高等數(shù)學(下冊)D105對坐標曲面積分.ppt

第五節(jié) 一 有向曲面及曲面元素的投影 二 對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì) 三 對坐標的曲面積分的計算法 四 兩類曲面積分的聯(lián)系 機動目錄上頁下頁返回結束 對坐標的曲面積分 第十章 一 有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類 雙側曲面 單側曲面 莫比烏斯帶 曲面分上側和下側 曲面分內(nèi)側和外側 曲面分左側和右側 單側曲面的典型 機動目錄上頁下頁返回結束 其方向用法向量指向 方向余弦 0為前側 0為后側 封閉曲面 0為右側 0為左側 0為上側 0為下側 外側內(nèi)側 設 為有向曲面 側的規(guī)定 指定了側的曲面叫有向曲面 表示 其面元 在xoy面上的投影記為 的面積為 則規(guī)定 類似可規(guī)定 機動目錄上頁下頁返回結束 二 對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì) 1 引例設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為 求單位時間流過有向曲面 的流量 分析 若 是面積為S的平面 則流量 法向量 流速為常向量 機動目錄上頁下頁返回結束 對一般的有向曲面 用 大化小 常代變 近似和 取極限 對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的 速度場 進行分析可得 則 機動目錄上頁下頁返回結束 設 為光滑的有向曲面 在 上定義了一個 意分割和在局部面元上任意取點 分 記作 P Q R叫做被積函數(shù) 叫做積分曲面 或第二類曲面積分 下列極限都存在 向量場 若對 的任 2 定義 機動目錄上頁下頁返回結束 引例中 流過有向曲面 的流體的流量為 稱為Q在有向曲面 上對z x的曲面積分 稱為R在有向曲面 上對x y的曲面積分 稱為P在有向曲面 上對y z的曲面積分 若記 正側的單位法向量為 令 則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式 機動目錄上頁下頁返回結束 3 性質(zhì) 1 若 之間無公共內(nèi)點 則 2 用 表示 的反向曲面 則 機動目錄上頁下頁返回結束 三 對坐標的曲面積分的計算法 定理 設光滑曲面 取上側 是 上的連續(xù)函數(shù) 則 證 取上側 機動目錄上頁下頁返回結束 若 則有 若 則有 前正后負 右正左負 說明 如果積分曲面 取下側 則 機動目錄上頁下頁返回結束 例1 計算 其中 是以原點為中心 邊長為a的正立方 體的整個表面的外側 解 利用對稱性 原式 的頂部 取上側 的底部 取下側 機動目錄上頁下頁返回結束 解 把 分為上下兩部分 思考 下述解法是否正確 例2 計算曲面積分 其中 為球面 外側在第一和第八卦限部分 機動目錄上頁下頁返回結束 機動目錄上頁下頁返回結束 例3 設S是球面 的外側 計算 解 利用輪換對稱性 有 機動目錄上頁下頁返回結束 四 兩類曲面積分的聯(lián)系 曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫 機動目錄上頁下頁返回結束 令 向量形式 機動目錄上頁下頁返回結束 例4 位于原點電量為q的點電荷產(chǎn)生的電場為 解 機動目錄上頁下頁返回結束 例5 設 是其外法線與z軸正向 夾成的銳角 計算 解 機動目錄上頁下頁返回結束 例6 計算曲面積分 其中 解 利用兩類曲面積分的聯(lián)系 有 原式 旋轉拋物面 介于平面z 0 及z 2之間部分的下側 機動目錄上頁下頁返回結束 原式 機動目錄上頁下頁返回結束 內(nèi)容小結 定義 1 兩類曲面積分及其聯(lián)系 機動目錄上頁下頁返回結束 性質(zhì) 聯(lián)系 思考 的方向有關 上述聯(lián)系公式是否矛盾 兩類曲線積分的定義一個與 的方向無關 一個與 機動目錄上頁下頁返回結束 2 常用計算公式及方法 面積分 第一類 對面積 第二類 對坐標 二重積分 1 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程 方程不同時分片積分 2 積分元素投影 第一類 面積投影 第二類 有向投影 4 確定積分域 把曲面積分域投影到相關坐標面 注 二重積分是第一類曲面積分的特殊情況 轉化 機動目錄上頁下頁返回結束 當 時 上側取 下側取 類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉化公式 機動目錄上頁下頁返回結束 思考與練習 1 P167題2 提示 設 則 取上側時 取下側時 2 P184題1 3 P167題3 3 機動目錄上頁下頁返回結束 是平面 在第四卦限部分的上側 計算 提示 求出 的法方向余弦 轉化成第一類曲面積分 P167題3 3