損傷力學(xué)資料.doc

混凝土隨機(jī)損傷力學(xué)損傷力學(xué)目錄0 前言11 為什么要進(jìn)行隨機(jī)結(jié)構(gòu)非線性分析？22 損傷力學(xué)的基本原理是什么？33 什么是經(jīng)典混凝土本構(gòu)？53.1 經(jīng)典彈性本構(gòu)53.2 經(jīng)典塑性本構(gòu)64 什么是彈塑性損傷本構(gòu)？65 什么是隨機(jī)損傷本構(gòu)？96 怎么進(jìn)行混凝土隨機(jī)損傷非線性反應(yīng)分析？107 小結(jié)10附錄 作業(yè)12參考文獻(xiàn)13140 前言由于混凝土材料抗壓強(qiáng)度高，鋼筋抗拉強(qiáng)度高，兩者結(jié)合后協(xié)同工作，利用混凝土抗壓和鋼筋抗拉，能使得兩者材料各盡其能，組成性能良好的結(jié)構(gòu)構(gòu)件。同時(shí)，由于混凝土的包裹，鋼筋不容易被腐蝕，使得鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)耐久性較好。正是鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的這些優(yōu)點(diǎn)，從其出現(xiàn)于中國(guó)至今，已在建筑、隧道、橋梁、高速公路、地鐵、大壩、港口等各個(gè)領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。混凝土是以水泥為膠結(jié)材料，以天然砂石為骨料加水拌合，經(jīng)過(guò)澆筑成型、凝結(jié)硬化形成的固體材料1。它是一種多相顆粒復(fù)合材料，從宏觀結(jié)構(gòu)來(lái)看，它是骨料分散在水泥漿基體中的二相材料；從微觀來(lái)看，它是由水泥凝膠、氫氧化鈣結(jié)晶、未水化的水泥顆粒、毛細(xì)管及孔隙水、空氣泡等組成。對(duì)于混凝土力學(xué)性能的研究，固體力學(xué)假設(shè)其為處處連續(xù)，毫無(wú)初始缺陷的均勻各向同性材料，這與混凝土材料的實(shí)際情況不一致。經(jīng)典材料強(qiáng)度理論假設(shè)材料為均勻連續(xù)，分析結(jié)構(gòu)的應(yīng)力狀態(tài)，根據(jù)材料的屈服或者極限應(yīng)力判斷結(jié)構(gòu)是否達(dá)到屈服或者破壞，即在此理論下，混凝土只有兩個(gè)狀態(tài)：正常服役狀態(tài)（無(wú)損傷）和破壞狀態(tài)。然而，結(jié)構(gòu)的破壞一般不會(huì)突然發(fā)生，它是由于結(jié)構(gòu)在建造過(guò)程中產(chǎn)生的微裂紋在外界荷載的作用下長(zhǎng)大、匯合成宏觀裂紋，并繼續(xù)擴(kuò)展，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度持續(xù)下降，最終失去承載能力，也就是說(shuō)，混凝土的全壽命分析與微裂紋的產(chǎn)生、擴(kuò)展密不可分。為了確定微裂紋的演化，必須對(duì)裂紋的產(chǎn)生、擴(kuò)展的規(guī)律有所研究，才能深入分析裂紋的擴(kuò)展規(guī)律及其對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。損傷力學(xué)主要研究混凝土材料內(nèi)部微觀裂紋的產(chǎn)生和發(fā)展對(duì)材料宏觀力學(xué)性能的影響及其最終導(dǎo)致材料或者結(jié)構(gòu)破壞的規(guī)程和規(guī)律。損傷力學(xué)是先確定損傷變量，運(yùn)用應(yīng)變等效原理和Clausius-Duhem不等式，從能量的角度出發(fā)，得到損傷力學(xué)基本方程。結(jié)合不可逆熱力學(xué)原則和損傷力學(xué)基本方程，得到應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系和損傷能釋放率表達(dá)式。損傷能釋放率能同時(shí)考慮彈性和塑性加載歷史，所以基于損傷能釋放率建立損傷準(zhǔn)則，同時(shí)根據(jù)正交流動(dòng)法則確定損傷變量的演化法則，再在有效應(yīng)力空間內(nèi)確定塑性變形及其演化規(guī)律?；炷敛牧媳旧淼母鱾€(gè)組分具有隨機(jī)分布性，且初始和后續(xù)的裂紋發(fā)展也不可避免的具有隨機(jī)性，所以在已有的損傷力學(xué)理論基礎(chǔ)上加入隨機(jī)參數(shù)，更能真實(shí)地體現(xiàn)出混凝土材料的受力性能。