高中拋物線知識點歸納總結(jié)與練習(xí)題及答案.doc

資料收集于網(wǎng)絡(luò) 如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站 刪除 謝謝 拋物線xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定義平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。=點M到直線的距離范圍對稱性關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱焦點(,0)(,0)(0,)(0,)焦點在對稱軸上頂點離心率=1準線方程準線與焦點位于頂點兩側(cè)且到頂點的距離相等。頂點到準線的距離焦點到準線的距離焦半徑焦 點弦 長焦點弦的幾條性質(zhì)oxFy以為直徑的圓必與準線相切若的傾斜角為，則若的傾斜角為，則 切線方程一 直線與拋物線的位置關(guān)系直線，拋物線，消y得：（1）當k=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；（2）當k0時， 0，直線與拋物線相交，兩個不同交點； =0， 直線與拋物線相切，一個切點； 0，直線與拋物線相離，無公共點。（3） 若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線必相切嗎?（不一定）二 關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理方法直線： 拋物線，1 聯(lián)立方程法： 設(shè)交點坐標為,，則有,以及，還可進一步求出， 在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法，比如1. 相交弦AB的弦長 或 b. 中點, ， 2 點差法：設(shè)交點坐標為，代入拋物線方程，得 將兩式相減，可得a. 在涉及斜率問題時，b. 在涉及中點軌跡問題時，設(shè)線段的中點為， 即，同理，對于拋物線，若直線與拋物線相交于兩點，點是弦的中點，則有（注意能用這個公式的條件：1）直線與拋物線有兩個不同的交點，2）直線的斜率存在，且不等于零）拋物線練習(xí)及答案1、已知點P在拋物線y2 = 4x上，那么點P到點Q（2，1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為 。（,1）2、已知點P是拋物線上的一個動點，則點P到點（0，2）的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為 。3、直線與拋物線交于兩點，過兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為 。4、設(shè)是坐標原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為 。5、拋物線的焦點為，準線為，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點，垂足為，則的面積是 。6、已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點在上且，則的面積為 。7、已知雙曲線，則以雙曲線中心為焦點，以雙曲線左焦點為頂點的拋物線方程為 。8、在平面直角坐標系中，有一定點,若線段的垂直平分線過拋物線則該拋物線的方程是 。9、在平面直角坐標系中，已知拋物線關(guān)于軸對稱，頂點在原點，且過點P(2，4)，則該拋物線的方程是 。10、拋物線上的點到直線距離的最小值是 。 11、已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是 。3212、若曲線|1與直線沒有公共點，則、分別應(yīng)滿足的條件是 。=0,-12時，點P（x,0）存在無窮多條“相關(guān)弦”.給定x02.（1）證明：點P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點的橫坐標相同；（2）試問：點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請說明理由.解: （1）設(shè)AB為點P（x0,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點A、B的坐標分別是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,則y21=4x1, y22=4x2,兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因為x1x2,所以y1+y20.設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M（xm, ym）,則k=.從而AB的垂直平分線l的方程為 又點P（x0,0）在直線上，所以 而于是故點P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點的橫坐標都是x0-2.(2)由(1)知，弦AB所在直線的方程是，代入中，整理得 （）則是方程（）的兩個實根，且設(shè)點P的“相關(guān)弦”AB的弦長為l，則因為03,則2(x0-3) (0, 4x0-8),所以當t=2(x0-3),即=2(x0-3)時,l有最大值2(x0-1).若2x03,則2(x0-3)0,g(t)在區(qū)間（0，4 x0-8）上是減函數(shù)，所以0l23時，點P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中存在最大值，且最大值為2（x0-1）；當20)的焦點為F，準線為l，經(jīng)過F的直線與拋物線交于A、B兩點，交準線于C點，點A在x軸上方，AKl，垂足為K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，則AKF的面積是 ()A4 B3 C4 D8例4、過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準線l于點C，若|BC|2|BF|，且|AF|3則此拋物線的方程為 ( ) Ay2xBy29x Cy2x Dy23x三、拋物線的綜合問題例5、(2011江西高考)已知過拋物線y22px(p0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上，M點到拋物線C的焦點F的距離為2，直線l：yxb與拋物線C交于A，B兩點(1)求拋物線C的方程；(2)若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程例題答案解析一、拋物線的定義及其應(yīng)用例1、(1)如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x1.由拋物線的定義知：點P到直線x1的距離等于點P到焦點F的距離于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小顯然，連結(jié)AF交曲線于P點，則所求的最小值為|AF|，即為.(2)如圖，自點B作BQ垂直準線于Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|P1F|.則有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值為4.