圓盤(pán)定理及其應(yīng)用.doc

圓盤(pán)定理及其應(yīng)用摘要：給除了矩陣特征值的定義及確定特征值范圍的圓盤(pán)定理，并對(duì)特征值估計(jì)和定位的圓盤(pán)定理進(jìn)行了深入的研究，同時(shí)對(duì)對(duì)角占優(yōu)實(shí)矩陣給出了更加精確的估計(jì)和定位特征值的方法。由于圓盤(pán)定理對(duì)估計(jì)特征值有其它方法不可替代的優(yōu)勢(shì)，所以圓盤(pán)定理在各個(gè)行業(yè)得到了廣泛的應(yīng)用。在集成電路加工工藝中，有一種工藝是離子注入，它可比較精確的控制離子的注入量和注入位置。但離子注入后會(huì)對(duì)半導(dǎo)體的晶格結(jié)構(gòu)造成影響，為了讓破壞的晶格得到修復(fù)，在離子注入后要對(duì)半導(dǎo)體進(jìn)行退火的加工工藝。本文就利用圓盤(pán)定理，基于模擬退火法提出了一種新的算法，新算法用于解決實(shí)特征值的求解問(wèn)題，具有通用姓，并且具有很高的穩(wěn)定性。在精確度要求極高的集成電路退火工藝中，一定會(huì)有很好的應(yīng)用。關(guān)鍵字：圓盤(pán)定理 矩陣特征值 集成電路退火工藝 退火算法一 引言設(shè)，如果存在，且0，滿足，則稱復(fù)數(shù)為方陣A特征值，x為對(duì)應(yīng)于的特征向量。我們知道對(duì)每一個(gè)方陣在復(fù)數(shù)域內(nèi)有n個(gè)特征值。特征值理論及應(yīng)用滲透到數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的很多領(lǐng)域。其主要方面是如何求出n個(gè)特征值。求方陣n個(gè)特征值從理論上講是求：，即的根。當(dāng)n時(shí)，特征方程沒(méi)有一般的求根公式。因此，關(guān)于特征值的研究轉(zhuǎn)入兩方面內(nèi)容：第一，近似求特征值；第二，特征值的估計(jì)和定位。事實(shí)上，在很多應(yīng)用方面往往不必精確求出特征值，而是只要一個(gè)粗略的估計(jì)就可以了。例如在微分方程和自動(dòng)控制理論研究中，通過(guò)估計(jì)矩陣A的特征值是否均為負(fù)實(shí)部，便可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性；與差分方法的穩(wěn)定性有關(guān)的問(wèn)題、與線性方程組迭代法求解有關(guān)問(wèn)題，需要估計(jì)矩陣特征值是否均落在單位圓內(nèi)等。因此，特征值的估計(jì)和定位一直是人們關(guān)注的課題?，F(xiàn)階段各個(gè)行業(yè)對(duì)矩陣論中特征值的應(yīng)用也不必精確求出，只要一個(gè)估計(jì)和定位即可，所以，目前研究階段處在對(duì)特征值估計(jì)和定位上。在集成電路加工工藝中，有一個(gè)重要的工序就是退火，退火的目的是為了把上一步加工工序中離子注入引起的晶格缺陷修復(fù)。在模擬退火的算法中，矩陣特征值的估計(jì)和定位也尤其顯得重要。對(duì)于矩陣特征值的估計(jì)和定位，一個(gè)很好的定理在其中得到了普遍的作用。它就是圓盤(pán)定理，它很好的解決了上述一系列的問(wèn)題。二 預(yù)備知識(shí)1 矩陣特征值的定義: 設(shè)，如果存在，且0，滿足，則稱復(fù)數(shù)為方陣A特征值，x為對(duì)應(yīng)于的特征向量。2 Gerschgorin圓盤(pán)定理設(shè)，則A的所有特征值（可相重）都落在復(fù)平面的n個(gè)圓盤(pán) 其中 的并集中，其中。并A的n個(gè)圓盤(pán)中S個(gè)圓盤(pán)構(gòu)成一個(gè)連通域G，與其余n-s個(gè)圓盤(pán)互不相交，則A中僅有S個(gè)特征值落在G內(nèi)。