2002-2018考研數(shù)學(xué)一試題及答案解析

2002年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1)=.(2)已知函數(shù)由方程確定,則=.(3)微分方程滿足初始條件的特解是.(4)已知實(shí)二次型經(jīng)正交變換可化成標(biāo)準(zhǔn)型,則=.(5)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且二次方程無實(shí)根的概率為,則.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì):在點(diǎn)處連續(xù);在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);在點(diǎn)處可微;在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在若用“”表示可由性質(zhì)推出性質(zhì),則有(A).(B).(C).(D).(2)設(shè),且,則級(jí)數(shù)(A)發(fā)散.(B)絕對(duì)收斂.(C)條件收斂.(D)收斂性根據(jù)所給條件不能判定.(3)設(shè)函數(shù)在內(nèi)有界且可導(dǎo),則(A)當(dāng)時(shí),必有.(B)當(dāng)存在時(shí),必有.(C)當(dāng)時(shí),必有.(D)當(dāng)存在時(shí),必有.(4)設(shè)有三張不同平面的方程,它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為,則這三張平面可能的位置關(guān)系為(5)設(shè)和是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量,它們的概率密度分別為和,分布函數(shù)分別為和,則(A)必為某一隨機(jī)變量的概率密度.(B)必為某一隨機(jī)變量的概率密度.(C)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).(D)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).三、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,若在時(shí)是比高階的無窮小,試確定的值.四、(本題滿分7分)已知兩曲線與在點(diǎn)處的切線相同,寫出此切線方程,并求極限.五、(本題滿分7分)計(jì)算二重積分,其中.六、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),是上半平面(0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,其起點(diǎn)為(),終點(diǎn)為().記(1)證明曲線積分與路徑無關(guān);(2)當(dāng)時(shí),求的值.七、(本題滿分7分)(1)驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程;(2)利用(1)的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).八、(本題滿分7分)設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為坐標(biāo)面,其底部所占的區(qū)域?yàn)?小山的高度函數(shù)為.(1)設(shè)為區(qū)域上一點(diǎn),問在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?若記此方向?qū)?shù)的最大值為,試寫出的表達(dá)式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng),為此需要在山腳下尋找一上山坡最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).也就是說,要在的邊界線上找出使(1)中達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀登起點(diǎn)的位置.九、(本題滿分6分)已知四階方陣,均為維列向量,其中線性無關(guān),如果,求線性方程組的通解.十、(本題滿分8分)設(shè)為同階方陣,(1)若相似,證明的特征多項(xiàng)式相等.(2)舉一個(gè)二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.(3)當(dāng)均為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),證明(1)的逆命題成立.十一、(本題滿分7分)設(shè)維隨機(jī)變量的概率密度為對(duì)獨(dú)立地重復(fù)觀察次,用表示觀察值大于的次數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.十二、(本題滿分7分)設(shè)總體的概率分布為0123其中是未知參數(shù),利用總體的如下樣本值求的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值.2002年考研數(shù)學(xué)一試題答案與解析一、填空題(1)【分析】原式(2)【分析】方程兩邊對(duì)兩次求導(dǎo)得以代入原方程得,以代入得,再以代入得(3)【分析】這是二階的可降階微分方程.令(以為自變量),則代入方程得,即(或,但其不滿足初始條件).分離變量得積分得即(對(duì)應(yīng));由時(shí)得于是積分得.又由得所求特解為(4)【分析】因?yàn)槎涡徒?jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的系數(shù)就是二次型矩陣的特征值,所以是的特征值.又因,故(5)【分析】設(shè)事件表示“二次方程無實(shí)根”,則依題意,有而即二、選擇題(1)【分析】這是討論函數(shù)的連續(xù)性,可偏導(dǎo)性,可微性及偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系.我們知道,的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是可微的充分條件,若可微則必連續(xù),故選(A).(2)【分析】由充分大時(shí)即時(shí),且不妨認(rèn)為因而所考慮級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù),但不能保證的單調(diào)性.按定義考察部分和原級(jí)數(shù)收斂.再考察取絕對(duì)值后的級(jí)數(shù).注意發(fā)散發(fā)散.因此選(C).(3)【分析】證明(B)對(duì):反證法.假設(shè),則由拉格朗日中值定理,(當(dāng)時(shí),因?yàn)?;但這與矛盾(4)【分析】因?yàn)?說明方程組有無窮多解,所以三個(gè)平面有公共交點(diǎn)且不唯一,因此應(yīng)選(B).(A)表示方程組有唯一解,其充要條件是(C)中三個(gè)平面沒有公共交點(diǎn),即方程組無解,又因三個(gè)平面中任兩個(gè)都不行,故和,且中任兩個(gè)平行向量都線性無關(guān).類似地,(D)中有兩個(gè)平面平行,故,且中有兩個(gè)平行向量共線.