高三數(shù)學(xué)1.2 簡易邏輯及充要條件課件.ppt

要點(diǎn)梳理1 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 1 命題中的 叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞 1 2簡易邏輯及充要條件 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 或 且 非 2 用來判斷復(fù)合命題的真假的真值表 真 真 假 真 假 真 真 假 假 真 真 假 假 2 四種命題及其關(guān)系 1 四種命題 若q 則p 2 四種命題間的逆否關(guān)系 3 四種命題的真假關(guān)系 兩個(gè)命題互為逆否命題 它們有 的真假性 兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題 它們的真假性 3 充分條件與必要條件 1 如果p q 則p是q的 q是p的 2 如果p q q p 則p是q的 相同 沒有關(guān)系 充分條件 必要條件 充要條件 基礎(chǔ)自測(cè)1 下列語句是命題的是 求證是無理數(shù) x2 4x 4 0 你是高一的學(xué)生嗎 一個(gè)正數(shù)不是素?cái)?shù)就是合數(shù) 若x r 則x2 4x 7 0 a b c d 解析 不是命題 是祈使句 是疑問句 而 是命題 其中 是假命題 如正數(shù)既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù) 是真命題 x2 4x 4 x 2 2 0恒成立 x2 4x 7 x 2 2 3 0恒成立 答案c 2 命題 若x2 y2 則x y 的逆否命題是 a 若xy 則x2 y2 c 若x y 則x2 y2 d 若x y 則x2 y2 c 3 2009 江西文 1 下列命題是真命題的為 a b 若x2 1 則x 1c 若x y 則d 若x y 則x2 y2解析得x y a正確 b c d錯(cuò)誤 a 4 如果命題 p或q 為假命題 則 a p q均為真命題 b p q均為假命題 c p q中至少有一個(gè)為真命題 d p q中至多有一個(gè)為真命題 解析由題意知p或q為真命題 p q中至少有一個(gè)為真命題 故選c c 5 2009 四川文 7 已知a b c d為實(shí)數(shù) 且c d 則 a b 是 a c b d 的 a 充分而不必要條件b 必要而不充分條件c 充要條件d 既不充分也不必要條件解析 c d cb a c與b d的大小無法比較 當(dāng)a c b d成立時(shí) 假設(shè)a b cb 綜上可知 a b 是 a c b d 的必要不充分條件 b 題型一命題的關(guān)系及命題真假的判斷 例1 分別寫出下列命題的逆命題 否命題 逆否命題 并判斷它們的真假 1 面積相等的兩個(gè)三角形是全等三角形 2 若q 1 則方程x2 2x q 0有實(shí)根 3 若x2 y2 0 則實(shí)數(shù)x y全為零 題型分類深度剖析 寫成 若p 則q 的形式 寫出逆命題 否命題 逆否命題 判斷真假 思維啟迪 解 1 逆命題 全等三角形的面積相等 真命題 否命題 面積不相等的兩個(gè)三角形不是全等三角形 真命題 逆否命題 兩個(gè)不全等的三角形的面積不相等 假命題 2 逆命題 若方程x2 2x q 0有實(shí)根 則q 1 假命題 否命題 若q 1 則方程x2 2x q 0無實(shí)根 假命題 逆否命題 若方程x2 2x q 0無實(shí)根 則q 1 真命題 3 逆命題 若實(shí)數(shù)x y全為零 則x2 y2 0 真命題 否命題 若x2 y2 0 則實(shí)數(shù)x y不全為零 真命題 逆否命題 若實(shí)數(shù)x y不全為零 則x2 y2 0 真命題 1 在寫一個(gè)命題的逆命題 否命題 逆否命題時(shí) 首先要看這個(gè)命題是否有大前提 若有大前提 必須保留其大前提 大前提不能動(dòng) 2 原命題和其逆否命題等價(jià) 探究提高 知能遷移1寫出下列命題的逆命題 否命題和逆否命題 并判斷其真假 1 若m n都是奇數(shù) 則m n是奇數(shù) 2 若x y 5 則x 3且y 2 解 1 逆命題 