2012文科數(shù)學(xué)回歸教材-3導(dǎo)數(shù)

新課標(biāo)回歸教材導(dǎo)數(shù)1.導(dǎo)數(shù)的背景:(1)切線的斜率;(2)瞬時速度.典例:一物體的運動方程是,其中的單位是米,的單位是秒,那么物體在時的瞬時速度為 5米/秒 .2.導(dǎo)函數(shù)的概念:如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),對于開區(qū)間內(nèi)的每一個,都對應(yīng)著一個導(dǎo)數(shù),這樣在開區(qū)間內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù),這一新的函數(shù)叫做在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),記作,簡稱導(dǎo)數(shù).3.求在處的導(dǎo)數(shù)的步驟:(1)求函數(shù)的改變量;(2)求平均變化率;(3)取極限,得導(dǎo)數(shù).4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線在點處的切線的斜率,即曲線在點處的切線的斜率是,相應(yīng)地切線的方程是.特別提醒L:(1)在求曲線的切線方程時,要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點處的切線,還是過某點的切線:曲線上某點處的切線只有一條,而過某點的切線不一定只有一條,即使此點在曲線上也不一定只有一條;(2)在求過某一點的切線方程時,要首先判斷此點是在曲線上,還是不在曲線上,只有當(dāng)此點在曲線上時,此點處的切線的斜率才是.典例:(1)在曲線上移動,在點處的切線的傾斜角為,則;(2)直線是曲線的一條切線,則實數(shù)的值為 3或1 ;(3)若函數(shù)(為常數(shù))圖象上處的切線與的夾角為,則點的橫坐標(biāo)為;(數(shù)形結(jié)合,可知切線的傾斜角只能為0或900(舍去)(4)曲線在點處的切線方程是;(5)已知函數(shù),又的圖象與軸交于.求的值;求過點的曲線的切線方程（答:1;或）.5.導(dǎo)數(shù)的公式、法則:(1)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,即（為常數(shù)）;(2),與此有關(guān)的常用結(jié)論:;(3)(4);典例:(1)已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,則;(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為;(3)若對任意,則是.6.多項式函數(shù)的單調(diào)性:(1)多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性:若,則為增函數(shù);若,則為減函數(shù);若恒成立,則為常數(shù)函數(shù);若的符號不確定,則不是單調(diào)函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,反之等號不成立;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,反之等號不成立.典例:(1)函數(shù),當(dāng)時,的單調(diào)性是 增函數(shù) ;(2)設(shè)函數(shù)在上單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍;(3)已知函數(shù)為常數(shù)）在區(qū)間上單調(diào)遞增,且方程的根都在區(qū)間內(nèi),則的取值范圍是;(4)已知,設(shè),試問是否存在實數(shù),使在上是減函數(shù),并且在上是增函數(shù)？（答:）(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)求;(2)求方程的根,設(shè)根為;(3)將給定區(qū)間分成n+1個子區(qū)間,再在每一個子區(qū)間內(nèi)判斷的符號,由此確定每一子區(qū)間的單調(diào)性.典例:設(shè)函數(shù)在處有極值,且,求的單調(diào)區(qū)間.（答:遞增區(qū)間（1,1）,遞減區(qū)間）7、函數(shù)的極值:(1)定義:設(shè)函數(shù)在點附近有定義,如果對附近所有的點,都有,就說是函數(shù)的一個極大值.記作,如果對附近所有的點,都有,就說是函數(shù)的一個極小值.記作.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.(2)求函數(shù)在某個區(qū)間上的極值的步驟:（i）求導(dǎo)數(shù);（ii）求方程的根;（iii）檢查在方程的根的左右的符號:“左正右負(fù)”在處取極大值;“左負(fù)右正”在處取極小值.特別提醒L:(1)是極值點的充要條件是點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號,而不僅是0,0是為極值點的必要而不充分條件.(2)給出函數(shù)極大(小)值的條件,一定要既考慮,又要考慮檢驗“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的轉(zhuǎn)化,否則條件沒有用完,這一點一定要切記！ 典例:(1)函數(shù)的極值點是( C )A、極大值點 B、極大值點 C、極小值點 D、極小值點; (2)函數(shù)處有極小值10,則a+b的值為 7 ;(3)已知在區(qū)間1,2 上是減函數(shù),那么bc有最 大 值.特別小結(jié)L:三次函數(shù)的極值情況.記其導(dǎo)函數(shù)的判別式為,其圖象對稱軸為.則(1)若時,三次函數(shù)無極值,當(dāng)時,在定義域上遞增;當(dāng)時,在定義域上遞減.(2) 若時,記的兩根為,則三次函數(shù)有極值,且當(dāng)時,(簡稱為左大右小);當(dāng)時,(簡稱為左小右大);綜上,三次函數(shù)有極值的充要條件為.(3)三次函數(shù)都有對稱中心,其坐標(biāo)為.典例:已知函數(shù)有極值,則實數(shù)的取值范圍是;8.函數(shù)的最大值和最小值:(1)定義:函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點值中的“最大值”;函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點值中的“最小值”.(2)求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值（極大值或極小值）;(2)將的各極值與,比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.典例:(1)函數(shù)在0,3上的最大值、最小值分別是;(2)用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m.那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積.（答:高為1.2米時,容積最大為）特別注意:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值（極值）時,要注意列表！(2)要善于應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù),考察函數(shù)單調(diào)性、最值(極值),研究函數(shù)的性態(tài),數(shù)形結(jié)合解決方程不等式等相關(guān)問題.典例:(1)是的導(dǎo)函數(shù),的圖象如下圖所示,則的圖象只可能是( D )(2)圖形M(如圖所示)是由底為1，高為1的等腰三角形及高為2和3的兩個矩形所構(gòu)成，函數(shù)SS(a)(a0)