“二倍角的正弦、余弦、正切”教學設計.doc

“二倍角的正弦、余弦、正切”教學設計王金城葉志良設計理念：根據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展理論，在個體從出生到成熟的發(fā)展過程中，智力發(fā)展可以分為具有不同的質的四個主要階段：激活原有認知結構、構建新的認知結構、嘗試新的認知結構、發(fā)展新的認知結構。發(fā)展的各個階段順序是一致的，前一階段總是達到后一階段的前提。階段的發(fā)展不是間斷性的跳躍，而是逐漸、持續(xù)的變化。皮亞杰的認知發(fā)展階段論為發(fā)展性輔導中學生智力發(fā)展水平的評估和診斷，提供了重要的理論依據(jù)。教學內容：普通高中課程標準實驗教科書（數(shù)學）必修4（人教A版），第三章、第一節(jié)、第145148頁。 “二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎上研究具有“二倍角”關系的正弦、余弦、正切公式，它既是兩角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又為以后求三角函數(shù)值、化簡和證明提供了非常有用的理論工具，通過對二倍角公式的推導知道：二倍角公式的內涵是“揭示具有倍數(shù)關系的兩個角的三角函數(shù)的運算規(guī)律”，通過推導還讓學生了解高中數(shù)學中由“一般”到“特殊”的化歸數(shù)學思想，因此這節(jié)課也是培養(yǎng)學生運算和邏輯推理能力的重要內容，對培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力都有重要意義。 教學目標：根據(jù)新課程標準的要求、本節(jié)教材的特點和學生對三角函數(shù)的認知特點，我們把本節(jié)課的教學目標確定為：1、能從兩角和的正弦、余弦、正切公式出發(fā)推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它們的內在聯(lián)系，從中體會數(shù)學的化歸思想和數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程。 2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通過對二倍角公式的正用、逆用、變形使用，提高三角變形的能力，以及應用轉化、化歸、換元等數(shù)學思想方法解決問題的能力。 3、通過一題多解、一題多變，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維、創(chuàng)新意識和數(shù)學情感，提高數(shù)學素養(yǎng)。學情分析：我們的學生從認知角度上看，已經(jīng)比較熟練的掌握了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎上。從學習情感方面看，大部分學生愿意主動學習。從能力上看，學生主動學習能力、探究的能力、較弱。教材分析：對公式的引入改變了教材中直接填結果的做法，而是通過提出問題，設置情景對和角公式中的角、的關系特殊情形時的簡化，讓學生探討發(fā)現(xiàn)、推證得出二倍角公式，這樣學生會感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函數(shù)與二倍角公式的聯(lián)系，同時讓學生學會怎樣發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，并體會到化歸（這里是將一般化歸到特殊）這一基本數(shù)學思想在發(fā)現(xiàn)中所起的作用，對教材的例題則有所增減，處理方式也有適當改變。教學重點、難點重點：使學生在掌握了和角、差角公式后如何將和角公式化為二倍角公式，以及公式的兩種變形和公式成立的條件；如何學會去發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，并體會化歸、轉化等基本數(shù)學思想在發(fā)現(xiàn)中所起的作用，能正確應用這些公式進行三角化簡、求值、證明等。難點：靈活應用二倍角公式變形的態(tài)式，熟練解三角綜合題。教學過程 一、復習啟發(fā)、設置情景、引出正題1、（復習性提問）：請同學回顧兩角和的公式 （學生回答，教師板書）2、（探索性提問）當上述公式中角、具有特殊化關系時，公式變?yōu)槭裁葱问剑空堃幻麑W生到黑板上演示簡化，其他同學在座位上做。