小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第四單元梳理.doc

小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第四單元簡(jiǎn)易方程 教材梳理1、 本單元的教學(xué)內(nèi)容本單元的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容是用字母表示數(shù)和解簡(jiǎn)易方程，以及簡(jiǎn)易方程在解決一些實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用。 二、本單元的教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)用字母表示數(shù)的意義和作用，能夠用字母表示學(xué)過(guò)的運(yùn)算定律和計(jì)算公式，能夠在具體的情境中用字母表示常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系。初步學(xué)會(huì)根據(jù)字母所取的值，求含有字母式子的值。2.使學(xué)生初步了解方程的意義，初步理解等式的基本性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)易方程。3.使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，初步學(xué)會(huì)列方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)具體情況，靈活選擇算法的意識(shí)和能力。三、本單元的教學(xué)意義一是有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性。因?yàn)閷?duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，從具體事物的個(gè)數(shù)抽象出數(shù)是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍，現(xiàn)在由具體的、確定的數(shù)過(guò)渡到用字母表示抽象的、可變的數(shù)，更是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍。而且，在用字母表示未知數(shù)的基礎(chǔ)上，使學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具，從列出算式解發(fā)展到列出方程解，這又是數(shù)學(xué)思想方法認(rèn)識(shí)上的一次飛躍，它將使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力提高到一個(gè)新的水平。二是有助于鞏固和加深理解所學(xué)的算術(shù)知識(shí)。通過(guò)用字母表示所學(xué)過(guò)的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律以及一些圖形的周長(zhǎng)、面積計(jì)算公式，可以使學(xué)生加深對(duì)這些知識(shí)的理解。同時(shí)，由于用字母表示比用文字表述更簡(jiǎn)明易記，所以便于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)。三是有利于加強(qiáng)中小學(xué)數(shù)學(xué)的銜接。讓學(xué)生初步接觸一點(diǎn)代數(shù)知識(shí)，能使學(xué)生擺脫算術(shù)思維方法中的某些局限性（算術(shù)思維方法屬于逆向思考，未知數(shù)不參加運(yùn)算，等于缺少一個(gè)條件，思維的步驟增加），為進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)做好認(rèn)識(shí)的準(zhǔn)備和鋪墊。四、本單元具體內(nèi)容分析從總體上看本單元的內(nèi)容可分為兩節(jié)，第一節(jié)的主要內(nèi)容是用字母表示數(shù)、表示運(yùn)算定律、計(jì)算公式和數(shù)量關(guān)系。第二節(jié)的主要內(nèi)容是方程的意義，等式的基本性質(zhì)和解簡(jiǎn)易方程，以及列方程解決一些比較簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。這些內(nèi)容的編排體系如下表。（ppt1）從上表可以看出，兩節(jié)教材的四部分內(nèi)容具有內(nèi)在的邏輯聯(lián)系。用“字母表示數(shù)”是學(xué)習(xí)方程的基礎(chǔ)，“方程的意義”是學(xué)習(xí)“解方程”的基礎(chǔ)，“稍復(fù)雜的方程”則是“解方程”的發(fā)展。