若m n是奇數(shù) 則m n都是奇數(shù) 假命題 否命題 若m n不都是奇數(shù) 則m n不是奇數(shù) 假命題 逆否命題 若m n不是奇數(shù) 則m n不都是奇數(shù) 假命題 2 逆命題 若x 3且y 2 則x y 5 真命題 否命題 若x y 5 則x 3或y 2 真命題 逆否命題 若x 3或y 2 則x y 5 假命題 題型二充要條件的判斷 例2 指出下列命題中 p是q的什么條件 在 充分不必要條件 必要不充分條件 充要條件 既不充分也不必要條件 中選出一種作答 1 在 abc中 p a b q sina sinb 2 對(duì)于實(shí)數(shù)x y p x y 8 q x 2或y 6 3 非空集合a b中 p x a b q x b 4 已知x y r p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 2 0 首先分清條件和結(jié)論 然后根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷 思維啟迪 解 1 在 abc中 a b sina sinb 反之 若sina sinb 因?yàn)閍與b不可能互補(bǔ) 因?yàn)槿切稳齻€(gè)內(nèi)角和為180 所以只有a b 故p是q的充要條件 2 易知 p x y 8 q x 2且y 6 顯然q p 但pq 即q是p的充分不必要條件 根據(jù)原命題和逆否命題的等價(jià)性知 p是q的充分不必要條件 3 顯然x a b不一定有x b 但x b一定有x a b 所以p是q的必要不充分條件 4 條件p x 1且y 2 條件q x 1或y 2 所以p q但qp 故p是q的充分不必要條件 探究提高判斷p是q的什么條件 需要從兩方面分析 一是由條件p能否推得條件q 二是由條件q能否推得條件p 對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題 除借助集合思想把抽象 復(fù)雜問題形象化 直觀化外 還可利用原命題和逆否命題 逆命題和否命題的等價(jià)性 轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題 知能遷移2 2009 安徽理 4 下列選項(xiàng)中 p是q的必要不充分條件的是 a p a c b d q a b且c db p a 1 b 1 q f x ax b a 0 且a 1 的圖象不過第二象限c p x 1 q x2 xd p a 1 q f x logax a 0 且a 1 在 0 上為增函數(shù) 解析a b c d a c b d 而a c b d卻不一定推出a b c d 故a中p是q的必要不充分條件 b中 當(dāng)a 1 b 1時(shí) 函數(shù)f x ax b不過第二象限 當(dāng)f x ax b不過第二象限時(shí) 有a 1 b 1 故b中p是q的充分不必要條件 c中 因?yàn)閤 1時(shí)有x2 x 但x2 x時(shí)不一定有x 1 故c中p是q的充分不必要條件 d中p是q的充要條件 答案a 題型三用 或 且 非 聯(lián)結(jié)簡單命題并判斷其真假 例3 寫出由下列各組命題構(gòu)成的 p或q p且q p 形式的復(fù)合命題 并判斷真假 1 p 1是質(zhì)數(shù) q 1是方程x2 2x 3 0的根 2 p 平行四邊形的對(duì)角線相等 q 平行四邊形的對(duì)角線互相垂直 3 p 0 q x x2 3x 5 0 r 4 p 5 5 q 27不是質(zhì)數(shù) 1 利用 或 且 非 把兩個(gè)命題聯(lián)結(jié)成新命題 2 根據(jù)命題p和命題q的真假判斷復(fù)合命題的真假 思維啟迪 解 1 p為假命題 q為真命題 p或q 1是質(zhì)數(shù)或是方程x2 2x 3 0的根 真命題 p且q 1既是質(zhì)數(shù)又是方程x2 2x 3 0的根 假命題 p 1不是質(zhì)數(shù) 真命題 2 p為假命題 q為假命題 p或q 平行四邊形的對(duì)角線相等或互相垂直 假命題 p且q 平行四邊形的對(duì)角線相等且互相垂直 假命題 p 有些平行四邊形的對(duì)角線不相等 真命題 3 0 p為假命題 q為真命題 p或q 0 或 x x2 3x 