建筑結構抗震設計與實例第4章.ppt

第四章多自由度體系結構的地震反應 4 1概述 4 2多自由度體系的自由振動 4 3多自由度體系的振型分解法 4 4多自由度體系的水平地震作用及效應 4 5多自由度體系地震反應的時程分析 4 1多自由度體系的自由振動 一 多自由度體系的基本概念1 實際房屋的自由度 無限個 簡化 有限自由度模型 2 常用分析模型 層間模型 每層樓面 屋面可作為一個質點 墻柱質量則分別向上下質點集中 圖4 1層間模型計算簡圖 二 兩自由度無阻尼運動方程的建立 以兩個自由度為例 圖4 2兩個自由度的層間剪切模型計算簡圖 1 質點的運動 質點絕對加速度 質點相對加速度 地面運動加速度 恢復力 慣性力 2 質點1的運動方程 平衡方程 平衡方程 慣性力 恢復力 3 質點2的運動方程 合并式 4 2 和 4 3 寫成矩整形式 4 3 采用瑞雷阻尼假定 三 多自由度體系的自振頻率 4 8 頻率方程 第一自振圓頻率 第二自振圓頻率 頻率特征 較大的為第一自振周期 較小的為第二自振周期 較小的為第一自振頻率 較大的為第二自振頻率 1 體系的運動包含若干個頻率的振動 2 每一個頻率的振動有何特征 3 不同頻率運動之間的關系 振型概念 對應某一自振頻率各質點位移間的關系 頻率方程 X11 X12 X21 X22 特點 位移幅值的比值為常數(shù) 四 多自由度體系的振型 1 對應某一自振頻率各質點位移幅值的比值 位移比值仍為常數(shù) 2 對應某一自振頻率各質點任意時刻位移的關系 1 多自由度運動方程的特點 耦聯(lián)的微分方程 2 質點的運動包含所有振型頻率 3 各主振型之間具有關系 3 體系運動的組成 包含所有的頻率和振型 4 13 左乘 4 12 4 14 4 振型的正交性 任意兩個不同頻率的主振型之間存在互相正交的性質 式 4 15 式 4 16 同樣可得 進一步可得 振型規(guī)格化 例4 1三層剪切結構如圖示 求該結構自振頻率和振型 解 周期與自振頻率的關系 可得結構的各階自振周期分別為 為求第一階段型 將代入 同樣可得 第一振型 第二振型 第三振型 1 體系的最大變形能 2 體系的最大動能 3 能量守恒原理 五 結構周期的計算 一 基本周期的實用近似計算1 能量法 對應第一振型 假定 將質點的重力荷載視為水平力所產生的質點處的水平位移 將各樓層的重力荷載當做水平力產生的樓層剪力為 例4 2用能量法求4 1基本周期 則將樓層重力荷載當做水平力所產生的樓層水平位移為 與精確解誤差為 2 基本思想 用一個等效單質點體系代替原來的多質點體系 等效原則為 2 等效質量法 1 等效單質點體系與原多質點體系的基本自振頻率相等 2 等效單質點體系自由振動的最大動能與原多質點體系的基本自由振動的最大動能相等 多質點體系按第一振型振動的最大動能 等效單質點體系的最大動能 例4 3用等效質量法求4 1基本周期 與精確解的相對誤差為 在單位質點下施加單位水平力產生的水平位移為 3 頂點位移法 基本思想 將懸臂結構的基本周期 用頂點位移來表示 而該頂點位移為將結構重力荷載作為水平荷載作用在結構頂點所產生的假想頂點位移 對質量沿高度均勻分布的等截面彎曲型懸臂桿 將重力荷載作為水平荷載產生的頂點位移為 例4 4用頂點位移法求4 1基本周期 與精確解的誤差為3 該結構屬于剪切型懸臂桿 二 求解結構體系自振頻率及振型的其它方法 1 廣義雅可比法 2 利用Matlab編程求解 3 矩陣迭代法 stodola法 矩陣迭代法是首先假定振型形狀 經過迭代調整一直到獲得滿意的結果 然后再確定自振頻率假定體系的剛度矩陣的逆矩陣存在 將其左乘式 4 20 式 b 就是迭代方程 式中矩陣代表了結構的所有動力特征 所以也叫動力矩陣 矩陣迭代法的迭代步驟如下 3 如果和間誤差滿足要求 則式 d 中的就是所求的特征值 如兩者誤差不滿足要求 則繼續(xù)進行迭代 可以證明 該迭代過程最終將收斂于第一振型 4 2多自由度體系的振型分解法 一 振型分解法基本概念1 思路 利用各振型相互正交的特性 將原來耦聯(lián)的微分方程組變?yōu)槿舾苫ハ嗒毩⒌奈⒎址匠?