本讀書報(bào)告為學(xué)習(xí)混凝土隨機(jī)損傷力學(xué)課程之后對(duì)部分內(nèi)容的心得體會(huì)之整理。圖1 課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖損傷力學(xué)理論的終極目標(biāo)是對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行隨機(jī)結(jié)構(gòu)非線性分析。混凝土隨機(jī)損傷力學(xué)主要內(nèi)容結(jié)構(gòu)如圖1所示。下面將從幾個(gè)問(wèn)題開(kāi)始，說(shuō)說(shuō)我對(duì)這門課程的理解。1 為什么要進(jìn)行隨機(jī)結(jié)構(gòu)非線性分析？首先說(shuō)為什么要進(jìn)行結(jié)構(gòu)非線性分析。在現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，常常忽略非線性分析，而結(jié)構(gòu)在真實(shí)受力情況下，常常伴隨著材料非線性和幾何非線性。當(dāng)前組成結(jié)構(gòu)的材料一般為混凝土和鋼筋。在混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范2 (GB 50010-2002)中，混凝土本構(gòu)關(guān)系取為：從加載開(kāi)始至荷載極限點(diǎn)為一曲線，之后為水平段，直至達(dá)到極限變形，如圖2b所示；鋼筋則取為理想彈塑性模型，如圖3b所示。很明顯，兩者都為考慮材料的后期強(qiáng)度變化，而真實(shí)的混凝土本構(gòu)關(guān)系和鋼筋本構(gòu)關(guān)系示意圖如圖2a和圖3a所示。 a) 混凝土真實(shí)本構(gòu) b) 規(guī)范中的混凝土本構(gòu)圖2 混凝土受壓本構(gòu) a) 軟鋼真實(shí)本構(gòu) b) 規(guī)范中的軟鋼本構(gòu)圖3 軟鋼筋受拉本構(gòu)從某種意義上來(lái)說(shuō)，現(xiàn)有規(guī)范取值較為保守，但是從節(jié)能的角度來(lái)講，過(guò)于保守的設(shè)計(jì)將不能充分發(fā)揮材料的特性，造成不必要的浪費(fèi)。同時(shí)，未考慮真實(shí)的材料非線性特性，不能正確描述材料在屈服后的性能，進(jìn)而無(wú)法真實(shí)展現(xiàn)結(jié)構(gòu)在屈服點(diǎn)后的表現(xiàn)，這對(duì)研究結(jié)構(gòu)超過(guò)極限荷載后的性能是不利的。構(gòu)件在受到外荷載的作用之后會(huì)產(chǎn)生變形，設(shè)計(jì)過(guò)程中，我們往往不考慮變形后荷載產(chǎn)生的附加變形，這與實(shí)際情況也是不符合的。例如一根鋼筋混凝土柱子端部承受軸向力和彎矩的作用，彎矩的作用使得柱子產(chǎn)生彎曲變形，在彎矩最大截面處產(chǎn)生變形，此時(shí)，由于軸向力的作用，在柱子最大彎矩處同時(shí)產(chǎn)生附加彎矩，附加彎矩同樣會(huì)產(chǎn)生附加變形，這就是我們熟知的效應(yīng)。如果還繼續(xù)用變形前的狀態(tài)來(lái)建立平衡方程，將使構(gòu)件設(shè)計(jì)偏于不安全。材料非線性和幾何非線性作用于結(jié)構(gòu)之后，將使得結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變的復(fù)雜化，但是如果對(duì)結(jié)構(gòu)不進(jìn)行非線性分析，將不能真實(shí)反映結(jié)構(gòu)的性能。隨機(jī)性與混凝土的非線性密不可分。混凝土內(nèi)部初始缺陷的分布、微裂縫的產(chǎn)生和發(fā)展都帶有不可避免的隨機(jī)性，甚至某些荷載（如地震荷載）本身就具有隨機(jī)性。這些隨機(jī)性必然導(dǎo)致結(jié)構(gòu)性能及其在荷載下的反應(yīng)呈現(xiàn)隨機(jī)性的特征。微觀上的隨機(jī)性也必然導(dǎo)致宏觀上的非線性。只有采用概率論的觀點(diǎn)，才能較真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)的受力性能。