(5)【分析】首先可以否定選項(xiàng)(A)與(C),因?qū)τ谶x項(xiàng)(B),若則對(duì)任何,因此也應(yīng)否定(C),綜上分析,用排除法應(yīng)選(D).進(jìn)一步分析可知,若令,而則的分布函數(shù)恰是三、【解】用洛必達(dá)法則.由題設(shè)條件知由于,故必有又由洛必達(dá)法則及,則有.綜上,得四、【解】由已知條件得故所求切線方程為.由導(dǎo)數(shù)定義及數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系可得五、【分析與求解】是正方形區(qū)域如圖.因在上被積函數(shù)分塊表示于是要用分塊積分法,用將分成兩塊:(關(guān)于對(duì)稱)(選擇積分順序)六、【分析與求解】(1)易知原函數(shù),在上原函數(shù),即.積分在與路徑無關(guān).(2)因找到了原函數(shù),立即可得七、【證明】與書上解答略有不同,參見數(shù)三2002第七題(1)因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的收斂域是,因而可在上逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù),得,所以.(2)與相應(yīng)的齊次微分方程為,其特征方程為,特征根為.因此齊次微分方程的通解為.設(shè)非齊次微分方程的特解為,將代入方程可得,即有.于是,方程通解為.當(dāng)時(shí),有于是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為八、【分析與求解】(1)由梯度向量的重要性質(zhì):函數(shù)在點(diǎn)處沿該點(diǎn)的梯度方向方向?qū)?shù)取最大值即的模,(2)按題意,即求求在條件下的最大值點(diǎn)在條件下的最大值點(diǎn).這是求解條件最值問題,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函數(shù)則有解此方程組:將式與式相加得或若,則由式得即若由或均得,代入式得即于是得可能的條件極值點(diǎn)現(xiàn)比較在這些點(diǎn)的函數(shù)值:因?yàn)閷?shí)際問題存在最大值,而最大值又只可能在中取到.因此在取到在的邊界上的最大值,即可作為攀登的起點(diǎn).九、【解】由線性無關(guān)及知,向量組的秩,即矩陣的秩為因此的基礎(chǔ)解系中只包含一個(gè)向量.那么由知,的基礎(chǔ)解系是再由知,是的一個(gè)特解.故的通解是其中為任意常數(shù).十、【解】(1)若相似,那么存在可逆矩陣,使故(2)令那么但不相似.否則,存在可逆矩陣,使.從而,矛盾,亦可從而知與不相似.(3)由均為實(shí)對(duì)稱矩陣知,均相似于對(duì)角陣,若的特征多項(xiàng)式相等,記特征多項(xiàng)式的根為則有相似于也相似于即存在可逆矩陣,使于是由為可逆矩陣知,與相似.十一、【解】由于依題意,服從二項(xiàng)分布,則有十二、【解】的矩估計(jì)量為根據(jù)給定的樣本觀察值計(jì)算因此的矩估計(jì)值對(duì)于給定的樣本值似然函數(shù)為令,得方程,解得(不合題意).于是的最大似然估計(jì)值為2003年碩士研究生入學(xué)考試（數(shù)學(xué)一）試題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1） =_ .（2） 曲面與平面平行的切平面的方程是_.（3） 設(shè)，則= .（4）從的基到基的過渡矩陣為 _ .（5）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 則 _ .（6）已知一批零件的長(zhǎng)度X (單位：cm)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件，得到長(zhǎng)度的平均值為40 (cm)，則的置信度為0.95的置信區(qū)間是_ .(注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A) 一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). (B) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). (C) 兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn). (D) 三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). y O x （2）設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且,則必有(A) 對(duì)任意n成立. (B) 對(duì)任意n成立.(C) 極限不存在. (D) 極限不存在. （3）已知函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則(A) 點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn). (B) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn). (C) 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn). (D) 根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn). （4）設(shè)向量組I：可由向量組II：線性表示，則 (A) 當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān). (B) 當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān). (C) 當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān). (D) 當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān). （5）設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0, 其中A,B均為矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 則Ax=0與Bx=0同解.以上命題中正確的是 (A) . (B) .(C) . (D) . （6）設(shè)隨機(jī)變量，則 (A) . (B) . (C) . (D) . 三 、（本題滿分10分）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.(1) 求D的面積A;(2) 求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.四 、（本題滿分12分）將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和.五 、（本題滿分10分）已知平面區(qū)域，L為D的正向邊界. 試證：(1) ;(2) 六 、（本題滿分10分）某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功. 設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為k,k0）.汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下a m. 根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0r0時(shí)，九 、（本題滿分10分）設(shè)矩陣，求B+2E的特征值與特征向量，其中為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.十 、（本題滿分8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為 ， ， .試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為十一 、（本題滿分10分）已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品. 從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二 、（本題滿分8分）設(shè)總體X的概率密度為 其中是未知參數(shù). 從總體X中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記(1) 求總體X的分布函數(shù)F(x);(2) 求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)；(3) 如果用作為的估計(jì)量，討論它是否具有無偏性.2003年碩士研究生入學(xué)考試（數(shù)學(xué)一）試題答案一、1、2、3、 14、5、6、二、CDADBC三、【詳解】 (1) 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則曲線y=lnx在點(diǎn)處的切線方程是 由該切線過原點(diǎn)知 ，從而 所以該切線的方程為 平面圖形D的面積 （2） 切線與x軸及直線x=e所圍成的三角形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為 曲線y=lnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為 ，因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 y 1 D O 1 e x四、【詳解】 因?yàn)橛謋(0)=, 所以 =因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，函數(shù)f(x)在處連續(xù)，所以 令，得 ,再由，得 五、【詳解】 方法一：(1) 左邊= =， 右邊= =，所以 .(2) 由于，故由（1）得 方法二：（1） 根據(jù)格林公式，得，.因?yàn)镈 具有輪換對(duì)稱性，所以 =，故 . (2) 由(1)知 = = （利用輪換對(duì)稱性） =六、【詳解】 (1) 設(shè)第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下，第n次擊打時(shí)，汽錘所作的功為. 由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為x時(shí)，土層對(duì)樁的阻力的大小為，所以 ， 由可得 即 由可得 ，從而 ，即汽錘擊打3次后，可將樁打進(jìn)地下.（2） 由歸納法，設(shè)，則 =由于，故得 ,從而 于是 ，即若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下 m.七、【詳解】 (1) 由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知 ，于是有=.代入原微分方程得 ( * )(2) 方程( * )所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 設(shè)方程( * )的特解為 ，代入方程( * )，求得，故，從而的通解是 由，得. 故所求初值問題的解為 八、【詳解】 (1) 因?yàn)?， ，所以在上，故F(t) 在內(nèi)單調(diào)增加.（2） 因 ，要證明t0時(shí)，只需證明t0時(shí)，即 令 ，則 ，故g(t)在內(nèi)單調(diào)增加.因?yàn)間(t)在t=0處連續(xù)，所以當(dāng)t0時(shí)，有g(shù)(t)g(0).又g(0)=0, 故當(dāng)t0時(shí)，g(t)0,因此，當(dāng)t0時(shí)，九、【詳解】 方法一：經(jīng)計(jì)算可得 ， ， =.從而 ，故B+2E的特征值為當(dāng)時(shí)，解，得線性無關(guān)的特征向量為 所以屬于特征值的所有特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù).當(dāng)時(shí)，解，得線性無關(guān)的特征向量為 ，所以屬于特征值的所有特征向量為，其中為任意常數(shù).方法二：設(shè)A的特征值為，對(duì)應(yīng)特征向量為，即 . 由于，所以 又因 ，故有 于是有 ， 因此，為B+2E的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為由于 ，故A的特征值為當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為， 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為 由 ，得，.因此，B+2E的三個(gè)特征值分別為9，9，3.對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù)；對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為 ，其中是不為零的任意常數(shù).十、【詳解】 方法一：必要性設(shè)三條直線交于一點(diǎn)，則線性方程組 (*)有唯一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，于是由于 =,但根據(jù)題設(shè) ，故 充分性：由，則從必要性的證明可知，故秩由于 =，故秩(A)=2. 于是， 秩(A)=秩=2. 因此方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點(diǎn).方法二：必要性設(shè)三直線交于一點(diǎn)，則為Ax=0的非零解，其中 于是 . 而 =,但根據(jù)題設(shè) ，故 充分性：考慮線性方程組 (*)將方程組(*)的三個(gè)方程相加，并由a+b+c=0可知，方程組(*)等價(jià)于方程組 (* *)因?yàn)?=-,故方程組(* *)有唯一解，所以方程組(*)有唯一解，即三直線交于一點(diǎn).十一、【詳解】 (1) X的可能取值為0，1，2，3，X的概率分布為 ， k=0,1,2,3.即 X 0 1 2 3 P 因此 (2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”，由于，構(gòu)成完備事件組，因此根據(jù)全概率公式，有 = =【評(píng)注】本題對(duì)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算也可用分解法： 設(shè) 則的概率分布為 0 1 P 因?yàn)?，所?十二、【詳解】 (1) (2) = = = =(3) 概率密度為 因?yàn)?