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文檔簡介

1 第五章相似矩陣與二次型 第二節(jié)相似矩陣 2 一 相似矩陣的定義 定義1 設(shè)A B都是n階方陣 若存在可逆陣 使得 則稱B是A的相似矩陣 又由于 則也稱A是B的相似矩陣 對A作運算 稱為對A作進行相似變換 可逆矩陣P 稱為把A變成B的相似變換矩陣 或者稱A與B相似 或者稱B與A相似 3 二 相似矩陣的性質(zhì) 證明 定理1 若n階矩陣A與B相似 則A與B的特征多項式相同 從而A與B的特征值亦相同 證畢 4 推論 也是方陣A的n個特征值 證明 也是方陣A的n個特征值 證畢 5 利用對角矩陣計算矩陣多項式 6 利用上述結(jié)論可以很方便地計算矩陣A的多項式 7 證明 三 方陣的對角化 定義3 對于方陣A 則稱方陣A可對角化 定理2 n階方陣A與對角陣相似 即A能對角化 A有n個線性無關(guān)的特征向量 n階方陣A與對角陣相似 即A能對角化 可逆P 可逆P 可逆P 8 可逆P 可逆P 是方陣A特征值 由于P可逆 推論 如果n階矩陣A的n個特征值互不相等 則A與對角陣相似 說明 如果的特征方程有重根 此時不一定有個線性無關(guān)的特征向量 從而矩陣不一定能對角化 但如果能找到個線性無關(guān)的特征向量 還是能對角化 證畢 9 解 1 當 時 對應(yīng)方程組 的基礎(chǔ)解系為 2 當 時 對應(yīng)方程組 的基礎(chǔ)解系為 10 所以可對角化 注 即矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng) 11 第五章相似矩陣與二次型 第三節(jié)對稱矩陣的相似矩陣 12 定理1對稱矩陣的特征值為實數(shù) 證明 說明 本節(jié)所提到的對稱矩陣 除非特別說明 均指實對稱矩陣 一 對稱矩陣的性質(zhì) 和 13 設(shè) 則 又 至少 或者 為實數(shù) 14 證明 A為對稱陣 15 證明 它們的重數(shù)依次為 根據(jù)定理1 對稱矩陣的特征值為實數(shù) 和定理3 如上 可得 設(shè)的互不相等的特征值為 16 由定理2知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交 這樣的特征向量共可得個 故這個單位特征向量兩兩正交 以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣 則 17 根據(jù)上述結(jié)論 利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣 其具體步驟為 2 1 二 利用正交矩陣將對稱矩陣對角化 18 解 例對下列各實對稱矩陣 分別求出正交矩陣 使為對角陣 1 第一步求的特征值 19 解之得基礎(chǔ)解系 解之得基礎(chǔ)解系 20 解之得基礎(chǔ)解系 第三步將特征向量正交化 第四步將特征向量單位化 21 22 23 24 于是得正交陣 25 練習題 解 因為0 2是對稱矩陣A的兩個不同的特征值

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