例2、解析：圓心到拋物線準線的距離為p，即p4，根據(jù)已 知只要|FM|4即可根據(jù)拋物線定|FM|y02由y024，解得y02，故y0的取值范圍是(2，)二、拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)例3、設(shè)點A(x1，y1)，其中y10.由點B作拋物線的準線的垂線，垂足為B1.則有 |BF|BB1|；又|CB|2|FB|，因此有|CB|2|BB1|，cosCBB1，CBB1.即直線AB與x軸的夾角為.又|AF|AK|x14，因此y14sin2，因此AKF的面積等于|AK|y1424.例4分別過點A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分別為A1、B1，由已知條件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|，BCB130，又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，F(xiàn)為線段AC的中點故點F到準線的距離為p|AA1|，故拋物線的方程為y23x.三、拋物線的綜合問題例5、(1)直線AB的方程是y2(x)，與y22px聯(lián)立，從而有4x25pxp20，所以：x1x2，由拋物線定義得：|AB|x1x2p9，所以p4，從而拋物線方程是y28x.(2)由p4,4x25pxp20可簡化為x25x40，從而x11，x24，y12，y24，從而A(1，2)，B(4,4)；設(shè) (x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)又y8x3，即2(21)28(41)即(21)241.解得0，或2.例6、 (1)設(shè)動點P的坐標為(x，y)，由題意有|x|1.化簡得y22x2|x|.當x0時，y24x；當x0時，y0.所以，動點P的軌跡C的方程為y24x(x0)和y0(x0)的準線為x，由拋物線定義和已知條件可知|MF|1()12，解得p2, 故所求拋物線C的方程為y24x.(2)聯(lián)立消去x并化簡整理得y28y8b0.依題意應(yīng)有6432b0，解得b2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y28，y1y28b，設(shè)圓心Q(x0，y0)，則應(yīng)用x0，y04.因為以AB為直徑的圓與x軸相切，所以圓的半徑為r|y0|4.又|AB|所以|AB|2r8，解得b.所以x1x22b2y12b2y24b16，則圓心Q的坐標為(，4)故所求圓的方程為(x)2(y4)216.練習(xí)題1已知拋物線x2ay的焦點恰好為雙曲線y2x22的上焦點，則a等于 ()A1B4 C8 D162拋物線y4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是 ()A B C. D.3(2011遼寧高考)已知F是拋物線y2x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|BF|3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為 () A. B1 C. D.4已知拋物線y22px，以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關(guān)系是 ()A相離 B相交 C相切 D不確定5(2012宜賓檢測)已知F為拋物線y28x的焦點，過F且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，則|FA|FB|的值等于 () A4 B8C 8 D166在y2x2上有一點P，它到A(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點P的坐標是 ()A(2,1) B(1,2) C(2,1) D(1,2) 7設(shè)拋物線y28x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF| ()A4 B8 C8 D168(2011陜西高考)設(shè)拋物線的頂點在原點，準線方程為x2，則拋物線的方程是 ( ) Ay28x By28x Cy24x Dy24x9(2012永州模擬)以拋物線x216y的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程為_10已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，拋物線上一點Q(3，m)到焦點的距離是5，則拋物線的方程為_11已知拋物線y24x與直線2xy40相交于A、B兩點，拋物線的焦點為F，那么| | | | _.12過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2， y2)兩點，若x1x26，那么 |AB|等于_13根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程：(1)拋物線的焦點是雙曲線 16x29y2144的左頂點；(2)過點P(2，4)14已知點A(1,0)，B(1，1)，拋物線C：y24x，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M，P兩點，直線MB交拋物線C于另一點Q.若向量與的夾角為，求POM的面積練習(xí)題：1解析：根據(jù)拋物線方程可得其焦點坐標為(0，)，雙曲線的上焦點為(0,2)，依題意則有2解得a8.2解析：拋物線方程可化為x2，其準線方程為y.設(shè)M(x0，y0)，則由拋物線的定義，可知y01y0.3解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點到y(tǒng)軸的距離為：(|AF|BF|).4解析：設(shè)拋物線焦點弦為AB，中點為M，準線l，A1、B1分別為A、B在直線l上的射影，則|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是M到l的距離d(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)|AB|半徑，故相切5解析：依題意F(2,0)，所以直線方程為yx2由，消去y得x212x40.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|8.6解析：如圖所示，直線l為拋物線y2x2的準線，F(xiàn)為其焦點，PNl，AN1l，由拋物線的定義知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，當且僅當A、P、N三點共線時取等號P點的橫坐標與A點的橫坐標相同即為1，則可排除A、C、D.答案：B7解析：設(shè)拋物線y28x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF| ()A4 B8C8 D168解析：由準線方程x2，可知拋物線為焦點在x軸正 ，半軸上的標準方程，同時得p4，所以標準方程為 y22px8x9解析：拋物線的焦點為F(0,4)，準線為y4，則圓心為(0,4)，半徑r8. 所以，圓的方程為x2(y4)264.10解析：設(shè)拋物線方程為x2ay(a0)，則準線為y.Q(3，m)在拋物線上，9am.而點Q到焦點的距離等于點Q到準線的距離，|m()|5.將m代入，得|5，解得，a2，或a18，所求拋物線的方程為x22y，或x218y.11解析：由，消去y，得x25x40(*)，方程(*)的兩根為A、B兩點的橫坐標，故x1x25，因為拋物線y24x的焦點為F(1,0)，所以| | | | (x11)(x21)712解析：因線段AB過焦點F，則|AB|AF|BF|.又由拋物線的定義