高中數(shù)學選修2-2推理與證明數(shù)學歸納法.docx

學習目標1.了解數(shù)學歸納法原理.2.掌握數(shù)學歸納法的兩個步驟，會用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.知識點一歸納法及分類由一系列有限的特殊事例得出一般性結論的推理方法，通常叫歸納法，歸納法可以分為完全歸納法和不完全歸納法，完全歸納法所得出的結論是完全可靠的，因為它考察了問題涉及的所有對象；不完全歸納法得出的結論不一定可靠，因為它只考察了某件事情的部分對象，但它是一種重要的思考問題的方法，是研究數(shù)學的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的一種重要手段.用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用完全歸納法證明，是解決問題的一種重要途徑.完全歸納法是一種在研究了解事物的所有(有限種)特殊情況后，得出一般結論的推理方法，又叫枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況不多時，采用完全歸納法.思考下面的各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列，請在括號里填上適當?shù)臄?shù).(1)1,5,9,13,17，()；(2)，1,1 ，2 ，3 ，()；(3)，()；(4)32,31,16,26，()，()，4,16,2,11.答案(1)21；(2)；(3)；(4)821.知識點二數(shù)學歸納法1.數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0N*)時命題成立；(歸納遞推)假設nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當nk1時命題也成立.2.應用數(shù)學歸納法時注意幾點：(1)用數(shù)學歸納法證明的對象是與正整數(shù)n有關的命題.(2)在用數(shù)學歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可.(3)步驟的證明必須以“假設nk(kn0，kN*)時命題成立”為條件.思考(1)對于數(shù)列an，已知a11，an1(nN*)，求出數(shù)列前4項，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正確的嗎？(2)多米諾骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個條件？答案(1)a11，a2，a3，a4.猜想數(shù)列的通項公式為an.不能保證猜想一定正確，需要嚴密的證明.(2)第一塊骨牌倒下；任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.條件事實上給出了一個遞推關系，換言之就是假設第K塊倒下，則相鄰的第K1塊也倒下.題型一用數(shù)學歸納法證明恒成立例1求證：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*).證明(1)當n1時，左邊112，右邊2112，左邊右邊，等式成立.(2)假設當nk(kN*)時等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，那么，當nk1時，左邊(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)(k1)(k2)(k3)(kk)2k13(2k1)(2k1)22k113(2k1)2(k1)1右邊.當nk1時，等式也成立.由(1)(2)可知，對一切nN*，原等式均成立.反思與感悟用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的等式問題，關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關，由nk到nk1時，等式兩邊會增加多少項，增加怎樣的項.跟蹤訓練1用數(shù)學歸納法證明123252(2n1)2n(4n21)(nN*).證明(1)當n1時，左邊12，右邊1(4121)1，左邊右邊，等式成立.(2)假設當nk(kN*，k1)時，等式成立，即123252(2k1)2k(4k21)，則當nk1時，123252(2k1)2(2k1)2k(4k21)(2k1)2k(2k1)(2k1)(2k1)2(2k1)k(2k1)3(2k1)(2k1)(2k25k3)(2k1)(k1)(2k3)(k1)(4k28k3)(k1)4(k1)21，即當nk1時，等式成立.由(1)(2)知，對一切xN*等式成立.題型二證明不等式問題例2已知an為等比數(shù)列且an2n1，記bn2(log2an1)(nN*)，用數(shù)學歸納法證明對任意的nN*，不等式成立.證明由已知條件可得bn2n(nN*)，所證不等式為.(1)當n1時，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立.(2)假設當nk(kN*)時，不等式成立.即，則當nk1時，.要證當nk1時，不等式成立，只需證，即證，由基本不等式，得成立，成立，當nk1時，不等式成立.由(1)(2)可知，對一切nN*，原不等式均成立.