第5章 振動和波動習題解答.doc

第5章 振動和波動5-1 一個彈簧振子，振幅，求(1) 振動的角頻率、最大速度和最大加速度；(2) 振子對平衡位置的位移為x = 0.02m時的瞬時速度、加速度和回復力；(3) 以速度具有正的最大值的時刻為計時起點，寫出振動方程。解：（1）(2) 設，則 當x=0.02m時，所以(3) 作旋轉矢量圖，可知： 5-2 彈簧振子的運動方程為，寫出此簡諧振動的振幅、角頻率、頻率、周期和初相。解： 5-3 證明：如圖所示的振動系統(tǒng)的振動頻率為式中分別為兩個彈簧的勁度系數(shù)，m為物體的質量。習題5-3 圖解： 以平衡位置為坐標原點，水平向右為x軸正方向。設物體處在平衡位置時，彈簧1的伸長量為,彈簧2的伸長量為，則應有當物體運動到平衡位置的位移為x處時，彈簧1的伸長量就為，彈簧2的伸長量就為，所以物體所受的合外力為由牛頓第二定律得 即有 上式表明此振動系統(tǒng)的振動為簡諧振動，且振動的圓頻率為振動的頻率為 5-4 如圖所示，U形管直徑為d，管內水銀質量為m，密度為，現(xiàn)使水銀面作無阻尼自由振動，求振動周期。 習題5-4 圖解：以平衡時右液面位置為坐標原點，向上為x軸正方向，建立坐標系。右液面偏離原點為至x時，振動系統(tǒng)所受回復力為：振動角頻率 振動周期 5-5 如圖所示，定滑輪半徑為R，轉動慣量為J，輕彈簧勁度系數(shù)為k，物體質量為m，現(xiàn)將物體從平衡位置拉下一微小距離后放手，不計一切摩擦和空氣阻力。試證明該系統(tǒng)作簡諧振動，并求其作微小振動的周期。解：彈簧、滑輪、物體和地球組成的系統(tǒng)不受外力作用，非保守內力作功之和為零，系統(tǒng)機械能守恒，以物體的平衡位置為坐標原點向下為x軸正方向，建立坐標系。設平衡時彈簧伸長，有： （1）物體位于x位置時（以原點為重力勢能零點）：對上式兩邊求導：從上式消去v，且將（1）式代入，得到說明系統(tǒng)作簡諧振動。振動周期為：5-6 如圖所示，輕彈簧的勁度系數(shù)為k，定滑輪的半徑為R、轉動慣量為J，物體質量為m，將物體托起后突然放手，整個系統(tǒng)將進入振動狀態(tài)，用能量法求其固有周期。習題5-6 圖解：設任意時刻t，物體m離平衡位置的位移為x，速率為v，則振動系統(tǒng)的總機械能式中C為滑輪的重力勢能，為一常量，上式兩邊對t求導得于是 5-7 如圖所示，質量為10g的子彈，以速度射入木塊并嵌在木塊中，使彈簧壓縮從而作簡諧運動，若木塊質量為4.99kg，彈簧的勁度系數(shù)為，求振動的振幅。（設子彈射入木塊這一過程極短）解：先討論子彈與木塊的碰撞過程，在碰撞過程中，子彈與木塊組成的系統(tǒng)的動量守恒，設碰撞后子彈與木塊共同以速度v運動，則有然后系統(tǒng)做簡諧振動，因為簡諧振動過程中機械能守恒，所以振幅A可由初始時刻系統(tǒng)的機械能確定，已知初始時刻系統(tǒng)的勢能為零，所以有5-8 如圖所示，在一個傾角為的光滑斜面上，固定一個原長為、勁度系數(shù)為k、質量可以忽略不計的彈簧，在彈簧下端掛一個質量為m的重物，求重物作簡諧運動的平衡位置和周期。解： 設物體處在平衡位置時彈簧伸長量為,則平衡位置距點為：以平衡位置為坐標原點，如圖建立坐標軸Ox，當物體運動到離開平衡位置的位移為x處時，彈簧的伸長量就是,所以物體所受的合外力為物體受力與位移成正比而反向，即可知物體做簡諧振動國，此簡諧振動的周期為5-9 兩質點分別作簡諧振動，其頻率、振幅均相等，振動方向平行。