55 假命題 p或q p且q p 形式命題真假的判斷步驟 1 確定命題的構(gòu)成形式 2 判斷其中命題p q的真假 3 確定 p或q p且q p 形式命題的真假 探究提高 知能遷移3寫出由下列各組命題構(gòu)成的 p且q p或q p 形式的復(fù)合命題 并判斷真假 1 p 6 6 q 6 6 2 p 函數(shù)y x2 x 2的圖象與x軸沒有公共點(diǎn) q 方程x2 x 2 0沒有實(shí)根 解 1 p且q 6 6且6 6 假命題 p或q 6 6或6 6 真命題 p 6 6 真命題 2 p且q 函數(shù)y x2 x 2的圖象與x軸沒有公共點(diǎn) 且方程x2 x 2 0沒有實(shí)根 真命題 p或q 函數(shù)y x2 x 2的圖象與x軸沒有公共點(diǎn) 或方程x2 x 2 0沒有實(shí)根 真命題 p 函數(shù)y x2 x 2的圖象與x軸有公共點(diǎn) 假命題 題型四充要條件的證明 例4 12分 求證方程ax2 2x 1 0有且只有一個(gè)負(fù)數(shù)根的充要條件為a 0或a 1 1 注意討論a的不同取值情況 2 利用根的判別式求a的取值范圍 解題示范 證明充分性 當(dāng)a 0時(shí) 方程變?yōu)?x 1 0 其根為方程只有一負(fù)根 2分 當(dāng)a 1時(shí) 方程為x2 2x 1 0 其根為x 1 方程只有一負(fù)根 4分 當(dāng)a0 方程有兩個(gè)不相等的根 思維啟迪 證明充分性 當(dāng)a 0時(shí) 方程變?yōu)?x 1 0 其根為方程只有一負(fù)根 2分 當(dāng)a 1時(shí) 方程為x2 2x 1 0 其根為x 1 方程只有一負(fù)根 4分 當(dāng)a0 方程有兩個(gè)不相等的根 且 0 方程有一正一負(fù)根 6分 必要性 若方程ax2 2x 1 0有且僅有一負(fù)根 當(dāng)a 0時(shí) 適合條件 8分 當(dāng)a 0時(shí) 方程ax2 2x 1 0有實(shí)根 則 4 4a 0 a 1 當(dāng)a 1時(shí) 方程有一負(fù)根x 1 10分 若方程有且僅有一負(fù)根 綜上方程ax2 2x 1 0有且僅有一負(fù)根的充要條件為a 0或a 1 12分 探究提高 1 條件已知證明結(jié)論成立是充分性 結(jié)論已知推出條件成立是必要性 2 證明分為兩個(gè)環(huán)節(jié) 一是充分性 二是必要性 證明時(shí) 不要認(rèn)為它是推理過程的 雙向書寫 而應(yīng)該進(jìn)行由條件到結(jié)論 由結(jié)論到條件的兩次證明 3 證明時(shí)易出現(xiàn)必要性與充分性混淆的情形 這就要分清哪是條件 哪是結(jié)論 知能遷移4求證方程x2 ax 1 0的兩實(shí)根的平方和大于3的必要條件是 a 這個(gè)條件是其充分條件嗎 為什么 證明設(shè)x2 ax 1 0的兩實(shí)根為x1 x2 則平方和大于3的等價(jià)條件是 a 這個(gè)條件是必要條件但不是充分條件 思想方法感悟提高1 當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫出其它三種命題時(shí) 必須保留大前提 也就是大前提不動(dòng) 對(duì)于由多個(gè)并列條件組成的命題 在寫其它三種命題時(shí) 應(yīng)把其中一個(gè) 或n個(gè) 作為大前提 2 數(shù)學(xué)中的定義 公理 公式 定理都是命題 但命題與定理是有區(qū)別的 命題有真假之分 而定理都是真的 方法與技巧 3 命題的充要關(guān)系的判斷方法 1 定義法 直接判斷若 p則q 若q則p 的真假 2 等價(jià)法 即利用的等價(jià)關(guān)系 對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題 一般運(yùn)用等價(jià)法 3 利用集合間的包含關(guān)系判斷 若a b 則a是b的充分條件或b是a的必要條件 若a b 則a是b的充要條件 4 一些常用正面敘述的詞語及它的否定詞語列表如下 1 否命題是既否定命題的條件 又否定命題的結(jié)論 而命題的否定是只否定命題的結(jié)論 要注意區(qū)別 2 判斷p與q之間的關(guān)系時(shí) 