=，所以作為的估計(jì)量不具有無偏性.2004年數(shù)學(xué)一試題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為 _.（2）已知，且f(1)=0, 則f(x)= _ .（3）設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為 _ .（4）歐拉方程的通解為 _.（5）設(shè)矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 _ . （6）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= _ .二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（7）把時(shí)的無窮小量，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . （8）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且則存在，使得 (A) f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加. （B）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.(C) 對(duì)任意的有f(x)f(0) . (D) 對(duì)任意的有f(x)f(0) . （9）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 (A) 若=0，則級(jí)數(shù)收斂.（B） 若存在非零常數(shù)，使得，則級(jí)數(shù)發(fā)散.(C) 若級(jí)數(shù)收斂，則. (D) 若級(jí)數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得. （10）設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. （11）設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C, 則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為(A) . (B) . (C) . (D) . （12）設(shè)A,B為滿足AB=O的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有(A) A的列向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān). (B) A的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān). (C) A的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān). (D) A的行向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān). （13）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對(duì)給定的，數(shù)滿足，若，則等于(A) . (B) . (C) . (D) . （14）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且其方差為 令，則(A) Cov( (B) . (C) . (D) . 三解答題（15）（本題滿分12分）設(shè), 證明.（16）（本題滿分11分）某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時(shí)的水平速度為700km/h. 經(jīng)測(cè)試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為 問從著陸點(diǎn)算起，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時(shí).（17）（本題滿分12分）計(jì)算曲面積分 其中是曲面的上側(cè).（18）（本題滿分11分）設(shè)有方程，其中n為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實(shí)根，并證明當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.（19）（本題滿分12分）設(shè)z=z(x,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值.（20）（本題滿分9分）設(shè)有齊次線性方程組試問a取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解.（21）（本題滿分9分） 設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根，求a的值，并討論A是否可相似對(duì)角化.(22)（本題滿分9分）設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且，令 求：（I）二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相關(guān)系數(shù)（23）（本題滿分9分）設(shè)總體X的分布函數(shù)為 其中未知參數(shù)為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求：（I） 的矩估計(jì)量；（II） 的最大似然估計(jì)量.2004年數(shù)學(xué)一試題答案一、1. y=x-12.3.4.5.6.二、7.B 8.C 9.B 10.B 11.D 12.A 13.C 14.A 三、15.【證法1】 對(duì)函數(shù)在a,b上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得 設(shè)，則， 當(dāng)te時(shí)， 所以單調(diào)減少，從而，即 ，故 .【證法2】 設(shè)，則 ， ,所以當(dāng)xe時(shí)， 故單調(diào)減少，從而當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加.因此當(dāng)時(shí)，即 ，故 .16.【詳解1】 由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量m=9000kg，著陸時(shí)的水平速度. 從飛機(jī)接觸跑道開始記時(shí)，設(shè)t時(shí)刻飛機(jī)的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得 .又 ，由以上兩式得 ，積分得 由于，故得，從而 當(dāng)時(shí)， 所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為1.05km.【詳解2】 根據(jù)牛頓第二定律，得 ,所以 兩端積分得通解，代入初始條件解得，故 飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為 或由，知，故最長(zhǎng)距離為當(dāng)時(shí)，【詳解3】 根據(jù)牛頓第二定律，得 , ，其特征方程為 ，解之得，故 由 ，得 于是 當(dāng)時(shí)，所以，飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離為1.05km.17.