北師大版選修21 3.1.1.2 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程習(xí)題課 作業(yè).docx

第2課時橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程習(xí)題課1.已知abc的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)a(-4,0),b(4,0),abc的周長為18,則頂點(diǎn)c的軌跡方程為()a.x225+y29=1b.y225+x29=1(y0)c.x216+y29=1(y0)d.x225+y29=1(y0)解析:頂點(diǎn)c到兩個定點(diǎn)a,b的距離和為18-8=108,由橢圓的定義可得軌跡方程,但要注意abc成立的條件.答案:d2.已知橢圓的焦點(diǎn)是f1,f2,p是橢圓上的一個動點(diǎn),如果延長f1p到q,使得|pq|=|pf2|,那么動點(diǎn)q的軌跡是()a.圓b.橢圓c.拋物線d.無法確定解析:由題意得|pf1|+|pf2|=2a(a為大于零的常數(shù),且2a|f1f2|),|pq|=|pf2|,|pf1|+|pf2|=|pf1|+|pq|=2a,即|f1q|=2a.動點(diǎn)q到定點(diǎn)f1的距離等于定長2a,故動點(diǎn)q的軌跡是圓.答案:a3.已知f1(-1,0),f2(1,0)是橢圓的兩個焦點(diǎn),過f1的直線l交橢圓于m,n兩點(diǎn),若mf2n的周長為8,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x24+y23=1b.y24+x23=1c.x216+y215=1d.y216+x215=1解析:根據(jù)橢圓定義可得mf2n的周長為4a=8,得a=2,b2=4-1=3,且焦點(diǎn)在x軸上,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1,故選a.答案:a4.已知兩橢圓ax2+y2=8與9x2+25y2=100的焦距相等,則a的值為()a.9或917b.34或32c.9或34d.917或32解析:由9x2+25y2=100,得c=83.由ax2+y2=8,得x28a+y28=1,當(dāng)a1時,8-8a=649,解得a=9.當(dāng)0a1時,8a-8=649,解得a=917.答案:a5.點(diǎn)p在橢圓x24+y23=1上運(yùn)動,q,r分別在圓(x+1)2+y2=1和(x-1)2+y2=1上運(yùn)動,則|pq|+|pr|的取值范圍是()a.0,6b.2,6c.0,8d.4,8解析:橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是f1(-1,0),f2(1,0),則兩個已知圓的圓心即橢圓的焦點(diǎn),因此|pq|+|pr|的最大值是|pf1|+|pf2|+2=4+2=6,最小值是|pf1|+|pf2|-2=4-2=2.故選b.答案:b6.設(shè)f1,f2分別是橢圓x225+y216=1的左、右焦點(diǎn),p為橢圓上任一點(diǎn),點(diǎn)m的坐標(biāo)為(6,4),則|pm|+|pf1|的最大值是()a.5b.10c.15d.20解析:|pf1|+|pf2|=10,|pf1|=10-|pf2|,|pm|+|pf1|=10+|pm|-|pf2|.由題意,點(diǎn)m在橢圓外,連接mf2,并延長交橢圓于點(diǎn)p,此時|pm|-|pf2|取最大值|mf2|,故|pm|+|pf1|的最大值為10+|mf2|=10+(6-3)2+42=15,故選c.答案:c7.如圖所示,f1,f2分別為橢圓x2a2+y2b2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)p在橢圓上,pof2是面積為3的正三角形,則b2等于.解析:充分利用正三角形的邊、角性質(zhì),spof2=12|op|of2|sin 60=3,得到c2=4,c=2,所以p(1,3),把p點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程求得b2=23.答案:238.橢圓x212+y23=1的一個焦點(diǎn)為f1,點(diǎn)p在橢圓上.如果線段pf1的中點(diǎn)m在y軸上,那么點(diǎn)m的縱坐標(biāo)是.解析:(方法一)不妨設(shè)f1(-3,0),p(x0,y0),則-3+x02=0,x0=3.點(diǎn)p在橢圓上,x0212+y023=1,解得y0=32,故點(diǎn)m的縱坐標(biāo)是34.(方法二)設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為f2,連接pf2,點(diǎn)m,o分別是pf1,f1f2的中點(diǎn),om12pf2,pf2x軸.由x212+y23=1,得c=3.f2(3,0).設(shè)p(3,y0),則m0,y02.點(diǎn)p在橢圓上,912+y023=1,解得y0=32,點(diǎn)m的縱坐標(biāo)是34.答案:349.橢圓的兩焦點(diǎn)為f1(-4,0),f2(4,0),點(diǎn)p在橢圓上,若pf1f2的面積最大為12,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解析:當(dāng)pf1f2面積最大時,spf1f2=128b=12,b=3,又c=4,a2=b2+c2=25,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x225+y29=1.答案:x225+y29=110.如圖所示,設(shè)p是圓x2+y2=25上的動點(diǎn),點(diǎn)d是p在x軸上的投影,m為pd上一點(diǎn),且|md|=45|pd|.當(dāng)點(diǎn)p在圓上運(yùn)動時,求點(diǎn)m的軌跡c的方程.解設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)是(x,y),點(diǎn)p的坐標(biāo)是(xp,yp),因?yàn)辄c(diǎn)d是點(diǎn)p在x軸上的投影,m為pd上一點(diǎn),且|md|=45|pd|,所以xp=x,且yp=54y.因?yàn)辄c(diǎn)p在圓x2+y2=25上,所以x2+54y2=25,整理,得x225+y216=1,即點(diǎn)m的軌跡c的方程是x225+y216=1.11.如圖,已知p是橢圓x24+y2=1上的一點(diǎn),f1,f2是橢圓的兩個焦點(diǎn).(1)當(dāng)f1pf2=60時,求f1pf2的面積;(2)當(dāng)f1pf2為鈍角時,求點(diǎn)p橫坐標(biāo)的取值范圍.解(1)由橢圓的定義,得|pf1|+|pf2|=4,f1(-3,0),f2(3,0).在f1pf2中,由余弦定理,得|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos 60.由得|pf1|pf2|=43.所以spf1f2=12|pf1|pf2|sinf1pf2=33.(2)設(shè)點(diǎn)p(x,y),由已知f1pf2為鈍角,得pf1pf20,即(-3-x,-y)(3-x,-y)0,又y2=1-x24,所以34x22,解得-263