2拋物線(二次函數(shù))中的直角三角形.doc

拋物線中的直角三角形基本題型：已知，拋物線，點在拋物線上（或坐標(biāo)軸上，或拋物線的對稱軸上），若為直角三角形，求點坐標(biāo)。分兩大類進行討論：（1）為斜邊時（即）：點在以為直徑的圓周上。（2）為直角邊時，分兩類討論：以為直角時（即）：以為直角時（即）：利用兩點的斜率公式求出，因為兩直線垂直斜率乘積為，進而求出（或）的斜率；進而求出（或）的解析式；將（或）的解析式與拋物線（或坐標(biāo)軸，或拋物線的對稱軸）的解析式聯(lián)立即可求出點坐標(biāo)。典型例題：例1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C，其頂點為M,若直線MC的函數(shù)表達式為,與x軸的交點為N，且COSBCO。（1）求拋物線的解析式； (2)在此拋物線上是否存在異于點C的點P，使以N、P、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由； (3)過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q.若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度?向下最多可平移多少個單位長度?（2009年成都）例2、如圖，拋物線，與軸交于點，且（I）求拋物線的解析式；（II）探究坐標(biāo)軸上是否存在點，使得以點為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由； （III）直線交軸于點，為拋物線頂點若，的值例3、在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示，拋物線經(jīng)過點B。（1）求點B的坐標(biāo)； （2）求拋物線的解析式； （3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。同步訓(xùn)練：1、(淮安)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中二次函數(shù)圖象的頂點為P，與x軸交點為 A、B，與y軸交點為C連結(jié)BP并延長交y軸于點D。 (1)寫出點P的坐標(biāo)； (2)連結(jié)AP，如果APB為等腰直角三角形，求a的值及點C、D的坐標(biāo)； (3)在(2)的條件下，連結(jié)BC、AC、AD，點E(0，b)在線段CD(端點C、D除外)上,將BCD繞點E逆時針方向旋轉(zhuǎn)90，得到一個新三角形設(shè)該三角形與ACD重疊部分的面積為S，根據(jù)不同情況，分別用含b的代數(shù)式表示S選擇其中一種情況給出解答過程，其它情況直接寫出結(jié)果；判斷當(dāng)b為何值時,重疊部分的面積最大?寫出最大值2（福建寧德市）、如圖，已知拋物線C1：的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標(biāo)是1（1）求P點坐標(biāo)及a的值； （2）如圖（1），拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當(dāng)點P、M關(guān)于點B成中心對稱時，求C3的解析式；（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C1繞點Q旋轉(zhuǎn)180后得到拋物線C4拋物線C4的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當(dāng)以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標(biāo) yxAOBPN圖2C1C4QEF圖（2）yxAOBPM圖1C1C2C3圖（1） 3、如圖14（1），拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，）圖14（2）、圖14（3）為解答備用圖（1），點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為；（2）設(shè)拋物線的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）在拋物線上求點Q，使BCQ是以BC為直角邊的直角三角形圖14（1）圖14（2）圖14（3）4、（2011潼南縣）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，拋物線的頂點為D（1）求b，c的值；（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（點A、B除外），過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當(dāng)線段EF的長度最大時，求點E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積；在拋物線上是否存在一點P，使EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由5（遼寧省營口市）如圖，正方形ABCO的邊長為，以O(shè)為原點建立平面直角坐標(biāo)系，點A在x軸的負(fù)半軸上，點C在y軸的正半軸上，把正方形ABCO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形A1B1C1O(45)，B1C1交y軸于點D，且D為B1C1的中點，拋物線yax 