華南理工大學版微積分下課件18.doc

第五節(jié) 對坐標的曲面積分一、引入問題：怎樣計算不可壓縮流體流過某曲面的流量？計算自來水的流量，設(shè)水速為，水管的截面積為，則流量為。（截面與速度方向垂直）（如圖1）若考慮的截面不與速度垂直其面積為法向量為，此時流量還是：有向曲面：我們考慮一般曲面，取定了法向量即選定了側(cè)的曲面稱為有向曲面。正側(cè)：上側(cè)、右側(cè)、前側(cè)；負側(cè)：下側(cè)、左側(cè)、后側(cè)。對于閉曲面分為：內(nèi)側(cè)、外側(cè)。如果速度不是常量（與時間無關(guān)），流過某曲面（非平面），怎么求流量？（如圖2）速度為，流過曲面的流量1) 化整為零：把分割成小塊，2) 近似代替：在中任取一點這一點處的單位法向量作為一小片的法向量設(shè)為，流過的流量為 （注意符號）3) 積零為整：；4) 無限趨近：取為這 小塊曲面面積的最大值記為二、第二型曲線積分的定義設(shè)是定義在可求面積的有向曲面上的向量值函數(shù)1） 化整為零：把分割成小塊，2） 近似代替：在中任取一點這一點處的單位法向量作為一小片的法向量設(shè)為，做乘積 （注意符號）3） 積零為整：；4） 無限趨近：取為這 小塊曲面面積的最大值，如果對于任意的分割，任意取的點極限則稱此極限為向量值函數(shù)在曲面上的積分。記為注：如改變曲面的側(cè)，則積分值反號。三、怎樣計算第二型曲面積計算，關(guān)鍵是處理！把方程可化為，并取前側(cè) (其中為在面上的投影)例1：計算曲面積分，其中是球面的外側(cè)并滿足的部分。解：把曲面方程表示成關(guān)于的函數(shù)的形式，要做到這一點必須把曲面分成兩塊，其方程分別為和；它們在面上的投影為同一平面區(qū)域按題意取上側(cè)，取下側(cè)，因此點評：在計算第二類曲面積分時，首先要確定積分曲面向那個坐標面上投影，主要看積分表達式來確定，如例1中積分表達式中有所以應向面上投影；其次把曲面方程化為顯函數(shù)形式，如例1中確定向面上投影后，曲面方程應化為關(guān)于的函數(shù)的形式，如果不能用一個顯函數(shù)表示就應把曲面分割成若個塊；最后把曲面積分化為二重積分。例2：計算，其中為平面在第一卦限部分的上側(cè)。解：1）在面上的投影為且，曲面指定方向為前側(cè)，所以2）在面上的投影為且，曲面指定方向為右側(cè)，所以3）在面上的投影為且，曲面指定方向為上側(cè)，所以原式。例3：計算，其中，為球面的外側(cè)。解：由于積分曲面和被積函數(shù)具有對稱性，所以有因此我們只需計算，此時把曲面方程化為關(guān)于的顯函數(shù)，必須要分成上下兩塊取上側(cè)；取下側(cè)，它們在面上的投影都為，所以點評：在計算第二類曲面積分時，一定要分析清楚積分曲面和被積函數(shù)的一些特征，如對稱性等，以便簡化計算過程。四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系=例4：計算，其中是錐面被平面所截下的有限部分下側(cè)。解：我們考慮把以上曲面積分化為第一類曲面積分，此曲面上一點處的法向量為因為是取下側(cè)，所以軸的坐標應為負值。此法向量的單位向量為。且此曲面在面上的投影為圓盤點評：有時運用第二類曲面積分的基本方法計算非常繁雜，如例2，用基本方法做要考慮曲面對三個坐標面的投影，計算量很大，若把它轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分可大大簡化計算，如例3。在轉(zhuǎn)化為第一類曲面積分時，關(guān)鍵是怎樣確定指向定向曲面所指定的一側(cè)的法向量，基本方法如下：1） 如果指的是上側(cè)，法向量軸坐標為正，指的是下側(cè)，法向量軸坐標為負；2