現(xiàn)在的設(shè)計(jì)可能非常安全，但是誰(shuí)也無(wú)法肯定在未知的荷載條件下可以保證其安全，因?yàn)槲覀儧](méi)有經(jīng)過(guò)隨機(jī)分線性分析。只有經(jīng)過(guò)隨機(jī)結(jié)構(gòu)分線性分析，才能更有把握地說(shuō)：“這個(gè)結(jié)構(gòu)應(yīng)該很安全。2 損傷力學(xué)的基本原理是什么？混凝土材料在受力過(guò)程中，宏觀上會(huì)發(fā)生力學(xué)性質(zhì)的劣化，這是由于在細(xì)觀層次上初始微裂紋得到的擴(kuò)大和發(fā)展。材料的缺陷被稱為“損傷”。一般認(rèn)為混凝土產(chǎn)生塑性變形后卸載，應(yīng)力-應(yīng)變曲線將沿著與彈性段平行的直線返回，如圖4a所示；當(dāng)完全卸載時(shí)，殘留的應(yīng)變即為塑性應(yīng)變；而實(shí)際的情況是，在一開(kāi)始的加載過(guò)程中，混凝土內(nèi)部的微裂紋不斷的產(chǎn)生、擴(kuò)大和發(fā)展，損傷不斷積累，已經(jīng)影響了混凝土的剛度，使得混凝土剛度退化，而且此變化是不可逆的，應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖4b所示。所以必須由一個(gè)單值函數(shù)描述這種現(xiàn)象，這里我們用損傷變量D來(lái)表示材料的損傷程度，D=0表示材料未損傷，D=1表示材料全部損傷，它反映的是材料宏觀性質(zhì)的劣化。材料的損傷變量可以使是微觀的，比如空隙的數(shù)目、長(zhǎng)度、面積等，也可以是宏觀的，比如彈性模量、泊松比、屈服應(yīng)力等。損傷過(guò)程就像是一盆清水中滴下了一滴墨汁，損傷程度就是清水變黑的程度。 a) b) 圖4 混凝土材料力學(xué)性質(zhì)我們可以從兩個(gè)方面研究材料損傷：一是做試驗(yàn)，得出數(shù)據(jù)，假定一個(gè)損傷模型，然后用曲線擬合，這是相當(dāng)經(jīng)驗(yàn)的，得出的結(jié)果往往以偏概全；二是找到損傷發(fā)生的條件，從物理層面研究它，然后進(jìn)行邏輯推理，得到一些理論方程，有了理論的支持，使得研究結(jié)果更能站得住腳。損傷力學(xué)這門學(xué)科就是采用理論與試驗(yàn)相結(jié)合的方式展開(kāi)的。學(xué)者們從能量守恒和不可逆熱力學(xué)出發(fā)，引入熵的概念，得到關(guān)于連續(xù)介質(zhì)的Clausius-Duhem不等式，將材料力學(xué)性能的退化與Helmholtz自由能品質(zhì)的劣化聯(lián)系起來(lái)，不考慮沿物體表面的熱耗散過(guò)程的前提下，得到了損傷力學(xué)的基本方程。 (2.1)式(2.1)中，Helmholtz自由能又是應(yīng)變張量和損傷變量的函數(shù)，所以得到式(2.2). (2.2)從式(2.2)可以進(jìn)一步得到應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(2.3)和損傷能釋放率表達(dá)式Y(jié)(2.4)。 (2.3) (2.4) (2.5)同時(shí)確定損傷變量演化法則(2.5)，即構(gòu)成了完整的損傷力學(xué)本構(gòu)模型。我認(rèn)為，從能量的角度出發(fā)對(duì)混凝土受力性能展開(kāi)分析，是非常符合常理的。同時(shí)，將材料力學(xué)性能的退化與Helmholtz自由能品質(zhì)的劣化聯(lián)系起來(lái)是一個(gè)巨大的跨越，使得從能量角度分析混凝土受力性能變得可行。損傷力學(xué)理論讓我越來(lái)越覺(jué)得土木工程師也可以有物理學(xué)家的味道了。3 什么是經(jīng)典混凝土本構(gòu)？混凝土受拉和受壓的性能差異非常大，抗拉強(qiáng)度一般只能達(dá)到抗壓強(qiáng)度的十分之一左右，這就是我們所說(shuō)的混凝土的單邊效應(yīng)。混凝土在達(dá)到極限強(qiáng)度后出現(xiàn)應(yīng)力軟化、卸載剛度退化、雙向受壓強(qiáng)度較單軸受壓強(qiáng)度增大、雙軸拉壓應(yīng)力狀態(tài)出現(xiàn)拉壓軟化現(xiàn)象等都是混凝土破壞的典型特征?；炷帘緲?gòu)關(guān)系表示混凝土在受力情況下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，在單軸受力下的本構(gòu)關(guān)系稱為混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。