在每次振動過程中，它們在經(jīng)過振幅的一半的地方時相遇，而運動方向相反。求它們相差，并用旋轉矢量圖表示出來。解：根據(jù)題意，兩質點分別在和處相向通過，由此可以畫出相應的旋轉矢量圖，從旋轉矢量圖可得兩個簡諧振動的相位差為。 習題5-9圖5-10 一簡諧振動的振幅A = 24c、周期T = 3s，以振子位移x = 12cm、并向負方向運動時為計時起點，作出振動位移與時間的關系曲線，并求出振子運動到x = -12c處所需的最短時間。習題 5-10圖 解：依題意可得，又由旋轉矢量法可知所以振動方程為：質點運動到x = -12c處最小相位變化為，所以需要最短時間為5-11 如圖所示，一輕彈簧下端掛著兩個質量均為m = 1.0kg的物體B和C，此時彈簧伸長2.0c并保持靜止。用剪刀斷連接B和C的細線，使C自由下落，于是B就振動起來。選B開始運動時為計時起點，B的平衡位置為坐標原點，在下列情況下，求B的振動方程(1)x軸正向向上；(2)x軸正向向下。 習題5-11 圖 解：已知m=1kg,可得當以B的平衡位置為坐標原點，振動振幅為由題意知，振動初速度(1)x軸正向向上時：振動方程為(2)x軸正向向下 時：振動方程為 5-12 勁度系數(shù)為k的輕彈簧，上端與質量為m的平板相聯(lián)，下端與地面相聯(lián)。如圖所示，今有一質量也為m的物體由平板上方h高處自由落下，并與平板發(fā)生完全非彈性碰撞。以平板開始運動時刻為計時起點，向下為正，求振動周期、振幅和初相。 習題5-12 圖 解：物體下落與平板碰撞前速度： 所以物體與平板碰撞后共同運動的速度：以平衡位置為坐標原點，向下為x軸正方向，建立坐標系。依題意：在x處，物體和平板受力：則：見旋轉矢量圖，有： 5-13 在一平板上放一重9.8N的物體，平板在豎直方向作簡諧振動，周期T =0.50s，振幅A =0.020m，試求(1)重物對平板的壓力F；(2)平板以多大振幅運動時，重物將脫離平板?習題 5-13圖解：以平衡位置為坐標原點，向下為x軸正方向，物體在x處時，(1)重物對平板的壓力（2）當N=0時重物將脫離平板，由，得,習題 5-14圖5-14 一木塊在水平面上作簡諧運動，振幅為5.0c，頻率為，一塊質量為m的較小木塊疊在其上，兩木塊間最大靜摩擦力為0.4g，求振動頻率至少為多大時，上面的木塊將相對于下面木滑動?解：以平衡位置為坐標原點，向右為x軸正方向，建立坐標系，小木塊在x處：在最大位移處，F(xiàn)最大，當時小木塊開始相對于大木塊滑動，由此得：振動頻率至少應略大于1.4Hz時，上面小木塊相對于下面木塊滑動。5-15 一臺擺鐘的等效擺長L = 0.995，擺錘可上下移動以調節(jié)其周期。該鐘每天快1分27秒。假如將此擺當作一個質量集中在擺錘中心的一個單擺來考慮，則應將擺錘向下移動多少距離，才能使鐘走得準確?解：設原擺鐘周期為T，鐘走時準確時，其鐘擺長為，周期為，則而應將擺錘下移2mm。5-16 一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)，當物體以初動能0.2J和初勢能0.6J振動時，求(1) 振幅；(2) 位移是多大時，勢能和動能相等? (3) 位移是振幅的一半時，勢能多大?解：（1）(2) 時，即，得(3)當時， 5-17 一質點同時參與兩個在同一直線上的簡諧振動，兩個振動的振動方程為 求合振動的振幅和初相。