2-數(shù)值積分.ppt

1 第2章數(shù)值積分 1 2 2 1引言 利用牛頓 萊布尼茲 Newton Leibniz 公式 2 1 解決函數(shù)在上的積分問(wèn)題在理論和應(yīng)用上都有重大的意義 然而 在實(shí)際問(wèn)題中 往往會(huì)遇到一些困難 有些形式上較簡(jiǎn)單的函數(shù) 其原函數(shù)不易求出或不能用初等函數(shù)表示成有限形式 有些被積函數(shù)的原函數(shù)過(guò)于復(fù)雜 而有些函數(shù)的函數(shù)值是由實(shí)驗(yàn) 觀測(cè)等方法得出 并沒(méi)有給出具體的解析表達(dá)式 這些情形說(shuō)明公式 5 1 在應(yīng)用上是有局限性的 因此研究定積分的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題就顯得十分必要 本章主要介紹一些常用的數(shù)值積分方法 包括梯形積分法 辛卜生積分法 變步長(zhǎng)積分法 牛頓 柯特斯積分法 高斯積分法 龍貝格積分法 2 3 2 2梯形積分法 2 2 1梯形積分法的基本思想梯形積分法的基本思想 在積分區(qū)間上 根據(jù)給定的插值條件和 構(gòu)造一個(gè)一次二項(xiàng)式 并以的積分值近似地代替 從幾何角度而言 是以梯形面積近似地代替曲邊梯形的面積 3 圖2 1 4 2 2 2梯形求積公式依據(jù)梯形積分法的基本思想 將區(qū)間分成個(gè)相等的小區(qū)間 則每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 對(duì)每個(gè)小區(qū)間均實(shí)施如下的梯形求積 將這些小梯形的求積值加起來(lái) 可以得到如下梯形求積公式 4 5 2 2 3實(shí)現(xiàn)梯形積分法的基本步驟 1 輸入?yún)^(qū)間的端點(diǎn)值以及分割數(shù) 2 將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間 每一個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度 3 計(jì)算每一個(gè)等分點(diǎn)的函數(shù)值 4 計(jì)算 5 輸出的值 6 結(jié)束 5 6 例2 1使用梯形求積公式求下列定積分的值 6 7 辛卜生積分法的基本思想 在積分區(qū)間上 根據(jù)給定的插值條件 和 構(gòu)造一個(gè)二次插值求積多項(xiàng)式 并以的積分值近似地代替 從幾何角度而言 是用過(guò)三點(diǎn)的拋物線面積近似地代替積分的曲邊面積 2 3辛卜生 Simpson 積分法2 3 1辛卜生積分法的基本思想 7 圖2 3 8 2 3 2辛卜生求積公式依據(jù)辛卜生積分法的基本思想 將區(qū)間分成 必須是偶數(shù) 個(gè)相等的小區(qū)間 則每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 在小區(qū)間均實(shí)施如下的辛卜生求積 將這些求積值加起來(lái) 可以得到如下辛卜生求積公式 其中 為奇數(shù)項(xiàng)的函數(shù)值之和 為偶數(shù)項(xiàng)的函數(shù)值之和 8 9 2 3 3實(shí)現(xiàn)辛卜生積分法的基本步驟 1 輸入?yún)^(qū)間的端點(diǎn)的值以及分割數(shù) 2 將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間 每一個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度 3 計(jì)算每一個(gè)等分點(diǎn)的函數(shù)值 4 計(jì)算 