為了便于設(shè)計(jì)和研究，必須建立混凝土本構(gòu)模型，而合理的混凝土本構(gòu)關(guān)系模型應(yīng)該能較為全面地反映混凝土的典型特征。3.1 經(jīng)典彈性本構(gòu)假定混凝土材料為線彈性勻質(zhì)材料，并采用廣義虎克定律表達(dá)混凝土的本構(gòu)關(guān)系得到的為混凝土的線彈性本構(gòu)關(guān)系模型，雖然由于其簡(jiǎn)便性在工程中應(yīng)用較廣，但是從本質(zhì)來(lái)看完全忽略混凝土受力的非線性表現(xiàn)，這將與實(shí)際結(jié)果相差較大。非線性彈性本構(gòu)模型中混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為非線性，但是終究為彈性，混凝土受力卸載后不留殘余變形，與線彈性本構(gòu)模型相比考慮了混凝土的非線性性能。Ottosen提出了一種全量型的本構(gòu)模型，假設(shè)在多軸應(yīng)力狀態(tài)下，認(rèn)為任一方向上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系仍與單軸相同，即各向同性假定，得到混凝土多軸割線模量ES，其中還有內(nèi)變量，為實(shí)際應(yīng)力與根據(jù)強(qiáng)度準(zhǔn)則得到的破壞面上的應(yīng)力的比值，通過(guò)一些手段求得和S之后，將ES和S替代各向同性線彈性模型中的E和,就得到了Ottosen本構(gòu)關(guān)系，同時(shí)完成了從一維向多維的轉(zhuǎn)化。全量式本構(gòu)模型不適用于與加載路徑有關(guān)的問(wèn)題的分析，且在有限元計(jì)算中，增量式本構(gòu)模型更為方便，Darwin-Pecknold模型從平面應(yīng)力出發(fā)，推導(dǎo)出增量形式的非線性彈性材料，但是內(nèi)部還有未知數(shù)切線模量。通過(guò)定義等效單軸應(yīng)變?cè)谛问缴蠈Ⅰ詈系亩S受力本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)化為了非耦合的等效單軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并采用Saenz建議的單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和試驗(yàn)確定的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，最終求得切線模量，建立Darwin-Pecknold模型。Darwin-Pecknold模型多軸下的切線模量需要轉(zhuǎn)換到等效單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系形式后才可以求得，同時(shí)需要引入二維應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度包絡(luò)圖、泊松比等經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式才能求得，這使得非線性分析在一定程度上較為復(fù)雜和不確定性。3.2 經(jīng)典塑性本構(gòu)經(jīng)典的塑性本構(gòu)關(guān)系也可以分為全量式和增量式。從彈性本構(gòu)關(guān)系已知全量式本構(gòu)表達(dá)式簡(jiǎn)單，但是無(wú)法用于與加載路徑有關(guān)的問(wèn)題分析，相比之下，增量式則有這方面的優(yōu)點(diǎn)。增量式塑性本構(gòu)關(guān)系可以用于非比例加載、卸載再加載等情況，同時(shí)，可以在不同的時(shí)段引入不同的屈服函數(shù)（判定何時(shí)屈服）、強(qiáng)化函數(shù)（確定后繼屈服面位置）、加卸載準(zhǔn)則（區(qū)別加卸載過(guò)程的條件）、流動(dòng)法則（確定塑性變形的方向和大?。┑?，可以得到更加理想的混凝土彈塑性模型?？