反思與感悟用數(shù)學歸納法證明不等式問題時要注意兩湊：一湊歸納假設；二湊證明目標，在湊證明目標時，比較法、綜合法、分析法都適用.跟蹤訓練2用數(shù)學歸納法證明對一切nN*,1 .證明(1)當n1時，左邊1，右邊1，不等式成立.(2)假設當nk時，不等式成立，即1，則當nk1時，要證1，只需證.因為0，所以，即1，所以當nk1時不等式成立.由(1)(2)知，不等式對一切nN*都成立.題型三用數(shù)學歸納法證明整除問題例3求證nN*時，an1(a1)2n1能被a2a1整除.證明(1)當n1時，a11(a1)211a2a1，命題顯然成立.(2)假設當nk(kN*，k1)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當nk1時，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由歸納假設，上式中的兩項均能被a2a1整除，故當nk1時命題成立.由(1)(2)知，對任意nN*，命題成立.反思與感悟用數(shù)學歸納法證明數(shù)的整除性問題時，關鍵是從當nk1時的式子中拼湊出當nk時能被某數(shù)整除的式子，并將剩余式子轉化為能被該數(shù)整除的式子.跟蹤訓練3用數(shù)學歸納法證明對于任意非負整數(shù)n，An11n2122n1能被133整除.證明(1)當n0時，A011212133，能被133整除.(2)假設當nk(k0)時，Ak11k2122k1能被133整除，那么當nk1時，Ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k2122k1)133122k1，能被133整除.由(1)(2)可知，對于任意非負整數(shù)n，An都能被133整除.題型四用數(shù)學歸納法解決平面幾何問題例4已知n個平面都過同一點，但其中任何三個平面都不經(jīng)過同一直線，求證：這n個平面把空間分成f(n)n(n1)2部分.證明(1)當n1時，1個平面把空間分成2部分，而f(1)1(11)22(部分)，所以命題正確.(2)假設當nk(kN*)時，命題成立，即k個符合條件的平面把空間分為f(k)k(k1)2(部分)，當nk1時，第k1個平面和其他每一個平面相交，使其所分成的空間都增加2部分，所以共增加2k部分，故f(k1)f(k)2kk(k1)22kk(k12)2(k1)(k1)12(部分)，即當nk1時，命題也成立.根據(jù)(1)(2)，知n個符合條件的平面把空間分成f(n)n(n1)2部分.反思與感悟用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從k增加到k1時，所證的幾何量增加多少，同時要善于利用幾何圖形的直觀性，建立k與k1之間的遞推關系.跟蹤訓練4平面內有n(nN*，n2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，求證交點的個數(shù)f(n).證明(1)當n2時，兩條直線的交點只有一個，又f(2)2(21)1，當n2時，命題成立.(2)假設當nk(kN*，k2)時命題成立，即平面內滿足題設的任何k條直線的交點個數(shù)f(k)k(k1)，那么，當nk1時，任取一條直線l，除l以外其他k條直線的交點個數(shù)為f(k)k(k1)，l與其他k條直線的交點個數(shù)為k，從而k1條直線共有f(k)k個交點，即f(k1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，當nk1時，命題成立.由(1)(2)可知，對任意nN*(n2)命題都成立.因弄錯從nk到nk1的增加項致誤例5用數(shù)學歸納法證明1(nN*).錯解當n1時，左邊1，右邊1，顯然左邊右邊，即n1時不等式成立.假設nk(k1，且kN*)時不等式成立，即1.那么，當nk1時，1，即nk1時，不等式成立.由得1(nN*)成立.錯因分析以上用數(shù)學歸納法證明的過程是錯誤的，因為在從nk到nk1時增加的不止一項，應是，共有2k項，并且也是錯誤的.正解當n1時，左邊1，右邊1，所以左邊右邊，即n1時不等式成立.假設nk(k1，kN*)時不等式成立，即1，那么，當nk1時，有1.所以nk1時，不等式成立.由可知，nN*時1.防范措施當nk1時，可以寫出相應增加的項，然后再結合數(shù)學歸納法證明.1.用數(shù)學歸納法證明1aa2an(a1，nN*)，在驗證當n1時，左邊計算所得的式子是()A.1 B.1aC.1aa2 D.1aa2a4答案B解析當n1時，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項為a，左邊是1a，故選B.2.用數(shù)學歸納法證明不等式(n2)的過程中，由nk遞推到nk1時，不等式的左邊()A.增加了一項B.增加了兩項，C.增加了兩項，又減少了一項D.增加了一項，又減少了一項答案C解析nk時，左邊為，nk1時，左邊為，比較可知C正確.3.已知f(n)1(nN*)，證明不等式f(2n)時，f(2k1)比f(2k)多的項數(shù)是_.答案2k解析觀察f(n)的表達式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，f(2k)1，而f(2k1)1.因此f(2k1)比f(2k)多了2k項.4.用數(shù)學歸納法證明3nn3(n3，nN*)第一步應驗證_.