3 Ostrowski圓盤(pán)定理設(shè)，為A的任一特征值，則至少有一個(gè)i，使得其中 ，即A的n個(gè)特征值都落在下面n個(gè)圓盤(pán) 其中 的并集中。Gerschgorin定理是用方陣本身的元素及其的簡(jiǎn)單函數(shù)估計(jì)A的特征值的位置的基礎(chǔ)定理。從定理可以得到：（1） 孤立的氏圓盤(pán)中含有且僅含有一個(gè)特征值，而S個(gè)連通的氏圓盤(pán)中恰含有S個(gè)特征值，而不保證每個(gè)圓盤(pán)都一定會(huì)有A的特征值；（2） 如果A的n個(gè)圓盤(pán)兩兩不相交，則A有n個(gè)互異的特征值，且每一種特征值恰好在孤立的圓盤(pán)內(nèi)。因此，通過(guò)不斷縮小圓盤(pán)半徑，孤立各圓盤(pán)就可以近似估計(jì)和定位A的特征值。三 圓盤(pán)定理的應(yīng)用圓盤(pán)定理最早是由Gersgorin在1931年提出的，是特征值估計(jì)中最古老，最簡(jiǎn)單和最優(yōu)美的結(jié)果之一。由于圓盤(pán)定理對(duì)特征值估計(jì)和定位的優(yōu)越性，在后來(lái)的發(fā)展中，圓盤(pán)定理出現(xiàn)了各種推理和改進(jìn)的定理。在此基礎(chǔ)上，各個(gè)行業(yè)對(duì)圓盤(pán)定理的的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。本文就對(duì)圓盤(pán)定理在對(duì)角占優(yōu)實(shí)矩陣的特征值估計(jì)和模擬退火算法在矩陣實(shí)特征值中的求解問(wèn)題進(jìn)行了分析和討論。1 對(duì)角占優(yōu)實(shí)矩陣的特征值估計(jì)由兩個(gè)圓盤(pán)定理出發(fā)，可以得到實(shí)用性較強(qiáng)的其它幾個(gè)定理來(lái)估計(jì)和定位矩陣的特征值?？墒牵徽撃膫€(gè)定理，都是選取主對(duì)角元為圓心，以一定的半徑的圓盤(pán)來(lái)定位特征值。這種方法的確是一種很不錯(cuò)的方法，但是在實(shí)際應(yīng)用中我們注意到，用這種方法去估計(jì)所有矩陣的特征值的整體分布是很好的，但是它很難估計(jì)出每個(gè)特征值的具體大小。經(jīng)過(guò)深入的研究發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生這一問(wèn)題的根本原因是圓盤(pán)圓心的選擇。比如用圓盤(pán)去覆蓋特征值，如果與相差較大，則定會(huì)產(chǎn)生圓盤(pán)半徑較大的現(xiàn)象，由于相當(dāng)于的偏移量不同，所以在很多情況下，連個(gè)圓盤(pán)很難僅僅通過(guò)調(diào)整半徑的方法達(dá)到孤立。因此，相當(dāng)于的偏移量將直接影響該方法的可行性和實(shí)用性。但是對(duì)于對(duì)角占優(yōu)矩陣，它的主對(duì)角元相當(dāng)于 的偏移量不會(huì)太大。故通過(guò)作簡(jiǎn)單相似變換的方法來(lái)適當(dāng)縮小圓盤(pán)半徑就可以達(dá)到孤立圓盤(pán)的目的。下面我們就可以研究在簡(jiǎn)單相似變換下，對(duì)角占優(yōu)矩陣的一些性質(zhì)。（1）對(duì)角占優(yōu)矩陣：設(shè)，若 i=1，2，n。則稱A是行對(duì)角占優(yōu)的矩陣。類似地，可以定義列對(duì)角占優(yōu)矩陣。（2）圓盤(pán)定理基礎(chǔ)上對(duì)對(duì)角占優(yōu)的矩陣進(jìn)行更精確的定位和估計(jì)：設(shè)，有n個(gè)數(shù)b0 (i=1,2,n)，令= （i=1,2,n)）。選擇b的原則就是使變換后的連通區(qū)域變成孤立區(qū)域，則特征值分布在n個(gè)不同的孤立圓盤(pán)中，這樣就使得對(duì)特征值的估計(jì)和定位更加精確。參考文獻(xiàn)1 蔣正新等.矩陣論及其應(yīng)用.北京,北京航空學(xué)院出版社