紤]混凝土彈塑性性能后，看起來(lái)已經(jīng)可以比較好地表達(dá)混凝土的本構(gòu)關(guān)系了，因?yàn)樵诒緲?gòu)關(guān)系中，既考慮了混凝土的彈性又考慮了塑性，同時(shí)還有非線性，增量表達(dá)式中，又可以考慮非比例加載、卸載再加載等情況，也可以反應(yīng)出混凝土應(yīng)力強(qiáng)化等特征，但是還是有很多不令人滿意的地方，比如：混凝土在單軸和多軸的情況下性能表現(xiàn)會(huì)有所不同，單一的彈塑性本構(gòu)關(guān)系很難全面描述這個(gè)特性；無(wú)法表達(dá)混凝土軟化、剛度退化的特征；同時(shí)，要確定混凝土屈服面非常困難。總之，經(jīng)典的彈塑性本構(gòu)還是無(wú)法真實(shí)表達(dá)混凝土的全部特征，而且，若增加條件使得彈塑性本構(gòu)模型更加靠近混凝土真實(shí)本構(gòu)會(huì)使公式過(guò)于繁瑣，不利于工程應(yīng)用。4 什么是彈塑性損傷本構(gòu)？因?yàn)榛炷敛牧媳旧砭途哂谐跏既毕?，比如微裂紋和空隙等，所以與經(jīng)典彈塑性力學(xué)不同，損傷力學(xué)從材料的損傷出發(fā)，用損傷變量反映混凝土受外力作用過(guò)程中力學(xué)性能的變化。損傷力學(xué)既能反映材料微觀結(jié)構(gòu)的變化，又能說(shuō)明材料宏觀力學(xué)性能上的變化。世間萬(wàn)物的發(fā)展過(guò)程都是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從不完善到完善，這是自然界的規(guī)律，對(duì)于科學(xué)研究亦是如此?；炷翐p傷本構(gòu)的發(fā)展是從彈性出發(fā)，再在彈性基礎(chǔ)上考慮塑性，最后再在彈塑性基礎(chǔ)上考慮隨機(jī)性。由于混凝土材料的單邊效應(yīng)，即受拉和受壓力學(xué)性能迥異，在損傷力學(xué)理論研究中，考慮著是否可以將受拉和受壓二者分開(kāi)考慮?；炷敛牧鲜芡饬ψ饔煤螅〕銎渲械囊粋€(gè)單元體，單元體上應(yīng)力如圖5a所示，將單元體轉(zhuǎn)到應(yīng)力主軸方向后，得到單元體的應(yīng)力如圖5b所示，可以發(fā)現(xiàn)，在單元體上只有拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。此時(shí)，我們?cè)賹⒋藛卧w上的應(yīng)力分開(kāi)，如圖6所示。此時(shí)，單元體上只有拉應(yīng)力或者壓應(yīng)力，可以引入混凝土受拉和受壓本構(gòu)對(duì)各自單元體進(jìn)行分析。分析完畢后，可以將剛才的分解步驟倒過(guò)來(lái)，重新合成一個(gè)具有復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的單元體。a) b)圖5 單元應(yīng)力圖圖6 拉壓應(yīng)力第二節(jié)損傷力學(xué)的基本原理中已經(jīng)大致敘述了損傷力學(xué)的理論框架。在損傷力學(xué)理論中，第一步就是要確定損傷變量，并得到材料的總Helmholtz自由能，混凝土應(yīng)力可以分解如上所述，所以分別對(duì)受拉和受壓情況下各自設(shè)定一個(gè)損傷變量受拉損傷變量d+和受剪損傷變量d-，同時(shí)Helmholtz自由能也能分解為彈性部分和塑性部分。如果不考慮塑性部分，最后得到的即為彈性損傷本構(gòu)關(guān)系；如果不考慮受拉損傷變量的分離，而統(tǒng)一只取一個(gè)損傷變量d，最后得到的即為單標(biāo)量彈塑性損傷本構(gòu)關(guān)系；既考慮彈、塑性部分Helmholtz自由能，又考慮受拉損傷變量d+和受剪損傷變量d-的分離，最后得到的即為雙標(biāo)量彈塑性損傷本構(gòu)關(guān)系。下面以單標(biāo)量彈塑性損傷本構(gòu)關(guān)系為例，稍作介紹。首先確定損傷變量為d，表示材料能量耗散能力的退化程度。彈性自由能勢(shì)為 (3.1)塑性自由能勢(shì)為 (3.2)所以材料的總的Helmholtz自由能勢(shì)為 (3.3)利用Clausius-Duhem不等式， (3.4)得到帶有內(nèi)變量的本構(gòu)關(guān)系 (3.5)塑性變形又必須滿足不可逆熱動(dòng)力學(xué)原理，所以 (3.6)同樣，損傷變量d也是內(nèi)變量，也要滿足損傷耗散不等式 (3.7)式(3.7)中Y即為損傷能釋放率，即 (3.7) (3.9)基于損傷能釋放率建立損傷準(zhǔn)則，判定什么情況下?lián)p傷增加， (3.10)根據(jù)正交流動(dòng)法則，確定損傷變量的演化法則， (3.11)式(3.11)的意思為損傷變量增量與損傷函數(shù)關(guān)于損傷能釋放率的導(dǎo)數(shù)成正比，表明損傷越快，損傷變量增量越大，這是符合實(shí)際情況的。