【詳解】 取為xoy平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 由高斯公式知 = =而 ，故 18.【證】 記 由，及連續(xù)函數(shù)的介值定理知，方程存在正實(shí)數(shù)根當(dāng)x0時(shí)，可見在上單調(diào)增加, 故方程存在惟一正實(shí)數(shù)根由與知 ，故當(dāng)時(shí)，.而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，所以當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.19.【詳解】 因?yàn)?，所以 ， .令 得 故 將上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故，又，從而點(diǎn)(9,3)是z(x,y)的極小值點(diǎn)，極小值為z(9,3)=3.類似地，由 ，可知，又，從而點(diǎn)(-9, -3)是z(x,y)的極大值點(diǎn)，極大值為z(-9, -3)= -3.20.【詳解1】 對(duì)方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 當(dāng)a=0時(shí)， r(A)=10內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線C，有；（II）求函數(shù)的表達(dá)式. （20）（本題滿分9分）已知二次型的秩為2.（I） 求a的值；（II） 求正交變換，把化成標(biāo)準(zhǔn)形；（III） 求方程=0的解.（21）（本題滿分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.（22）（本題滿分9分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 求：（I） (X,Y)的邊緣概率密度； （II）的概率密度（23）（本題滿分9分）設(shè)為來自總體N(0,1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為樣本均值，記求：（I） 的方差； （II）與的協(xié)方差2005年碩士研究生入學(xué)考試（數(shù)學(xué)一）答案一、1、2、3、4、5、 26、二、714C ABDBCBD三、15、【詳解】 令 ， .則 = 16、【詳解】 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（1,1）記則由于所以又從而17、【詳解】 由題設(shè)圖形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部積分，知 = =18、【詳解】 （I）令，則F(x)在0，1上連續(xù)，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在存在 使得，即.（II） 在和上對(duì)f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得，于是 19、Y【詳解】 （I） l2 C o X l3如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點(diǎn)且與C相接，則 .（II） 設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由（）知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當(dāng)時(shí)，總有. 比較、兩式的右端，得由得，將代入得所以，從而20、【詳解】 （I） 二次型對(duì)應(yīng)矩陣為 ，由二次型的秩為2，知 ，得a=0.（II） 這里， 可求出其特征值為.解 ，得特征向量為：，解 ，得特征向量為：由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得：令，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：=（III） 由=0，得（k為任意常數(shù)）.從而所求解為：x=Qy=，其中c為任意常數(shù).21、【詳解】 由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，且（1）若k, 則r(B)=2, 于是r(A), 顯然r(A), 故r(A)=1. 可見此時(shí)Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為3-r(A)=2, 矩陣B的第一、第三列線性無關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系，故Ax=0 的通解為：為任意常數(shù).(2) 若k=9，則r(B)=1, 從而1） 若r(A)=2, 則Ax=0的通解為：為任意常數(shù).2） 若r(A)=1,則Ax=0 的同解方程組為：,不妨設(shè),則其通解為 為任意常數(shù).22、【詳解】 （I） 關(guān)于X的邊緣概率密度= =關(guān)于Y的邊緣概率密度= = （II） 令，1） 當(dāng)時(shí)，；2） 當(dāng)時(shí)， =; 3) 當(dāng)時(shí)，即分布函數(shù)為： 故所求的概率密度為：23、【詳解】 由題設(shè)，知相互獨(dú)立，且，（I） = =（II） = = = = =2006年碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一試題一、 填空題：16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1） _. （2） 微分方程的通解是_（3）設(shè)是錐面的下側(cè)，則_.（4）點(diǎn)到平面的距離_（5）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 _（6）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 _.二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（7）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若，則(A) . (B) .(C) . (D) . （8）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于（）. （B）.(C).(D) . （9）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)(A) 收斂 . （B）收斂.(C) 收斂. (D) 收斂. （10）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是(A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. （11）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是(A) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (B) 若線性