考研數(shù)學線代真題—矩陣.docx

點這里，看更多數(shù)學資料2017考研已經(jīng)拉開序幕，很多考生不知道如何選擇適合自己的考研復習資料。中公考研輔導老師為考生準備了【線性代數(shù)-矩陣知識點講解和習題】，希望可以助考生一臂之力。同時中公考研特為廣大學子推出考研集訓營、專業(yè)課輔導、精品網(wǎng)課、vip1對1等課程，針對每一個科目要點進行深入的指導分析，歡迎各位考生了解咨詢。第二章 矩陣綜述：矩陣是線性代數(shù)中最基本的內(nèi)容，線性代數(shù)中絕大多數(shù)運算都是通過矩陣進行的。本章相關(guān)的概念和運算貫穿整個學科，在后續(xù)章節(jié)中有很重要的運用?？荚囍苯涌疾楸菊碌闹R點以選擇題或填空題為主，平均每年1到2道。但實質(zhì)上，線性代數(shù)中基本上沒有題目不涉及到矩陣以及矩陣的運算的。因此，本章的復習效果在很大程度上決定了整個學科復習的成敗。本章的主要知識點有：矩陣的概念，矩陣的各種運算及其法則，逆矩陣的概念，伴隨矩陣的概念，伴隨矩陣和逆矩陣的關(guān)系以及矩陣可逆的充要條件，初等變換與初等矩陣，利用初等行變換計算逆矩陣，矩陣的等價，矩陣的秩。復習時要以矩陣的運算為線索，系統(tǒng)把握所有知識點。矩陣的運算中，核心的是矩陣的乘法，要特別注意與乘法相關(guān)的各種特殊的運算規(guī)律：如交換律和結(jié)合律都不成立。本章考查最多的考點是逆矩陣，這一部分可以從三個方面來把握:一是它的定義，二是它與伴隨矩陣的關(guān)系，三是利用初等變換計算逆矩陣的方法。最后，對于矩陣的秩，要著重理解它的定義，理解它和行列式以及矩陣的可逆性的關(guān)系。本章常考的題型有：1.對矩陣的運算的考查，2.對逆矩陣的考查，3.初等變換，4.矩陣方程，5.矩陣的秩，6.矩陣的分塊。常考題型一：矩陣的運算1.【19941 3分】已知，設，其中是的轉(zhuǎn)置，則_.2.【19993 3分】設，而為正整數(shù)，則_.3（2003-2 4分）設為3維列向量，是的轉(zhuǎn)置. 若，則= .【小結(jié)】：對于可以寫成形式的矩陣，利用矩陣乘法的結(jié)合律，都有和本題類似的結(jié)論：，其中。常考題型二：逆矩陣（1）利用定義計算逆矩陣4.【20011 3分】設矩陣滿足，其中為單位矩陣，則_.5.【20002 3分】設，為4階單位矩陣，且，則_6.【20033 4分】設n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣， ，其中A的逆矩陣為B，則 = .7（2002-2 6分）已知為3 階矩陣，且滿足,其中是3階單位矩陣.(1) 證明：矩陣可逆；(2) 若,求矩陣8.(1997-3 3分)設為同階可逆矩陣,則 ( )(A) (B) 存在可逆矩陣,使(C) 存在可逆矩陣,使 (D) 存在可逆矩陣和,使【小結(jié)】：一般地，若方陣滿足，則對任何常數(shù)，總可湊出分解式：，這里，若常數(shù)，則可逆，且有。需要考生注意的是，對于一般的矩陣，公式不一定成立。該公式成立的充要條件是可交換。（2）矩陣可逆的充要條件9.【19971 3分】設，為三階非零矩陣，且，則_.10.【2008123 4分】設為階非零矩陣，為階單位矩陣. 若，則（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆. 11.【19973 6分】設為階非奇異矩陣，為維列向量，為常數(shù).記分塊矩陣，其中，是矩陣的伴隨矩陣，為階單位矩陣. （1）計算并化簡;（2）證明：矩陣可逆的充分必要條件是.12.【19961 7分】設，其中是階單位矩陣，是維列向量，是的轉(zhuǎn)置，證明：的充分必要條件是；當時，是不可逆矩陣.