從而使原來多自由度體系的動力計算變?yōu)槿舾蓚€單自由度體系的問題 2 求解 在求得了各單自由度體系的解后 再將各個解進行組合 從而可求得多自由度體系的地震反應 3 兩自由度體系振型分解法 1 坐標變換 2 振型乘以組合系數(shù)疊加 將實際位移按振型加以分解 故稱為振型分解法 二 多自由度體系振型分解 振型分解式 4 22 將質點地震作用下任一時刻的位移用其振型的線性組合表示 其中 假定阻尼矩陣可表示為 體系的運動方程 考慮式 4 23 左端第一項 利用振型正交性 類似地 可推得 4 28 稱為對應于第振型的振型阻尼比 系數(shù)及可通過體系第一振型及第二振型的頻率及阻尼比確定 已解耦的第j個廣義坐標的運動方程 依次取 可得n個獨立的微分方程 即在每一個方程中僅含有一個未知量 從而 可運用單自由度體系的求解方法 求得 將求得的各廣義坐標代入式 4 22 可求得各質點的位移 比較單自由度情況 4 27 第j振型位移反應表達式 三 多自由度體系地震反應振型分解法的求解步驟 1 求體系的自振頻率和振型 2 計算振型參與系數(shù) 3 求解耦的各階單自由度體系的廣義坐標 4 按振型疊加原理計算各質點的位移 4 3多自由度體系的水平地震作用及效應 適合于工程抗震設計的方法 簡單 實用 需要的關鍵參數(shù) 各質點反應的最大值 簡化分析方法 在振型分解法的基礎上 結合運用單自由度體系的反應譜理論 推導出實用的振型分解反應譜法 在某些特定的條件下 還可推得更為簡單實用的底部剪力法 一 振型分解反應譜法 多自由度體系的水平地震作用可用各質點所受的慣性力來代表 故質點i上的地震作用為 由式 4 30 可寫成 稱為對應于第j振型質點i的水平地震作用 相當于單自由度的地震反應 利用單自由度反應譜 4 37 即為對應于j振型自振周期為的單自由度體系的地震影響系數(shù) 可按單自由度體系的地震影響系數(shù)確定 利用規(guī)范給出的反應譜曲線 可方便地求得對應于某一振型各質點的最大地震作用所產生的作用效應 彎矩 剪力 軸力 位移等 4 39 各振型產生的地震作用效應 S為總的地震作用效應 為對應于第j振型該處結構的地震作用效應 當某一振型的地震作用達最大值時 其余各振型的地震作用不一定也達到最大 從而結構地震作用的最大值并不等于各振型地震作用最大值之和根據隨機振動理論 近似地取 平方和開方 振型的地震組合時振型反應數(shù)的確定 結構的總地震反應以低階振型為主 高階振型的影響較小 1 一般情況下 可取結構前2 3階振型進行組合 但不多于結構自由度 2 當結構基本周期大于1 5s或高寬比大于5時 可適當增加 例題分析 地震影響系數(shù) 第j振型參與系數(shù) 第一振型參與系數(shù) 對應第一振型的地震作用 對應第二振型的地震作用 對應第三振型的地震作用 根據各振型的地震作用 可求出各振型地震作用下框架的彎矩如4 4所示 按平方和開方的組合原則 可求得各振型組合后框架彎矩圖 如圖4 5所示 第一振型彎矩 第二振型彎矩 第三振型彎矩 各振型組合彎矩圖 二 底部剪力法 尋求更為簡便的適合設計的方法 1 適用條件 結構的質量和剛度沿高度分布比較均勻 房屋的總高度不超過40m 建筑結構在地震作用下的變形以剪切變形為主 建筑結構在地震作用時的扭轉效應可忽略不計 2 底部剪力計算 按振型分解反應譜法 j振型質點的地震作用為 為系數(shù) 回憶單自由度的形式 各質點的水平地震作用近似地取為對應于第一振型的地震作用 3 總底部剪力的分配 4 43 再根據各質點的水平地震作用之和等于總水平地震作用的條件 得 進一步得 1 特殊情況處理 抗震規(guī)范 規(guī)定 當結構基本周期時 在頂點附加水平地震作用 即取 2 頂點的水平地震作用為 4 47 式中 為頂部附加地震作用系數(shù) 對多層內框架磚房 可取0 2 對多層鋼筋混凝土房屋和鋼結構房屋 可根據特征周期及房屋基本周期T1按第五章表5 7確定 表6 頂部附加地震作用系數(shù) n 例題分析 例題4 6 用底部剪力法求例4 5中三層框架彎矩圖 地震影響系數(shù) 總水平地震作用 由于 查表5 7 得頂部附加地震作用系數(shù) 上述地震作用在框架引起的彎矩如下圖所示 圖4 6底部剪力法和振型分解法計算結果比較 底部剪力法計算結果 振型分解法計算結果 4 4多自由度體系地震反應的時程分析 對于特別不規(guī)則的建筑 特別重要的建筑 以及房屋高度和設防烈度較高的建筑 規(guī)范規(guī)定 宜采用時程分析法進行補充計算 當進行房屋結構的彈塑性變形驗算時 由于結構已出現(xiàn)了明顯的非線性 振型分解反應譜法已不再適用 而需采用彈塑性時程分析法 當需要對建筑結構進行地震作用下的時程分析時 一般均采用數(shù)值計算方法 較為常用的是法及第三章介紹過的線性加速度法 4 5多自由度體系地震反應的時程分析 4 5 1多自由度體系的線性