1、 用字母表示數(shù)（第4452頁(yè)）本節(jié)教學(xué)用字母表示數(shù)。這是學(xué)習(xí)代數(shù)初步知識(shí)的起步。在算術(shù)里，人們只對(duì)一些具體的、個(gè)別的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究，引入用字母表示數(shù)后，就可以表達(dá)、研究具有更普遍意義的數(shù)量關(guān)系?？梢哉f(shuō)，學(xué)習(xí)代數(shù)就是從學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)開(kāi)始的。本節(jié)教材共編排了四道例題。四道例題不僅層層遞進(jìn)，而且各有重點(diǎn)，處理得相當(dāng)細(xì)膩。例1，著重由符號(hào)表示數(shù)，過(guò)渡到用字母表示數(shù)。三道題作為正式學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)的開(kāi)始，承接學(xué)生的已有基礎(chǔ)，通過(guò)多種形式，由符號(hào)表示數(shù)到用字母表示數(shù)，以豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)。其共同點(diǎn)是這里的符號(hào)或字母都表示一個(gè)特定的、具體的數(shù)，如第（3）題中的m表示8。教學(xué)時(shí)，可以三題同時(shí)讓學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試找出規(guī)律，寫(xiě)出未知數(shù)的值，再交流。小結(jié)時(shí)，可以提問(wèn)：這三道題都是用圖形或字母表示什么？然后指出：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用字母來(lái)表示數(shù)。進(jìn)而，讓學(xué)生考慮課本提出的問(wèn)題：你還見(jiàn)過(guò)哪些用符號(hào)或字母表示數(shù)的例子？由此引出例2。 例2，在教學(xué)用字母表示運(yùn)算定律的同時(shí)，介紹含字母式子中省略乘號(hào)的書(shū)寫(xiě)方法。（1）例2要求學(xué)生把學(xué)過(guò)的運(yùn)算定律用字母表示出來(lái)。課本以乘法交換律為例，說(shuō)明用字母表示的優(yōu)點(diǎn)，并介紹字母相乘的習(xí)慣寫(xiě)法。教學(xué)中，要特別注意引導(dǎo)體會(huì)同樣一條運(yùn)算定律，用文字語(yǔ)言敘述比較麻煩，有時(shí)還不容易說(shuō)清楚，如用字母表示，則一目了然，簡(jiǎn)明易記，也便于應(yīng)用。為此，可以適當(dāng)加以板書(shū)。比如，以乘法分配律為例。用語(yǔ)言表達(dá)：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把所得的積相加。用字母表示：（a+b）c=ac+bc，這樣形成鮮明、強(qiáng)烈的對(duì)比，使學(xué)生感悟用字母表示的優(yōu)勢(shì)。還應(yīng)當(dāng)提出問(wèn)題：這里的a、b、c可以表示哪些數(shù)？使學(xué)生明確，這三個(gè)字母可以分別表示我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的任何數(shù)。對(duì)于書(shū)寫(xiě)的規(guī)定，這里可以只介紹：字母中間的乘號(hào)可以省略不寫(xiě)，或記作“”同時(shí)強(qiáng)調(diào)字母中間的其他運(yùn)算符號(hào)不能省略。至于其他書(shū)寫(xiě)規(guī)定，待后面出現(xiàn)時(shí)再介紹。例3，在教學(xué)用字母表示計(jì)算公式的同時(shí)，介紹“平方”的書(shū)寫(xiě)方法以及數(shù)與字母相乘的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣，進(jìn)而教學(xué)代入求值。（1）教學(xué)例3第（1）題時(shí)，可讓學(xué)生先用語(yǔ)言敘述長(zhǎng)方形，正方形面積和周長(zhǎng)的計(jì)算方法。然后引進(jìn)字母，即通常用S表示面積，用C表示周長(zhǎng)，用a表示正方形的邊長(zhǎng)和長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，用b表示長(zhǎng)方形的寬。讓學(xué)生先自己嘗試用字母表示正方形的面積和周長(zhǎng)的計(jì)算方法，再翻書(shū)看課本是怎樣表示的。