解：習題 5-18圖5-18 有兩個同方向、同頻率的簡諧振動，它們合振動的振幅為10cm，合振動與第一個振動的相差為/6，若第一個振動的振幅A1=8.0cm，求（1）第二個振動的振幅A2；（2）第一個振動和第二個振動的相位差。解：依題意，作旋轉矢量圖，可知5-19 已知兩個分振動的振動方程分別為求合振動軌道曲線。解：兩個振動方程消去t得：,所以合振動軌跡是圓。5-20 質量為4536kg的火箭發(fā)射架在發(fā)射火箭時，因向后反沖而具有反沖能量，這能量由發(fā)射架壓縮一個彈簧而被彈簧吸收。為了不讓發(fā)射架在反沖終了后作往復運動，人們使用一個阻尼減震器使發(fā)射架能以臨界阻尼狀態(tài)回復到點火位置去。已知發(fā)射架以10的初速向后反沖并移動了3m。試求反沖彈簧的勁度系數(shù)和阻尼減震器提供臨界阻尼時的阻力系數(shù)。解：已知 m=4536kg，v0=10m/s，A=3m反沖時，反射架動能轉換成彈簧彈性勢能 ，得臨界阻尼時，由有，阻力系數(shù)：5-21 已知地殼平均密度約，地震波的縱波波速約5.5103，地震波的橫波波速約3.5103，計算地殼的楊氏模量與切變模量。解:由得，由得，5-22 已知空氣中的聲速為344，一聲波在空氣中波長是0.671m，當它傳入水中時，波長變?yōu)?.83m，求聲波在水中的傳播速度。解：根據(jù)波在不同介質中傳播時，頻率不變，又因為，得，所以5-23 有一沿x軸正方向傳播的平面簡諧橫波，波速u =1.0，波長 = 0.04，振幅A = 0.03，若從坐標原點O處的質元恰在平衡位置并向y軸負方向運動時開始計時，試求(1) 此平面波的波函數(shù)；(2) x1=0.05處質元的振動方程及該質元的初相位。解：（1）由題知：u=1m/s,所以O處質點的振動方程為：所以，波函數(shù)為:(2)當x1=0.05時，代入波函數(shù)有初相位。5-24 有一沿x軸正向傳播的平面簡諧波，波速為2，原點處質元的振動方程為，試求(1) 此波的波長；(2) 波函數(shù)；(3) 同一質元在1秒末和2秒末這兩個時刻的相位差；(4) xA=1.0m和xB=1.5m處兩質元在同一時刻的相位差。解：由題意可得：A=0.6m,，(1) (2) (3) 同一質點，位置（x坐標）不變(4)同一時刻，t不變即B點比A點落后。5-25 振動頻率為的波源發(fā)出一列平面簡諧波，波速，試求(1) 相位差為的兩點相距多遠；(2) 在某點，時間間隔為的兩個狀態(tài)的相位差是多少？解：(1) (2) 5-26 有一波長為的平面簡諧波，它在a點引起的振動的振動方程為，試分別在如圖所示四種坐標選擇情況下，寫出此簡諧波的波函數(shù)。習題5-26 圖解：（1）（2）（3）(4) 5-27 圖示為t = 0時刻的平面簡諧波的波形，求習題5-27 圖(1) 原點的振動方程；(2) 波函數(shù)；(3) P點的振動方程；(4) a、b兩點的運動方向。 解：（1）原點振動方程：由圖可知，所以所以：(2)波函數(shù)(3) (4) a:向下 b:向上習題5-28 圖5-28 一列平面簡諧波沿x軸正方向傳播，波速為u，波源的振動曲線如圖所示。(1) 畫出t = T時刻的波形曲線，寫出波函數(shù)；(2) 畫出處質元的振動曲線。解：（1）由振動曲線可知，波源振動方程為，設波源在x=0處，則波函數(shù)為當t = T時，(2) 當時, 5-29 已知一平面簡諧波的波函數(shù)，(1)寫出t = 4.2s時各波峰位置的坐標表示式，計算此時離原點最近的一個波峰的位置，該波峰何時通過坐標原點?