的實驗步驟：(1) 打開直線一級倒立擺PID控制界面如圖2-5所示：（進入MATLAB Simulink 實時控制工具箱“Googol Education Products”打開“Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment PID Experiments”中的“PID Control Demo”） 2) 雙擊“PID”模塊進入PID 參數(shù)設置，如圖2-6所示，把仿真得到的參數(shù)輸入PID控制器，點擊“OK”保存參數(shù)。圖2-5直線一級倒立擺MATLAB 實時控制界面 圖2-6 參數(shù)設計調(diào)整(3) 點擊編譯程序，完成后點擊使計算機和倒立擺建立連接。(4) 點擊運行程序，檢查電機是否上伺服。緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置，在程序進入自動控制后松開，當小車運動到正負限位的位置時，用工具擋一下擺桿，使小車反向運動。 (5) 實驗結果如下圖所示： 圖2-7 PID控制實驗結果1 圖2-8 PID控制實驗結果2（施加干擾）從圖2-7中可以看出，倒立擺可以實現(xiàn)較好的穩(wěn)定性，擺桿的角度在3.14（弧度）左右。PID控制器并不能對小車的位置進行控制，小車會沿滑桿有稍微的移動。在給定干擾的情況下，小車位置和擺桿角度的變化曲線如圖2-8所示，可以看出，系統(tǒng)可以較好的抵換外界干擾，在干擾停止作用后，系統(tǒng)大約3.2s達到穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化遠小于0.1弧度。最后，選擇實驗室結果的最佳數(shù)據(jù)取100,40,10。2.4 PID系統(tǒng)的優(yōu)缺點優(yōu)點：PID控制優(yōu)點明顯，應用廣泛。PID能消除穩(wěn)態(tài)誤差；同時可以減少超調(diào)量，克服振蕩，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高；并且能加快系統(tǒng)的動態(tài)響應速度，減小調(diào)整時間，從而改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。缺點：PID控制的過度期比較長，上升過程中波動明顯；當然，較好的PID控制效果是以已知被控對象的精確數(shù)學模型為前提的，當被控對象的數(shù)學模型未知時，PID控制的調(diào)試將會有很大的難度。第三章 狀態(tài)空間極點配置控制器設計經(jīng)典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設計時一般需要有關被控對象的較精確模型，現(xiàn)代控制理論主要是依據(jù)現(xiàn)代數(shù)學工具，將經(jīng)典控制理論的概念擴展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點配置法通過設計狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標。設計目的：學習狀態(tài)空間極點配置控制器的設計方法，分析各個極點變化對系統(tǒng)性能的影響，學會根據(jù)控制指標要求和實際響應調(diào)整極點的位置和控制器的參數(shù)。設計要求：設計狀態(tài)空間極點配置控制器，使得當在小車上施加0.2m的階躍信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為：（1）擺桿角度和小車位移的穩(wěn)定時間小于3秒（2）的上升時間小于1秒（3）的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）（4）穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。設計報告要求：（1）給出系統(tǒng)擺桿角度和小車位置的仿真控制圖形及控制器參數(shù)，并對極點的位置和各個參數(shù)對系統(tǒng)控制效果的影響進行分析；（2）給出實際控制曲線和控制器參數(shù)，并對響應的動態(tài)和靜態(tài)指標進行分析。3.1 狀態(tài)空間分析狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)原理圖如圖3-1所示。圖3-1 狀態(tài)反饋閉環(huán)控制原理圖狀態(tài)方程為：式中：為狀態(tài)向量（維），為控制向量（純量），為維常數(shù)矩陣，為維常數(shù)矩陣。選擇控制信號：求解上式，得到方程解為：可以看出，如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，選擇適當，對于任意的初始狀態(tài)，當趨于無窮時，都可以使趨于0。極點配置的設計步驟：(1) 檢驗系統(tǒng)的可控性條件。(2) 從矩陣的特征多項式來確定的值。(3) 確定使狀態(tài)方程變?yōu)榭煽貥藴市偷淖儞Q矩陣：其中為可控性矩陣，(4) 利用所期望的特征值，寫出期望的多項式并確定的值。(5) 需要的狀態(tài)反饋增益矩陣由以下方程確定：3.2 極點配置及MATLAB仿真前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺的狀態(tài)空間模型，以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為：于是有：，直線一級倒立擺的極點配置轉化為：選，解得=0.59，wn=3.39，=0.804，符合要求。求得閉環(huán)主導極點為：，選取另兩個極點為-14，-14。則：對于如上所述的系統(tǒng)，設計控制器，要求系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時間（約3秒）和合適的阻尼。方法一： 倒立擺極點配置原理圖如圖3-2所示。