當(dāng)然也可以由教師講解有關(guān)的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣。（2）關(guān)于“平方”的表示方法，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)a2的含義，它與2a的區(qū)別。即a2表示兩個(gè)a相乘，是aa2a表示兩個(gè)a相加，是aa這部分知識(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)容易混淆的。也可以適當(dāng)補(bǔ)充一些口算練習(xí)，如32、 52、62等，以幫助學(xué)生理解。但在本單元中，數(shù)的平方只要求學(xué)生在書(shū)寫(xiě)正方形面積計(jì)算公式時(shí)運(yùn)用，代入求值時(shí)，可與課本一樣寫(xiě)成66。將數(shù)據(jù)代入公式求值時(shí)，要注意提醒學(xué)生，省略的乘號(hào)要還原。如當(dāng)a=6時(shí)，4a=46。 （3）教學(xué)例3第（2）題時(shí)，可以采用學(xué)生自學(xué)的形式。這里有必要指出，計(jì)算得數(shù)的單位名稱(chēng)只要寫(xiě)在答句里就行了。例4，著重教學(xué)用含有字母的式子表示數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，并繼續(xù)學(xué)習(xí)代入求值。用字母表示數(shù)，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，是比較抽象的。特別是用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系，更感困難一些。例如，已知父親年齡比女兒大30歲，用a表示女兒歲數(shù)，那么a+30既表示父親歲數(shù)總是比女兒歲數(shù)大30的年齡關(guān)系，又表示父親的歲數(shù)。這是學(xué)生初學(xué)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。首先，他們要理解父親與女兒年齡之間的關(guān)系，把用語(yǔ)言敘述的這一關(guān)系改用含有字母的式子表示；其次，他們往往不習(xí)慣將a+30視為一個(gè)量，常有學(xué)生認(rèn)為這是一個(gè)式子，不是結(jié)果。而用一個(gè)式子表示一個(gè)量恰恰是學(xué)習(xí)列方程不可或缺的一個(gè)基礎(chǔ)。 同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考：這里的a可以表示哪些數(shù)，a能是200嗎？通過(guò)回答，使學(xué)生明確，在一個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，字母的取值范圍是由實(shí)際情況決定的。 例4第（2）小題，是用一個(gè)式子表示一個(gè)量的進(jìn)一步擴(kuò)展，即：用一個(gè)含未知數(shù)的乘法式子表示一個(gè)量，我們?cè)诮虒W(xué)中還可以滲透用含未知數(shù)的減法、除法式子來(lái)表示一個(gè)量，加深學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的理解。（配合練習(xí)有51也頁(yè)的8、9題）2. 解簡(jiǎn)易方程（第5376頁(yè)）本節(jié)教材包括方程的意義、解方程和稍復(fù)雜的方程三部分內(nèi)容。其中較簡(jiǎn)單的方程，只要通過(guò)一次變形，即在方程兩邊同時(shí)加上或減去、乘上或除以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，就能求出x的值。稍復(fù)雜的方程，則需要兩次變形，才能求出x的值。如果說(shuō)學(xué)習(xí)的目的全在于應(yīng)用，那么學(xué)習(xí)方程的目的也是如此。因此，學(xué)習(xí)列方程解決實(shí)際問(wèn)題與學(xué)習(xí)解方程一樣，是本單元的學(xué)習(xí)重點(diǎn)。具體分析：1.（1）方程的意義（53頁(yè)）：即：方程是含有未知數(shù)的等式，因此教學(xué)方程的概念要從等式引入。教材采用連環(huán)畫(huà)的形式，首先通過(guò)天平演示，說(shuō)明天平平衡的條件是左右兩邊所放物體質(zhì)量相等。同時(shí)得出一只空杯正好100克。然后在杯中倒入水，并設(shè)水重x克，通過(guò)逐步嘗試，得出杯子和水共重250克。從而由不等到相等，引出含有未知數(shù)的等式稱(chēng)為方程。