學生板書：3、集體訂正后，引導學生觀察其結構，并指名回答觀察結果（學生回答：左邊角均為，右邊角均為，具有“二倍”關系）4、引入正題 師：肯定學生觀察結論準確，并加以說明公式中蘊含著“對稱”、“和諧”之美教師板書（放幻燈片）二倍角公式簡記為即為我們今天要學習的二倍角公式 【設計意圖：復習已學公式，對其特殊化。讓學生學會從“一般”到“特殊”的化歸方法，從而達到“溫故知新”的教學目的】 二、引導探究、深化認識1、回憶推導過程，讓學生明確二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之間的聯(lián)系2、（探索性提問）對：中的平方聯(lián)想到，有無其他變式？（學生探索、總結得出兩種變式：）3、（深化性提問）：有了這組二倍角公式，我們是否可以放心大膽的應用呢？（學生：不能，要注意公式成立的條件）引導學生聯(lián)想和角公式的條件，利用類比的方法，探索出二倍角公式的條件指出：尤其注意成立的條件【設計意圖：引導學生應用聯(lián)想、類比的教學思想、得出公式成立的條件】4、（探索性提問）在中，當左邊的時，雖然右邊的不存在，但左邊的存在，能否用求？該怎樣求？ 引導學生：改用誘導公式：【設計意圖：引導學生對特殊情形，另辟蹊徑，尋找求解依據(jù)，培養(yǎng)學生細致、靈活的探索習慣】5、二倍角公式中的倍數(shù)關系是相對的，為深化對二倍角公式的理解，出示一組填空題（放幻燈片）（1）填角（2）（填號）一般情況下：【設計意圖：通過填空，讓學生靈活理解“二倍角”的含義，根據(jù)學生易混點，類比公式，展開訓練，達到“跨越障礙、突破難點”之目的】三、鞏固公式，學習應用出示四道例題，學生分組訓練，每組一題，做完后組內交流，訂正答案，最后教師引導學生小結方法、技巧、要點、解題規(guī)范等。放幻燈片（第一組學生做）例1、不查表,求下列函數(shù)值【設計意圖：通過直接應用公式、間接應用公式、一題多解,鞏固二倍角公式】(第二組學生做)例2、已知，求的值。講評：此題目中對角有范圍限制,做題中應注意什么?僅知道值,欲求二倍角正弦、余弦、正切,先需要知道什么? 在求值時,要靈活應用三種等價形式,并注意在求解過程中要盡量使用已知的原始數(shù)據(jù),減少錯誤的可能性【設計意圖：由淺入深,鞏固公式,培養(yǎng)學生規(guī)范、科學解題的能力,教給學生小結解題經(jīng)驗,做后反思】(第三組學生做)例3、證明 講評：證法1：等價證： 證法2：等價證： 證法3：巧妙應用“1”，即用“”代換，后略。【設計意圖：讓學生學會等價證明、轉化證題及一題多證，以培養(yǎng)學生數(shù)學思維的靈活性、散發(fā)性及創(chuàng)造性思維，加深鞏固二倍角公式和綜合應用已學過的技巧證題】(第四組學生做)例4、利用三角公式化簡講評：此題技巧是：先將“切化弦”，然后用已學過的知識和二倍角公式化簡【設計意圖：復習應用所學知識解簡單三角綜合問題，培養(yǎng)學生綜合解題應用能力】四、提煉總結放幻燈片（1）在兩角和的三角函數(shù)公式中，當時，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式。說明：后者是前者的特例。（2）中角沒有條件限制，而中，只有時才成立。（3）二倍角公式不僅限于是的二倍形式，其他如是的二倍，是的二倍，是的二倍等等都適用，要熟悉這些多形式的兩個角的倍數(shù)關系，才能熟練地應用好二倍角公式，這是靈活應用公式的關鍵。有三種形式：。要依據(jù)條件靈活應用公式，另外逆用此公式時更要注重結構形式?！驹O計意圖：使學生對本節(jié)課所學知識的結構有一個清晰的認識，抓住重點、難點，關鍵進行課后復習鞏固】五、作業(yè)布置：必做：教科書P150習題3.1A組14、15【設計意圖：培養(yǎng)學生自覺學習的習慣，檢查學習效果，及時反饋，插漏補缺】選做：（1）用、表示、（即推導三倍角公式）（2）已知：?！驹O計意圖：對學有余力的學生留出自我發(fā)展的空間，嘗試能力，拓展創(chuàng)新】設計思路：1、本節(jié)公式比較多，首先要搞清楚各公式之間的內在聯(lián)系，也就是要很好地理解上面的知識結構圖，其次理解如何由和角公式推導倍角公式，然后明確倍角的含義，熟練地運用倍角公式進行求值、化簡等三角運算及恒等變形。2、在三角式的運算及恒等變形過程中，除了倍角公式外，也離不開前面所學的同角三角函數(shù)關系、誘導公式以及和角公式等，它們是一個有機整體。在解題過程中