圖3-2 倒立擺極點配置原理圖極點配置步驟如下：(1) 檢驗系統(tǒng)可控性（略）(2) 計算特征值根據(jù)要求，并留有一定的裕量（設調(diào)整時間為2秒），我們選取期望的閉環(huán)極點，其中：其中，是一對具有的主導閉環(huán)極點，位于主導閉環(huán)極點的左邊，因此其影響較小，因此期望的特征方程為：因此可以得到：由系統(tǒng)的特征方程：因此有系統(tǒng)的反饋增益矩陣為：(3) 確定使狀態(tài)方程變?yōu)榭煽貥藴市偷淖儞Q矩陣：式中：于是可以得到：(4) 狀態(tài)反饋增益矩陣為：得到控制量為：；以上計算可以采用MATLAB編程計算。直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置MATLAB 程序1： clear;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 24.5 0;B=0 1 0 2.5;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0 0;J=-14 0 0 0;0 -14 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i;pa=poly(A);pj=poly(J);M=B A*B A2*B A3*B;W=pa(4) pa(3) pa(2) 1;pa(3) pa(2) 1 0;pa(2) 1 0 0;1 0 0 0;T=M*W;K=pj(5)-pa(5) pj(4)-pa(4) pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)*inv(T);Ac=(A-B*K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.005:5;U=0.2*ones(size(T);Cn=1 0 0 0;Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);Bcn=Nbar*B;Y,X=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T); plot(T,X(:,1),-);hold on;plot(T,X(:,2),-.);hold on;plot(T,X(:,3),.);hold on;plot(T,X(:,4),-);hold on;legend(CartPos,CartSpd,PendAng,PendSpd)（進入MATLAB Simulink 實時控制工具箱“Googol Education Products”打開“Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment Poles Experiments”中的“Poles Control M File1”）運行得到以下結果：運行結果如下：K = -92.0608 -45.1515 174.4274 30.8606可以看出，給定系統(tǒng)干擾后，倒立擺可以在2s內(nèi)很好的回到平衡位置方法二： 矩陣（ABK）的特征值是方程式的根：這是s的四次代數(shù)方程式，可表示為適當選擇反饋系數(shù)系統(tǒng)的特征根可以取得所希望的值。把四個特征根設為四次代數(shù)方程式的根，則有比較兩式有下列聯(lián)立方程式如果給出的是實數(shù)或共軛復數(shù)，則聯(lián)立方程式的右邊全部為實數(shù)。據(jù)此可求解出實數(shù)。當將特征根指定為下列兩組共軛復數(shù)時又 利用方程式可列出關于的方程組：利用如下直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置MATLAB程序2。clear;syms a s b k1 k2 k3 k4;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 a 0;B=0 1 0 b;SS=s 0 0 0;0 s 0 0;0 0 s 0;0 0 0 s;K=k1 k2 k3 k4;J=-14 0 0 0;0 -14 0 0;0 0 -2-2.74*i 0;0 0 0 -2+2.74*i;ans=A-B*K;P=poly(ans)PJ=poly(J)（進入MATLAB Simulink 實時控制工具箱“Googol Education Products”打開“Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment Poles Experiments”中的“Poles Control M File2”）求解后得K = -92.0608 -45.1515 174.4274 30.8606。即施加在小車水平方向的控制力：可以看出，和方法一的計算結果一樣。3.3極點配置實驗實驗步驟如下：(1)進入MATLAB Simulink 中“ matlab6p5toolboxGoogolTechInvertedPendulum Linear Inverted Pendulum, ”目錄，打開直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置控制程序如下：（進入MATLAB Simulink 實時控制工具箱“Googol Education Products”打開“Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP ExperimentPoles Experiments”中的“Poles Control Demo”）圖3-8狀態(tài)空間極點配置實時控制程序 圖3-9 極點配置控制參數(shù)設定(2) 點擊“Controller”模塊設置控制器參數(shù)，把前面仿真結果較好的參數(shù)輸入到模塊中：點擊“OK”完成設定。(3) 點擊編譯程序，完成后點擊使計算機和倒立擺建立連接。(4) 點擊運行程序，檢查電機是否上伺服。緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置，在程序進入自動控制后松開。(5) 雙擊“Scope”觀察實驗結果如下圖所示： 圖3-10狀態(tài)空間極點配置實時控制結果（平衡） 圖3-11狀態(tài)空間極點配置實時控制結果（施加干擾）可以看出，系統(tǒng)可以在很小的振動范圍內(nèi)保持平衡，小車振動幅值