同時(shí)嘗試讓學(xué)生寫(xiě)出一些方程，初步感知方程的多樣性。（2） 等式的基本性質(zhì)。（55頁(yè)、56頁(yè)）教學(xué)時(shí)，通過(guò)教師演示啟發(fā)學(xué)生把兩幅圖的內(nèi)容歸納成一句話。比如，可以歸納為：天平兩邊增加或減少同樣的物品，天平保持平衡。也可以歸納為：等式兩邊都加上或減去相同的數(shù)，等式不變。事實(shí)上，按插圖的箭頭所示，第一幅圖，從左看到右，是天平兩邊增加同樣的物品；反過(guò)來(lái)，從右看到左，則是天平兩邊減少同樣的物品。如果教師可以引導(dǎo)學(xué)生這樣雙向觀察。2. 解方程（第5764頁(yè)）（1） .方程的解與解方程的概念。 作為教師，應(yīng)當(dāng)清楚“方程的解”中的“解”是名詞，指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，它是一個(gè)數(shù)值；而“解方程”中的“解”是動(dòng)詞，指求方程的解的過(guò)程，是一個(gè)演算過(guò)程。所以方程的解與解方程，兩者是有區(qū)別的。 （2）以等式的基本性質(zhì)為基礎(chǔ)，而不是依據(jù)逆運(yùn)算關(guān)系解方程。長(zhǎng)期以來(lái)，在小學(xué)教學(xué)簡(jiǎn)易方程，方程變形的依據(jù)總是加減運(yùn)算的關(guān)系或乘除運(yùn)算之間的關(guān)系。這實(shí)際上是用算術(shù)的思路求未知數(shù)。到了中學(xué)又要另起爐灶，引入等式的基本性質(zhì)或方程的同解原理，然后重新學(xué)習(xí)依據(jù)等式的基本性質(zhì)或方程的同解原理解方程，而且小學(xué)的思路及其算法掌握的越牢固，對(duì)中學(xué)代數(shù)起步教學(xué)的負(fù)遷移就越明顯。內(nèi)容調(diào)整后，利用等式基本性質(zhì)解方程的優(yōu)越性就比較容易顯現(xiàn)出來(lái)了，在具體教學(xué)時(shí)，憑借天平演示的圖示，引導(dǎo)學(xué)生由天平保持平衡的變換規(guī)律，類(lèi)推出方程保持相等的變換方法，比如，解形如x+a=b與x-a=b的方程，都可以歸結(jié)為，等式兩邊減去（加上）a，得x=b-a與x=b+a。解形如ax=b與xa=b的方程，都可以歸結(jié)為，等式兩邊除以（乘上）a，得x=ba與x=ab。顯然比原來(lái)依據(jù)逆運(yùn)算關(guān)系解方程，思路更為統(tǒng)一。本單元暫不出現(xiàn)形如a-x=b和ax=b的簡(jiǎn)易方程。這是因?yàn)樾W(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)正負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，利用等式的基本性質(zhì)解a-x=b，方程變形的過(guò)程及其算理解釋比較麻煩。（3）列方程解決實(shí)際問(wèn)題列方程解決實(shí)際問(wèn)題，與學(xué)生在這之前所采用的列算式解決實(shí)際問(wèn)題，它們的共同點(diǎn)是，都以四則運(yùn)算和常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ)，都需要分析數(shù)量關(guān)系。它們的區(qū)別主要是思考方法不同。列算式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，未知數(shù)始終作為一個(gè)“目標(biāo)”，不參加列式運(yùn)算，只能用已知數(shù)和運(yùn)算符號(hào)組成算式，所以列式費(fèi)思考，解題思路常常迂回曲折，局限性較大。列方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，未知數(shù)能以一個(gè)字母（如x）為代表和已知數(shù)一起參加列式運(yùn)算，所以解題思路更加直截了當(dāng)，降低了思維難度，適用面廣。但由于學(xué)生較長(zhǎng)時(shí)期用算術(shù)方法解決問(wèn)題，開(kāi)始學(xué)習(xí)列方程解決問(wèn)題時(shí)，往往受到算術(shù)思路的干擾。因此，在本節(jié)的教學(xué)中，注意過(guò)渡和對(duì)比，克服干擾，對(duì)于學(xué)生初步掌握列方程解決問(wèn)題的思考方法和特點(diǎn)，初步體會(huì)列方程解決問(wèn)題的優(yōu)越性，具有重要意義。