【小結(jié)】：證明矩陣不可逆的方法：1）證明；2）反證法；3）證明不滿秩；4）證明有非零解；5）證明是的特征值。（3）伴隨矩陣13.【19941 6分】設為階非零實方陣，是的伴隨矩陣，是的轉(zhuǎn)置矩陣，當時，證明.14.【2009123 4分】設、均為階矩陣，、分別為、的伴隨矩陣，若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（ ）15.【19963 3分】設階矩陣非奇異，是的伴隨矩陣，則( ). . 16.【19953 3分】設,是的伴隨矩陣，則_.17.【20053 4分】設矩陣A= 滿足，其中是A的伴隨矩陣，為A的轉(zhuǎn)置矩陣. 若為三個相等的正數(shù)，則為( )(A) (B) 3 (C) (D) 18.【2013123 4分】設是三階非零矩陣，為A的行列式，為的代數(shù)余子式，若19.【19982 3分】設是任一階方陣,是其伴隨矩陣,又為常數(shù),且,則必有 ( )(A) (B) (C) (D) 【小結(jié)】：伴隨矩陣是本章的一個難點，復習時應該從三個方面來把握它：一是它的定義，它在低階的情況及需要討論伴隨矩陣的相關(guān)性質(zhì)時有很大的作用；二是它最重要的性質(zhì)：；三是當矩陣可逆時，這個公式運用起來最方便，但是要注意必須在確保矩陣可逆時才能使用。?？碱}型三：初等矩陣20.【19951 3分】設，則必有（ ）21.【200412 4分】設是階方陣，將的第列與第列交換得到，再把的第列加到第列得，則滿足的可逆矩陣為（ ）22.【2006123 4分】設為階矩陣，將的第行加到第行得，再將的第列的倍加到第列得，記，則（ ）23.【200512 4分】設為階可逆矩陣，交換的第行與第行得矩陣，、分別為、的伴隨矩陣，則（ ）交換的第列與第列得交換的第行與第行得交換的第列與第列得交換的第行與第行得24.【19971 5分】是階可逆方陣，將的第行和第行對換后得到矩陣.（1）證明可逆；（2）求.25.【200923 4分】設均為3階矩陣，為的轉(zhuǎn)置矩陣，且，若，則 為（ ）26.【20013 3分】設，其中可逆，則等于( )27. 【2012123 4分】設為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，則（ ）（A）（B）（C） （D）28.（2011-13 4分）設為3階矩陣，將的第2列加到第1列得矩陣，再交換的第2行與第3行得單位矩陣，記，則( ) (A) (B) (C) (D) ?？碱}型四：矩陣方程29.【19972 5分】且其中是三階單位矩陣，求矩陣30.【19982 5分】設，其中是4階單位矩陣，是4階矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，,求.31.【19992 6分】設矩陣，矩陣滿足，其中是的伴隨矩陣，求矩陣.32.【19951 3分】設三階方陣、滿足關(guān)系式：,且,則_.33.【20001 6分】設矩陣的伴隨矩陣且，其中是階單位矩陣，求矩陣.34.【20012 6分】已知且滿，其中是階單位矩陣，求35.【19983 3分】設矩陣滿足，其中,為單位矩陣，為的伴隨矩陣，則_.36.（2015-23 11分）設矩陣，且（）求的值（）若矩陣滿足，其中為3階單位矩陣，求【小結(jié)】：1.求解矩陣方程是對矩陣運算的綜合應用。求解的基本思路是將方程經(jīng)過矩陣的運算法則改變?yōu)橄铝腥N基本形式之一：2一般來說，拿到一個矩陣方程之后，首先應該先將方程化為三種基本形式之一，在這個過程中應該注意結(jié)合題目中的條件，盡可能地簡化計算。