圓錐曲線第一天弦的垂直平分線問題.doc

弦的垂直平分線問題(3道題全做，水磨的功夫，仔細(xì)體會垂直平分的應(yīng)用，不要急于求成，不然不如不做)例題1、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（）求過點(diǎn)O、F，并且與相切的圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍。分析：第一問求圓的方程，運(yùn)用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上，圓心到切線的距離等于圓心到定點(diǎn)的距離；第二問，過定點(diǎn)的弦的垂直平分線如果和x軸相交，則弦的斜率存在，且不等于0，設(shè)出弦AB所在的直線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理求出弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由弦AB的方程求出中點(diǎn)的總坐標(biāo)，再有弦AB的斜率，得到線段AB的垂直平分線的方程，就可以得到點(diǎn)G的坐標(biāo)。 解：(I) a2=2，b2=1，c=1，F(xiàn)(-1，0)，l:x=-2.圓過點(diǎn)O、F,圓心M在直線x=-設(shè)M(-)，則圓半徑：r=|(-)-(-2)|=由|OM|=r，得，解得t=，所求圓的方程為(x+)2+(y)2=.(II)由題意可知，直線AB的斜率存在，且不等于0,設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k0)，代入+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F， 方程一定有兩個不等實(shí)根,設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)N(x0，y0)，則x1+x1=-AB垂直平分線NG的方程為令y=0，得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為（）。技巧提示：直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率k，利用韋達(dá)定理，將弦的中點(diǎn)用k表示出來，韋達(dá)定理就是同類坐標(biāo)變換的技巧，是解析幾何中解決直線和圓錐曲線問題的兩大技巧之第一個技巧。再利用垂直關(guān)系將弦AB的垂直平分線方程寫出來，就求出了橫截距的坐標(biāo)（關(guān)于k的函數(shù)）。直線和圓錐曲線中參數(shù)的范圍問題，就是函數(shù)的值域問題。練習(xí)1：已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。 （）求橢圓方程； （）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。分析：第一問中已知橢圓的離心率，可以得到的關(guān)系式，再根據(jù)“過點(diǎn)”得到的第2個關(guān)系式，解方程組，就可以解出的值，確定橢圓方程。第二問，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過判別式得出的不等式，再根據(jù)韋達(dá)定理，得出弦MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用弦的直線方程，得到中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和定點(diǎn)，得垂直平分線的斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為-1，可得的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范圍。解：（）離心率，即（1）；又橢圓過點(diǎn)，則，（1）式代入上式，解得，橢圓方程為。（）設(shè)，弦MN的中點(diǎn)A由得：，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，即（1）由韋達(dá)定理得：，則，直線AG的斜率為：，由直線AG和直線MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，則。老師支招：如果只說一條直線和橢圓相交，沒有說直線過點(diǎn)或沒給出直線的斜率，就直接設(shè)直線的方程為：，再和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，就能找到解決問題的門路。本題解決過程中運(yùn)用了兩大解題技巧：與韋達(dá)定理有關(guān)的同類坐標(biāo)變換技巧，與點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)有關(guān)的同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換技巧。解決直線和圓錐曲線的問題的關(guān)鍵就是充分、靈活的運(yùn)用這兩大解題技巧。練習(xí)2、設(shè)、分別是橢圓的左右焦點(diǎn)是否存在過點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由分析：由得，點(diǎn)C、D關(guān)于過的直線對稱，由直線l過的定點(diǎn)A(5,0)不在的內(nèi)部，可以設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程組，得一元二次方程，根據(jù)判別式，得出斜率k的取值范圍，由韋達(dá)定理得弦CD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，由點(diǎn)M和點(diǎn)F1的坐標(biāo)，得斜率為，解出k值，看是否在判別式的取值范圍內(nèi)。解：假設(shè)存在直線滿足題意，由題意知，過A的直線的斜率存在，且不等于。設(shè)直線l的方程為：，C、D，CD的中點(diǎn)M。由得：，又直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，則，即。由韋達(dá)定理得：，則，M(，)。又點(diǎn)，則直線的斜率為，根據(jù)得：，即，此方程無解，即k不存在，也就是不存在滿足條件的直線。老師提醒：通過以上2個例題和2個練習(xí)，我們可以看出，解決垂直平分線的問題，即對稱問題分兩步：第一步，有弦所在的直線和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），通過判別式得不等式，由韋達(dá)定