鑒于列方程解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于搞清數(shù)量之間的相等關(guān)系，所以教材在每個(gè)實(shí)際問(wèn)題的解答中都列出了用文字、運(yùn)算符號(hào)與等號(hào)表示的等量關(guān)系，但只要求學(xué)生學(xué)會(huì)這樣思考，不要求學(xué)生解題時(shí)都書(shū)寫(xiě)出來(lái)，因此圍以虛線框。以60頁(yè)例3為例，在理解題意，搞清了數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生先用自己想到的方法作出解答。學(xué)生想到的一般是算術(shù)解法。如果有學(xué)生列出方程解，可以讓他講講是怎樣想的，列出的方程表示什么意思。如果沒(méi)有，則由老師引導(dǎo)學(xué)生先設(shè)未知的警戒水位為x米，再根據(jù)前面分析得出的等量關(guān)系，列出方程。至于解方程可讓學(xué)生自己完成，同時(shí)提醒學(xué)生別忘記驗(yàn)算。3.稍復(fù)雜的方程（第6573頁(yè)）這部分內(nèi)容共有三道例題。它們的共同點(diǎn)是每道例題都擔(dān)負(fù)著教學(xué)列方程和教學(xué)解方程的雙重任務(wù)。這是本單元學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。首先，列方程。例1若用算術(shù)方法解，需要逆思考，思維難度較大，學(xué)生容易出現(xiàn)先除后減的錯(cuò)誤。通常不作教學(xué)要求。這里用方程解，思路比較順，體現(xiàn)了列方程解實(shí)際問(wèn)題的優(yōu)越性。從這里開(kāi)始，教材要求學(xué)生自己寫(xiě)出用字母x表示未知數(shù)的設(shè)句。其次，解方程。列出方程之后，怎樣解這樣的方程呢？實(shí)際上，形如axb=c的方程，是由ax=d與yb=c綜合而成的。因此，教材介紹的解法，先把a(bǔ)x作一個(gè)整體，求出ax等于多少，再求x等于多少。例2創(chuàng)設(shè)了購(gòu)買(mǎi)兩種水果的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境。如果撇開(kāi)各數(shù)量的具體內(nèi)容，就它的數(shù)學(xué)意義來(lái)講，可抽象為兩積之和的數(shù)量關(guān)系。教材給出了兩種方程，其一為兩積之和等于已知的總數(shù)，讓學(xué)生自己解答。其二為含小括號(hào)的方程，介紹了把小括號(hào)內(nèi)的式子看作一個(gè)整體求解的思路和方法。例3的內(nèi)容是關(guān)于地球表面海洋面積和陸地面積的計(jì)算。它的特點(diǎn)是問(wèn)題含有兩個(gè)未知數(shù)，一般通常用兩個(gè)已知條件說(shuō)明兩個(gè)未知數(shù)的關(guān)系。如給出兩個(gè)未知數(shù)的和與差，或給出兩個(gè)未知數(shù)的倍數(shù)關(guān)系與兩個(gè)未知數(shù)的和（或差）。具有這種數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，在算術(shù)中稱(chēng)為“和差”、“和倍”、“差倍”問(wèn)題。若用算術(shù)方法解，思路特殊，需要分別教學(xué)。改用方程解，都可歸結(jié)為解形如axbx=c的方程，思路統(tǒng)一，解法一致，學(xué)會(huì)其中之一的解法，其他幾種就很容易類(lèi)推解決。解答例3，首先碰到的第一個(gè)問(wèn)題是設(shè)未知數(shù)。學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)是“求什么設(shè)什么”?，F(xiàn)在面臨一道題中要求兩個(gè)未知數(shù)各是多少，究竟設(shè)哪個(gè)為x，另一個(gè)又怎樣表示？這是必須突破的一個(gè)難點(diǎn)。就數(shù)學(xué)本身來(lái)說(shuō)，和差倍關(guān)系的兩個(gè)未知數(shù)，任選一個(gè)設(shè)為x都是可行的。同樣，另一個(gè)未知數(shù)的表示方法也有兩種，即選用兩個(gè)已知條件中的任何一個(gè)都能表示。比較而言，在各種解法中，把作為比較標(biāo)準(zhǔn)的未知數(shù)設(shè)為x，則用含x的式子表示另一個(gè)未知數(shù)就比較容易。過(guò)去，解方程的教學(xué)與列方程解應(yīng)用題的教學(xué)是分開(kāi)進(jìn)行的，前者屬于計(jì)算，后者屬于應(yīng)用?，F(xiàn)在恢復(fù)計(jì)算與應(yīng)用的天然聯(lián)系，體現(xiàn)在本單元中，學(xué)習(xí)“稍復(fù)雜的方程”時(shí)，由實(shí)際問(wèn)題引入方程，在現(xiàn)實(shí)背景下求解方程并檢驗(yàn)，這樣處理有助于學(xué)生理解解方程的