威遠(yuǎn)中學(xué)2017_2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中習(xí)題理（含解析）.docx

威遠(yuǎn)中學(xué)2019屆 高二下學(xué)期半期考試試題 理科數(shù)學(xué)選擇題：本大題共有12小題，每小題5分，共60分；在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的。1. “雙曲線的漸近線互相垂直”是“雙曲線離心率”的（ ）A. 充要條件 B. 充分不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要件【答案】A【解析】雙曲線漸近線斜率的絕對值相等,相互垂直時,為等軸雙曲線,離心率為,所以為充要條件.故選.2. “且”是“方程表示雙曲線”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若方程表示雙曲線，則，解得則當(dāng)時推出“且” 是“方程表示雙曲線”反之則推不出故“且” 是“方程表示雙曲線”的必要不充分條件故選3. 已知點是橢圓 的一個焦點,且橢圓經(jīng)過點那么A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】A.橢圓經(jīng)過點由得，即.故選A.4. 已知橢圓： ，若長軸長為6，且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】橢圓長軸為，焦點恰好三等分長軸，所以 橢圓方程為，故選B.5. 已知點P在橢圓上，點F為橢圓的右焦點，的最大值與最小值的比為2,則這個橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】的最大值是，的最小值是，所以 ，即，故選B.6. 已知橢圓的兩個焦點是，點在橢圓上，若，則的面積是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，可得，是直角三角形，的面積，故選D.7. 點A到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點A到圖形C的距離已知點A（1，0），圓C：x2+2x+y2=0，那么平面內(nèi)到圓C的距離與到點A的距離之差為1的點的軌跡是（）A. 雙曲線的一支 B. 橢圓 C. 拋物線 D. 射線【答案】D【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖所示，設(shè)圓心坐標(biāo)為，滿足題意的點為點，由題意有：，則，設(shè)，結(jié)合幾何關(guān)系可知滿足題意的軌跡為射線.本題選擇D選項.8. 設(shè)拋物線上一點P到此拋物線準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（ ）A. 3 B. C. D. 4【答案】A【解析】分析：利用拋物線的定義，將d1+d2的最小值轉(zhuǎn)化為點到直線的距離即可求得結(jié)論詳解：點P到準(zhǔn)線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線3x+4y+12=0的垂線，則點到直線的距離為d1+d2最小值，F(xiàn)（1，0），直線3x+4y+12=0故選A.點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，點到直線距離公式的應(yīng)用，將d1+d2的最小值轉(zhuǎn)化為點到直線的距離是關(guān)鍵9. 已知為拋物線上一個動點， 為圓上一個動點，那么點到點的距離與點到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知得，設(shè)圓心為，因為圓，拋物線上一動點，為拋物線的焦點的最短距離為，則當(dāng)?shù)闹本€經(jīng)過點時，最小，則，故選A.【方法點晴】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單性質(zhì)及利用拋物線的定義求最值，屬于難題.與拋物線的定義有關(guān)的最值問題常常實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉(zhuǎn)化：(1)將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“點與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.本題是將到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，再根據(jù)幾何意義解題的.10. 已知橢圓內(nèi)有一點是其左、右焦點， 為橢圓上的動點，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取得最小值，故選A.11. 過拋物線的焦點的直線，與該拋物線及其準(zhǔn)線從上向下依次交于， ， 三點，若，且，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】設(shè)在準(zhǔn)線上的射影分別為，如圖，設(shè)，則，又，所以，解得，又，所以，所以，拋物線方程為12. 設(shè)為雙曲線上一點， 分別為雙曲線的左、右焦點， ，若的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. 2或3 D. 或【答案】D【解析】分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線的右支，的內(nèi)切圓半徑為.設(shè)，則.，即，即的外接圓半徑為.的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，即.或故選D.點睛：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)求解雙曲線的離心率問題的關(guān)鍵是利用圖形中的幾何條件構(gòu)造的關(guān)系,處理方法與橢圓相同,但需要注意雙曲線中與橢圓中的關(guān)系不同求雙曲線離心率的值或離心率取值范圍的兩種方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齊次關(guān)系式,將用表示,令兩邊同除以或化為的關(guān)系式,解方程或者不等式求值或取值范圍二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。13. 若命題“任意實數(shù)，使”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】分析：開口向上的二次函數(shù)恒大于等于零，只需即可.詳解：由題可得：任意實數(shù)，使為真命題，故即：，故答案為點睛：考查二次函數(shù)的圖像，屬于基礎(chǔ)題.14. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(0， )且斜率為k的直線l與橢圓有兩個不同的交點，則k的取值范圍為_.【答案】【解析】設(shè)直線的方程為：，即，與橢圓方程聯(lián)立可得：，即：，直線與橢圓有兩個不同的交點，則：，求解關(guān)于實數(shù)的方程可得k的取值范圍為.15. 已知橢圓的左、右焦點分別為、，且，點在橢圓上，則橢圓的離心率等于_【答案】【解析】分析：本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積運算及橢圓的簡單性質(zhì)由，我們將兩式相減后得到AF1的長度，再根據(jù)橢圓的定義，即可找到a與c之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求出離心率e詳解：,即A點的橫坐標(biāo)與左焦點相同又A在橢圓上，又，故答案為點睛：求橢圓的離心率，即是在找a與c之間的關(guān)系，我們只要根據(jù)已知中的其它條件，構(gòu)造方程（組），或者進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于e的方程，解方程（組），易得e值16. 