要注意p與q之間關(guān)系的方向性 充分條件與必要條件方向正好相反 不要混淆 3 p或q為真命題 只需p q有一個(gè)為真即可 p且q為真命題 必須p q同時(shí)為真 失誤與防范 一 選擇題1 2009 重慶文 2 命題 若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù) 則它的平方是正數(shù) 的逆命題是 a 若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù) 則它的平方不是正數(shù) b 若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù) 則它是負(fù)數(shù) c 若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù) 則它的平方不是正數(shù) d 若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù) 則它不是負(fù)數(shù) b 定時(shí)檢測(cè) 2 2009 浙江理 2 已知a b是實(shí)數(shù) 則 a 0且b 0 是 a b 0且ab 0 的 a 充分而不必要條件b 必要而不充分條件c 充分必要條件d 既不充分也不必要條件解析當(dāng)a 0且b 0時(shí) 一定有a b 0且ab 0 反之 當(dāng)a b 0且ab 0時(shí) 一定有a 0 b 0 故 a 0且b 0 是 a b 0且ab 0 的充要條件 c 3 2008 廣東文 8 命題 若函數(shù)f x logax a 0 a 1 在其定義域內(nèi)是減函數(shù) 則loga20 a 1 在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)b 若loga20 a 1 在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)c 若loga2 0 則函數(shù)f x logax a 0 a 1 在其定義域內(nèi)是減函數(shù)d 若loga20 a 1 在其定義域內(nèi)是減函數(shù) 解析由互為逆否命題的關(guān)系可知 原命題的逆否命題為 若loga2 0 則函數(shù)f x logax a 0 a 1 在其定義域內(nèi)不是減函數(shù) 答案a 4 已知a x x 1 1 x r b x log2x 1 x r 則x a是x b的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充分必要條件d 既不充分也不必要條件解析a x x 2或x 0 b x x 2 x ax b 但x b x a b 5 2008 廣東理 6 已知命題p 所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù) 命題q 正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù) 則下列命題中為真命題的是 a p 或q b p且q c p 且 q d p 或 q 解析不難判斷命題p為真命題 命題q為假命題 從而上述敘述中只有 p 或 q 為真命題 d 6 2009 北京文 6 的 a 充分而不必要條件b 必要而不充分條件c 充分必要條件d 既不充分也不必要條件解析這說明外還可以取其他的值 所以的充分而不必要條件 a 二 填空題7 若 x 2 5 或x x x4 是假命題 則x的取值范圍是 解析x 2 5 且x x x4 是真命題 由得1 x 2 1 2 8 設(shè)p 4x 3 1 q x a x a 1 0 若p是q的充分不必要條件 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析p x 1 q a x a 1 易知p是q的真子集 9 2009 江蘇 12 設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面 給出下列命題 若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線 則平行于 若外一條直線l與內(nèi)的一條直線平行 則l和平行