(2)畫出t = 4.2s時的波形圖。解：（1）t = 4.2s時，波峰位置所對應的質點的位置為：(k為整數(shù))即 (k為整數(shù))則此時離原點最近的波峰位置為x=-0.4m。由于該波向x軸負方向傳播，原點比x=-0.4的點先到達波峰即(2) t = 4.2s時的波形圖（如圖）習題5-30 圖5-30 圖示為時刻沿x軸正方向傳播的平面簡諧波的波形圖，其中振幅A、波長l、波速u均為已知。(1) 求原點處質元的初相位；(2) 寫出P處質元的振動方程；(3) 求P、Q兩點相位差。解：（1）由波形圖可知，在t=0時，o點處的質點向 y 軸負向運動 ，利用旋轉矢量法可得，。（2）原點O處質元的振動表達式可寫為P處質元的振動從時間上比O處質元的振動落后，因此P處質元的振動表達式為得 （3）P、Q兩點相位差為：5-31 一線狀波源發(fā)射柱面波，設介質是不吸收能量的各向同性均勻介質。求波的強度和振幅與離波源距離的關系。解：取兩個長均為l，半徑分別為r1和r2的同軸圓柱面S1和S2，由于介質不吸收能量，所以通過S1的平均能流與通過S2的平均能流相等，即，又因為，所以5-32 設簡諧波在直徑d = 0.10的圓柱形管內的空氣介質中傳播，波的強度I = 1.010-2，波速為u = 250，頻率 = 300Hz，試計算(1) 波的平均能量密度和最大能量密度各是多少?(2) 相距一個波長的兩個波面之間平均含有多少能量?解：（1）(2) 5-33 一個聲源向各個方向均勻地發(fā)射總功率為10W的聲波，求距聲源多遠處，聲強級為100 dB。解：距聲源r處的聲波強度為 聲強級為，式中，即，解得：r=8.92m5-34 設正常談話的聲強，響雷的聲強，它們的聲強級各是多少？解：正常談話的聲強級為雷聲的聲強級為5-35 紙盆半徑R=0.1m的揚聲器，輻射出頻率= 103Hz、功率P = 40W的聲波。設空氣密度 = 1.29，聲速u=344，不計空氣對聲波的吸收，求紙盆的振幅。解：，又因為，所以5-36 P、Q為兩個以同相位、同頻率、同振幅振動的相干波源，它們在同一介質中傳播，設波的頻率為、波長為，P、Q間距離為3/2，R為PQ連線上P、Q兩點外側的任意一點，求（1）自P發(fā)出的波在R點的振動與自Q發(fā)出的波在R點的振動的位相差；（2）R點合振動的振幅。解：（1）R在Q外側時， R在P外側時，(2)P和Q波源在R點引起的振動正好為反相，所以A=0。5-37 一弦的振動方程為，求（1）合成此振動的兩個分振動的振幅及波速為多少？（2）兩個相鄰節(jié)點間的距離為多大？（3）t=2.010-3s時，位于x=5.0cm處的質元的速度為多少？解：（1）弦振動為駐波，該振動方程與駐波的標準表達式相比較，得A=0.01m，=0.16，得l=39.2m， rad/s，所以：兩分振動的振幅都為A=0.01m。(2)兩個相鄰節(jié)點間的距離為。（3）質元的運動速度t=2.010-3s時，位于x=5.0cm處的質元的速度為。習題5-38 圖5-38 如圖所示，一列振幅為A、頻率為平面簡諧波，沿x軸正方向傳播，BC為波密介質的反射面，波在P點反射。已知，在時，O處質元經(jīng)過平衡位置向負方向運動。求入射波與反射波在D點處疊加的合振動方程。解：根據(jù)題意，可確定O處質元振動的初相位為，這樣O處質元的振動方程為