計(jì)算奇數(shù)項(xiàng)的函數(shù)值之和 計(jì)算偶數(shù)項(xiàng)的函數(shù)值之和 5 計(jì)算 6 輸出的值 7 結(jié)束 9 10 例2 2使用辛卜生求積公式求下列定積分的值 10 11 2 4變步長(zhǎng)求積分法 2 4 1變步長(zhǎng)求積分法的基本思想變步長(zhǎng)求積分法是以梯形公式為基礎(chǔ) 逐步改變步長(zhǎng) 以達(dá)到預(yù)先所要求的精度 變步長(zhǎng)求積分法主要有變步長(zhǎng)梯形求積分法和變步長(zhǎng)辛卜生求積分法 本節(jié)我們將介紹這兩種方法 11 12 2 4 2變步長(zhǎng)梯形求積分法變步長(zhǎng)梯形求積分法的基本過(guò)程 1 利用梯形公式 將積分區(qū)間等分 即其中 2 將每一個(gè)求積小區(qū)間再二等分一次 即由原來(lái)的等分變成等分 則有 12 13 其中 為再二等分一次后新增加的結(jié)點(diǎn) 它們都是原來(lái)各小區(qū)間的中點(diǎn) 由上式可以看出 在對(duì)每一個(gè)小區(qū)間在二等分后 在積分值的第一項(xiàng)中只包含再二等分之前的各結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值 并且第一項(xiàng)的值正好是再二等分之前積分值的一半 顯然 這一項(xiàng)中所包含的函數(shù)值就不必計(jì)算了 再二等分后需要計(jì)算的函數(shù)都包含在第二項(xiàng)中 它們都是二等分后出現(xiàn)的新的結(jié)點(diǎn) 因此有 3 若 二等分后的積分值就是最后的結(jié)果 否則保存當(dāng)前的等分?jǐn)?shù) 積分值與步長(zhǎng) 即轉(zhuǎn)到第 2 步繼續(xù)做二等分處理 13 14 2 4 3實(shí)現(xiàn)變步長(zhǎng)梯形積分法的基本步驟 1 輸入?yún)^(qū)間的端點(diǎn)的值以及容許誤差 2 計(jì)算區(qū)間的長(zhǎng)度 3 首先將區(qū)間進(jìn)行一等分 并設(shè) 4 再將每一個(gè)求積小區(qū)間 由原來(lái)的等分變成等分 5 計(jì)算 6 成立 則繼續(xù) 否則 轉(zhuǎn) 4 7 輸出的值 8 結(jié)束 14 15 2 4 4變步長(zhǎng)辛卜生求積分法變步長(zhǎng)辛卜生求積分法的基本過(guò)程 1 利用梯形公式 將積分區(qū)間一等分 2 將其中的每一個(gè)求積小區(qū)間再二等分一次 3 根據(jù)上面兩式和 可以推導(dǎo)出如下的變步長(zhǎng)辛卜生求積公式 進(jìn)一步得到再二次等分一次后的變步長(zhǎng)辛卜生求積公式為 4 若 二等分后的積分值就是最后的結(jié)果 否則保存當(dāng)前的變步長(zhǎng)梯形積分值 等分?jǐn)?shù) 積分值與步長(zhǎng) 轉(zhuǎn)到第 2 步繼續(xù)做二等分處理 15 16 2 4 5實(shí)現(xiàn)變步長(zhǎng)辛卜生積分法的基本步驟 16 17 17 18 例2 4使用變步長(zhǎng)辛卜生求積分法求下列定積分的值 18 19 2 5牛頓 柯特斯 Newton Cotes 積分法 2 5 1牛頓 柯特斯積分法的基本思想牛頓 柯特斯積分法的基本思想 用高次的插值求積多項(xiàng)式去逼近被積函數(shù) 以獲得高精度的積分值 事實(shí)上 梯形積分是當(dāng)時(shí)的牛頓 柯特斯積分 辛卜生積分是當(dāng)時(shí)的牛頓 柯特斯積分 它們都是牛頓 柯特斯積分的特例 19 20 2 5 2牛頓 柯特斯求積公式下面給出三到五階牛頓 柯特斯求積公式 20 21 實(shí)現(xiàn)三階牛頓 柯特斯求積公式的基本步驟如下 