已知橢圓： 的右焦點為，過點的兩條互相垂直的直線， ， 與橢圓相交于點，與橢圓相交于點，則下列敘述正確的是_ 存在直線, 使得值為7 存在直線. 使得為 弦長存在最大值，且最大值為4 弦長不存在最小值【答案】【解析】分析：根據(jù)橢圓的圖形和基本性質(zhì)可逐一分析結(jié)論進(jìn)行判斷.詳解： 存在直線, 使得值為7，當(dāng)一條直線斜率為0，一條直線斜率不存在時，此時=7，故正確，所以錯誤，弦長存在最大值，且最大值為4，橢圓中過焦點的最大弦長即為橢圓的長軸，而此題的長軸為4故正確，弦長不存在最小值，錯誤，因為過焦點的弦長存在最小值，當(dāng)直線過焦點且與x軸垂直時此時弦長最小為：，故選點睛：考查直線和橢圓的位置關(guān)系，對橢圓的基本性質(zhì)和常用結(jié)論的了解是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題,共70分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17. 已知，若p 是q 的充分不必要條件，求a的取值范圍.【答案】 【解析】分析：分別化簡：p：x2-4x-50，解得-1x5q：|x-3|a（a0），可得3-ax3+a若p是q的充分不必要條件，則即可.詳解：設(shè) ， ，因為 是 的充分不必要條件，從而有 并 .故 ，解得點睛：本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的有關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題18. 設(shè)命題p:方程有兩個不相等的負(fù)根，命題q: 恒成立.（1）若命題p,q均為真命題，求的取值范圍；（2）若命題為假，命題為真，求的取值范圍.【答案】(1) (2) 試題解析：（1）若命題為真，則有，解得若命題為真，則有，解得若均為真命題，則，即.即的取值范圍是.（2）若命題為假，命題為真，則一真一假.當(dāng)真假，則，解得；當(dāng)假真，則，解得；所以的取值范圍為.19. 已知標(biāo)準(zhǔn)方程下的橢圓的焦點在軸上，且經(jīng)過點，它的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合橢圓的上頂點為，過點的直線交橢圓于兩點，連接、，記直線的斜率分別為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的值.【答案】(1) ；（2） .【解析】試題分析：(1)由拋物線的焦點為，得到橢圓的兩個焦點坐標(biāo)為 ，再根據(jù)橢圓的定義得到 ，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)由題意，設(shè)直線的方程為，并代入橢圓方程，求得，化簡運算，即可求得的值.試題解析：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，拋物線的焦點為，所以該橢圓的兩個焦點坐標(biāo)為 ，根據(jù)橢圓的定義有 ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；(2)由條件知，直線的斜率存在設(shè)直線的方程為，并代入橢圓方程，得，且，設(shè)點，由根與系數(shù)的韋達(dá)定理得， 則，即為定值 點睛：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,解答此類題目，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.20. 已知點p(1,m)在拋物線上，F(xiàn)為焦點，且.（1）求拋物線C的方程；（2）過點T(4,0)的直線交拋物線C于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點，求的值.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析:（1）首先，確定參數(shù)P，然后，求解其方程；（2）首先，對直線的斜率分為不存在和存在進(jìn)行討論，然后，確定的取值情況解：（1）拋物線C：y2=2px（p0），焦點F（，0）由拋物線定義得：|PF|=1+=3，解得p=3，拋物線C的方程為y2=8x（2）（i）當(dāng)l的斜率不存在時，此時直線方程為：x=4，A（4，4），B（4，4），則當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)y=k（x4），k0，由，可得k2x2（8k2+8）x+16k2=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=16，y1y2=k2（x14）（x24）=k2x1x24（x1+x2）+16=k216+16=32，=x1x2+y1y2=1632=16考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程21. 已知雙曲線（ba0），O為坐標(biāo)原點，離心率，點在雙曲線上. （1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于P、Q兩點，且.求|OP|2+|OQ|2的最小值.【答案】（1）（2）24【解析】試題分析：() 由，可得，故雙曲線方程為，代入點的坐標(biāo)可得，由此可得雙曲線方程 ()根據(jù)直線的斜率存在與否分兩種情況求解當(dāng)斜率存在時，可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及兩點間的距離公式求解即可當(dāng)斜率不存在時直接計算可得結(jié)果試題解析：（1）由，可得， 雙曲線方程為， 點在雙曲線上，解得 ， 雙曲線的方程為 （2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由消去y整理得，直線與雙曲線交于兩點，設(shè)，則，由得到：，即， 化簡得，當(dāng)時上式取等號，且方程（*）有解當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，則有，由可得，可得，解得. 綜上可得的最小值是24點睛：在圓錐曲線問題中直線方程的兩種設(shè)法（1）將直線方程設(shè)為，此時要注意判斷直線的斜率是否存在，只有當(dāng)直線斜率存在時才能將直線方程設(shè)為此種形式（2）將直線方程設(shè)為，此時不需要討論直線的斜率是否存在，但要注意這種形式的方程不能表示與x軸平行的直線22. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓： 的離心率是，且直線： 被橢圓截得的弦長為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與圓： 相切：（i）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ii）若直線過定點，與橢圓交于不同的兩點、，與圓交于不同的兩點、，求的取值范圍【答案】（I）；（II）（i）;（ii）.【解析】試題分析：（）由直線過定點，可得到，再結(jié)合，即可求出橢圓的方程；（）（i）利用圓的幾何性質(zhì)，求出圓心到直線的距離等于半徑，即可求出的值，即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ii）首先設(shè)直線的方程為，利用韋達(dá)定理即可求出弦長的表達(dá)式，同理利用圓的幾何關(guān)系可求出弦長的表達(dá)式，即可得到的表達(dá)式，再用換元法，即可求出的取值范圍.試題解析：解：（）由已知得直線過定點，又，解得，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）（