2bxc過點A1、B1、C1（1）求tan的值；（2）求點A1的坐標(biāo)，并直接寫出點B1、點C1的坐標(biāo)；（3）求拋物線的函數(shù)表達式及其對稱軸；（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使PB1C1為直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由BAyOCxA1B1C1D6（四川省眉山市）如圖，已知直線yx1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線yx 2bxc與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標(biāo)為(1，0)（1）求該拋物線的解析式；（2）動點P在x軸上移動，當(dāng)PAE是直角三角形時，求點P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AMMC|的值最大，求出點M的坐標(biāo)yxCBADOEy7（福建省三明市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查）如圖，拋物線yax 2bx2與x軸的交點是A(3，0)、B(6，0)，與y軸的交點是C（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）設(shè)P(x，y)(0 x 6)是拋物線上的動點，過點P作PQy軸交直線BC于點Q當(dāng)取何值時，線段PQ的長度取得最大值？其最大值是多少？yAOBPxCQ是否存在這樣的點P，使OAQ為直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由8如圖（1），拋物線與y軸交于點A，E（0，b）為y軸上一動點，過點E的直線與拋物線交于點B、C.（1）求點A的坐標(biāo)；（2)當(dāng)b=0時（如圖（2），與的面積大小關(guān)系如何？當(dāng)時，上述關(guān)系還成立嗎，為什么？（3）是否存在這樣的b，使得是以BC為斜邊的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，說明理由. 圖（1）圖（2）例一答案：例三：（1）過點作軸，垂足為，； 又， 3分點的坐標(biāo)為；（2）拋物線經(jīng)過點，則得到，解得，所以拋物線的解析式為； （3）假設(shè)存在點，使得仍然是以為直角邊的等腰直角三角形：若以點為直角頂點；則延長至點，使得，得到等腰直角三角形， 過點作軸，；，可求得點； 若以點為直角頂點；則過點作，且使得，得到等腰直角三角形， 過點作軸，同理可證； ，可求得點； 經(jīng)檢驗，點與點都在拋物線上 練習(xí)2：解：（1）由拋物線C1：y=a（x+2）2-5得，頂點P的為（-2，-5），（2分）點B（1，0）在拋物線C1上，0=a（x+2）2-5，解得，a=59；（4分）（2）拋物線C2是由拋物線C1繞點B旋轉(zhuǎn)180得到的，P點坐標(biāo)為（-2，-5）頂點M的坐標(biāo)為（4，5）設(shè)拋物線C2的解析式為：y=a（x-4）2+5，又拋物線C2過點B（1，0），代入B點解得：a=-59，故C2的解析式為：y=-59（x-4）2+5（3）拋物線C3由C1繞點x軸上的點Q旋轉(zhuǎn)180得到，頂點N、P關(guān)于點Q成中心對，點N的縱坐標(biāo)為5，設(shè)點N坐標(biāo)為（m，5），（9分）作PHx軸于H，作NGx軸于G作PKNG于K，旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上，EF=AB=2BH=6，F(xiàn)G=3，點F坐標(biāo)為（m+3，0）H坐標(biāo)為（-2，0），K坐標(biāo)為（m，-5），根據(jù)勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，（10分）PNF=90時，PN2+NF2=PF2，解得m=443，Q點坐標(biāo)為（ 193，0）當(dāng)PFN=90時，PF2+NF2=PN2，解得m=103，Q點坐標(biāo)為（ 23，0）PNNK=10NF，NPF90綜上所得，當(dāng)Q點坐標(biāo)為（ 193，0）或（ 23，0）時，以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形練習(xí)4：解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（1，0），B（4，5），&1b+c=0&16+4b+c=5，解得：b=2，c=3；（2）如圖：直線AB經(jīng)過點A（1，0），B（4，5），直線AB的解析式為：y=x+1，二次函數(shù)y=x22x3，設(shè)點E（t，t+1），則F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）=（t32）2+254，當(dāng)t=32時，EF的最大值為254，點E的坐標(biāo)為（32，52）；（3）如圖：順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD可求出點F的坐標(biāo)（32，154），點D的坐標(biāo)為（1，4）S四邊形EBFD=SBEF+SDEF=12254（432）+12254（321）=758；如圖：）過點E作aEF交拋物線于點P，設(shè)點P（m，m22m3）則有：m22m