21 22 例2 5使用牛頓 柯特斯求積公式求下列定積分的值 22 23 2 6龍貝格 Romberg 積分法 2 6 1龍貝格積分法的基本思想前面講述的各種求積方法是插值求積的思想 而龍貝格積分法的基本思想是 使用一個(gè)諸如梯形求積法等代數(shù)精度較低的求積公式 相繼以步長(zhǎng)和求得定積分的兩個(gè)近似結(jié)果 然后再做它們適當(dāng)?shù)木€性組合 就可以得到一個(gè)代數(shù)精度更高的公式 23 24 根據(jù)復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)表達(dá)式可知 2 6龍貝格 Romberg 積分法 25 即 依此類推 26 這樣直接用計(jì)算結(jié)果來(lái)估計(jì)誤差的方法通常稱作誤差的事后估計(jì)法 27 同理由復(fù)化辛普森公式的余項(xiàng) 可得 由復(fù)化Cotes公式的余項(xiàng) 得 28 例 根據(jù)如下函數(shù)值表 利用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分的近似值 要求誤差不超過(guò) 原積分的精確值為 29 然后將區(qū)間二等分 利用梯形公式的遞推公式求出 遞推公式 進(jìn)一步二分積分區(qū)間 類似可求出 如此不斷二分并利用遞推公式 可得下表中的結(jié)果 解 先在整個(gè)區(qū)間上用梯形公式 30 k表示二分次數(shù) 區(qū)間數(shù) 由表中可以看出 對(duì)分8次和對(duì)分7次之間的差 因而是滿足精度要求的解 31 收斂速度慢 對(duì)于復(fù)化辛蒲生公式 柯特斯公式可以類似得到 32 加速收斂 應(yīng)用步長(zhǎng)逐次減半得到的復(fù)化梯形值 復(fù)化辛蒲生值 復(fù)化柯特斯值與精確值的比較 33 例將以上三個(gè)加速公式用于求 從表中可以看出三次加速求得R1 0 9460831每位數(shù)字都是有效數(shù)字 34 上述用若干個(gè)積分近似值算出更精確的積分近似值的方法 稱之為外推法 4個(gè)積分值序列 梯形值序列 辛蒲生值序列 龍貝格值序列 柯特斯值序列 35 外推法的計(jì)算步驟 36 例 利用龍貝格積分法式計(jì)算積分要求精確到小數(shù)點(diǎn)后面7位 解 根據(jù)龍貝格積分法計(jì)算得 37 具體結(jié)果見(jiàn)下表 38 精確值為0 91629073187415506518352721176801 39 2 6 2實(shí)現(xiàn)龍貝格積分法的基本步驟 1 輸入?yún)^(qū)間的端點(diǎn)的值 最大迭代次數(shù)以及容許誤差 2 計(jì)算區(qū)間的長(zhǎng)度 3 用梯形積分法計(jì)算積分近似值 4 對(duì)計(jì)算對(duì)計(jì)算 如果 則退出循環(huán) 5 如果 則繼續(xù) 否則輸出無(wú)解信息 轉(zhuǎn) 7 6 輸出的值 7 結(jié)束 39 40 本章小結(jié) 本章首先簡(jiǎn)要介紹了數(shù)值積分在實(shí)際應(yīng)用中的重要性 并對(duì)在本章中介紹的各種數(shù)值積分的基本思想作了詳細(xì)的說(shuō)明 作為數(shù)值積分的方法 介紹了梯形積分法 辛卜生積分法 變步長(zhǎng)積分法 牛頓 柯特斯積分法 高斯積分法 龍貝格積分法 梯形積分法和辛卜生積分法是最基本的求積方法 其不足之處是當(dāng)積分區(qū)間的長(zhǎng)度較大時(shí) 直接使用這兩種方法 則計(jì)算結(jié)果的精度難以滿足要求 因此 為了提高精度 引進(jìn)了不斷二等分每個(gè)子區(qū)間的變步長(zhǎng)梯形積分法和變步長(zhǎng)辛卜生積分法 牛頓 柯特斯積分法是一種可以獲得高精