3計算時，要注意矩陣乘法的次序，是左乘還是右乘，不要混淆。常考題型五：矩陣的秩37.【2007123 4分】設矩陣，則的秩為_.38.【20101 4分】設A為矩陣, B為 矩陣, A為階單位矩陣, 若 則( ), , , , 39.【19961 3分】設是矩陣，且的秩,而,則_.40.【19983 3分】設階矩陣，若矩陣的秩為，則必為( )41.【20011 3分】設矩陣，且，則_42.【20043 4分】設階矩陣與等價, 則必有( ) 當時, . 當時, .當時, . 當時, . 43.【19973 3分】設為同階可逆矩陣，則( )存在可逆矩陣，使存在可逆矩陣，使存在可逆矩陣和，使44(1998-3 3分)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為.若存在三階矩陣使得,則 ( )(A)且(B) 且(C) 且(D) 且45.（1999-1 3分）設A 是矩陣， B 是矩陣，則(A)當時，必有行列式 (B)當時，必有行列式(C)當時，必有行列式 (D)當時，必有行列式46.（2008-12 10分），是三維列向量，為的轉(zhuǎn)置，為的轉(zhuǎn)置(I) 證；(II) 若線性相關(guān)，則.47.(2003-3 4分)設三階矩陣，若的伴隨矩陣的秩為1，則必有 ( )(A) 或. (B) 或.(C) 且. (D) 且. ?？碱}型六：矩陣的分塊48.【20011 8分】已知階矩陣與維向量，使得向量組線性無關(guān)，且滿足.（1）記，求階矩陣，使；（2）計算行列式.【小結(jié)】：矩陣分塊的基本思想就是把子矩陣當做矩陣的元素進行運算，矩陣分塊中一種重要的形式是矩陣按列的分塊：，其中分別表示矩陣的到列（矩陣按行的分塊類似）。考生需要熟悉與這種分方式相關(guān)塊的各種運算：，。參考答案：常考題型一：矩陣的運算1.【19941 3分】【答案】2.【19993 3分】【答案】（階零矩陣）3.【20032 4分】【答案】?？碱}型二：逆矩陣（1）利用定義計算逆矩陣4.【20011 3分】【答案】5.【20002 3分】【答案】6.【20033 4分】【答案】：7.【20022 4分】【答案】：8.【19973 3分】【答案】：（2）矩陣可逆的充要條件9.【19971 3分】【答案】10.【2008123 4分】【答案】C11.【19973 6分】【答案】：（1）12.【19961 7分】【答案】：略3伴隨矩陣13.【19941 6分】【答案】：略14.【2009123 4分】【答案】15.【19963 3分】【答案】16.【19953 3分】【答案】17.【20053 4分】【答案】18.【2013123 4分】【答案】19.【19982 3分】【答案】?？碱}型三：初等變換20.【19951 3分】【答案】21.【200412 4分】【答案】22.【200613 4分】【答案】23.【200512 4分】【答案】24.【19971 5分】【答案】（1）因及，故可逆.（2）.25.【200923 4分】【答案】26.【20013 3分】【答案】27【2012123 4分】【答案】28【201113 4分】【答案】?？碱}型四：矩陣方程29.【19972 5分】【答案】=30.【19982 5分】【答案】.31.【19992 6分】【答案】.32.【19951 3分】【答案】33.【20001 6分】【答案】.34.【20012 6分】【答案】.35.【19983 3分】【答案】36.【201523 11分】【答案】?？碱}型五：矩陣的秩37.【2007123 4分】【答案】38.【20101 4分】【答案】A39.【19961 3分】【答案】40.【19983 3分】【答案】41.【20011 3分】【答案】42.【20043