答案n3時是否成立解析n的最小值為3，所以第一步驗證n3時是否成立.5.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，Snn2an(nN*).依次計算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達式為_.答案Sn解析S11，S2，S3，S4，猜想Sn.1.數(shù)學歸納法的兩個步驟相互依存，缺一不可.有一無二，是不完全歸納法，結論不一定可靠；有二無一，第二步就失去了遞推的基礎.2.歸納假設的作用.在用數(shù)學歸納法證明問題時，對于歸納假設要注意以下兩點：(1)歸納假設就是已知條件；(2)在推證nk1時，必須用上歸納假設.3.利用歸納假設的技巧.在推證nk1時，可以通過湊、拆、配項等方法用上歸納假設.此時既要看準目標，又要掌握nk與nk1之間的關系.在推證時，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應用.4.數(shù)學歸納法的適用范圍.數(shù)學歸納法是直接證明的一種重要方法，應用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關的恒等式、不等式、數(shù)的整除性、幾何問題、探求數(shù)列的通項及前n項和等問題中.一、選擇題1.某個與正整數(shù)有關的命題：如果當nk(kN*)時命題成立，則可以推出當nk1時該命題也成立.現(xiàn)已知n5時命題不成立，那么可以推得()A.當n4時命題不成立B.當n6時命題不成立C.當n4時命題成立D.當n6時命題成立答案A解析因為當nk(kN*)時命題成立，則可以推出當nk1時該命題也成立，所以假設當n4時命題成立，那么n5時命題也成立，這與已知矛盾，所以當n4時命題不成立.2.滿足122334n(n1)3n23n2的自然數(shù)n等于()A.1 B.1或2 C.1,2,3 D.1,2,3,4答案C解析當n1,2,3時滿足，當n4時，左邊1223344540，右邊34234238.所以左邊右邊，即n4不滿足.3.記凸k邊形的內角和為f(k)，則凸k1邊形的內角和f(k1)f(k)()A. B. C. D.2答案B解析由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時，增加了一個三角形，故f(k1)f(k).4.k(k3，kN*)棱柱有f(k)個對角面，則(k1)棱柱的對角面?zhèn)€數(shù)f(k1)為()A.f(k)k1 B.f(k)k1C.f(k)k D.f(k)k2答案A解析三棱柱有0個對角面，四棱柱有2個對角面(020(31)；五棱柱有5個對角面(232(41)；六棱柱有9個對角面(545(51)；.猜想：若k棱柱有f(k)個對角面，則(k1)棱柱有f(k)k1個對角面.5.用數(shù)學歸納法證明不等式1(nN*)成立，其初始值至少應取()A.7 B.8 C.9 D.10答案B解析左邊12，代入驗證可知n的最小值是8.6.用數(shù)學歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，從k到k1左端需要增乘的代數(shù)式為()A.2k1 B.2(2k1)C. D.答案B解析nk1時，左端為(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)2，應增乘2(2k1).二、填空題7.用數(shù)學歸納法證明關于n的恒等式，當nk時，表達式為1427k(3k1)k(k1)2，則當nk1時，表達式為_.答案1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)28.用數(shù)學歸納法證明n35n能被6整除的過程中，當nk1時，式子(k1)35(k1)應變形為_.答案(k35k)3k(k1)6解析(k1)35(k1)k313k23k5k5(k35k)3k23k6(k35k)3k(k1)6.k(k1)為偶數(shù)，3k(k1)能被6整除，(k1)35(k1)應變形為(k35k)3k(k1)6.9.用數(shù)學歸納法證明12222n12n1(nN*)的過程中，第二步假設當nk(kN*)時等式成立，則當nk1時應得到的式子為_.答案12222k12k2k12k解析由nk到nk1等式的左邊增加了一項.10.用數(shù)學歸納法證明12222n12n1(nN*)的過程如下：(1)當n1時，左邊1，右邊2111，等式成立.(2)假設當nk(kN*)時等式成立，即12222k12k1，則當nk1時，12222k12k2k11.所以當nk1時等式也成立.由此可知對于任何nN*，等式都成立.上述證明的錯誤是_.答案未用歸納假設解析本題在由nk成立，證nk1成立時，應用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上假設條件，這與數(shù)學歸納法的要求不符.三、解答題11.已知f(n)(2n7)3n9，存在自然數(shù)m，使得對任意正整數(shù)n，f(n)被m整除，猜測出最大的m的值，并用數(shù)學歸納法證明你的猜測是正確的.解f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明如下：當n1,2時，由上得證.假設當nk(k2)時，f(k)(2k7)3k9能被36整除，則當nk1時，f