還需滿足加卸載條件，即Kuhn-Tucker條件的限制， (3.12) 以上為單標(biāo)量彈塑性損傷本構(gòu)模型的建立過(guò)程，相同的過(guò)程可以建立雙標(biāo)量彈塑性損傷本構(gòu)模型。雙標(biāo)量彈塑性損傷本構(gòu)模型相對(duì)而言會(huì)比較復(fù)雜，但其可以考慮混凝土單邊效應(yīng)和強(qiáng)化與拉壓軟化效應(yīng)，更能比較全面和合理地進(jìn)行混凝土結(jié)構(gòu)的非線性分析。5 什么是隨機(jī)損傷本構(gòu)？由前面的內(nèi)容可以看出，連續(xù)介質(zhì)內(nèi)的損傷力學(xué)在混凝土破壞理論研究中取得了很大的成就。盡管確定性的損傷分析可以在大方向上通過(guò)經(jīng)驗(yàn)等把握住混凝土的損傷趨勢(shì)，但是損傷力學(xué)主要研究的是由于材料內(nèi)部微觀缺陷的產(chǎn)生和發(fā)展所引起的宏觀力學(xué)效應(yīng)及其最終導(dǎo)致材料或者結(jié)構(gòu)破壞的過(guò)程和規(guī)律，而材料內(nèi)部缺陷的初始分布和后繼發(fā)展都帶有極大的隨機(jī)性，若在混凝土彈塑性損傷理論中不考慮隨機(jī)性的影響，將無(wú)法預(yù)測(cè)損傷的隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響。本書在寫到第六章的時(shí)候又換了一個(gè)思路分析損傷問(wèn)題：從細(xì)觀層次上，把混凝土塊簡(jiǎn)化成無(wú)數(shù)個(gè)連續(xù)的微彈簧模型，把混凝土的斷裂應(yīng)變轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)中的隨機(jī)變量，應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)分析混凝土的受力性能。對(duì)于單軸受拉，定義混凝土塊中有N個(gè)形狀相同、彈性系數(shù)相同，但斷裂應(yīng)變隨機(jī)的的微彈簧，損傷變量可以表示為斷裂后退出工作的彈簧的面積占試件橫截面積的比例。斷裂后退出工作的彈簧的面積顯然是一個(gè)隨機(jī)量，滿足一定的概率分布函數(shù)。得到損傷變量的隨機(jī)表達(dá)式之后，代入單軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，可以得到 (5.1)式(5.1)中，表示帶有隨機(jī)變量的損傷變量。最終可以通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到均值關(guān)系和給定條件下的均方差表達(dá)式。 (5.2) (5.3)對(duì)于單軸受壓亦是如此。在每個(gè)微彈簧下面串聯(lián)一個(gè)塑性變形元件，考慮單軸受力狀態(tài)下塑性變形的考慮，并對(duì)已有的單軸受拉和受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系修正，得到單軸彈塑性隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系。 (5.4) (5.5) 對(duì)于多軸受力性能研究，根據(jù)不同受力特征（受壓為主或者受拉為主）可以簡(jiǎn)化 Helmholtz自由能勢(shì)，忽略掉一部分的值，后面的推導(dǎo)過(guò)程與雙標(biāo)量彈塑性損傷本構(gòu)模型的建立的過(guò)程一致，只不過(guò)這里帶有隨機(jī)變量，最終都可以得到均值關(guān)系和給定條件下的均方差表達(dá)式。6 怎么進(jìn)行混凝土隨機(jī)損傷非線性反應(yīng)分析？在結(jié)構(gòu)分析中考慮結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的隨機(jī)性，引出了采用隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析問(wèn)題的方法，針對(duì)線性結(jié)構(gòu)的靜力與動(dòng)力反應(yīng)，已經(jīng)發(fā)展了隨機(jī)模擬方法、隨機(jī)攝動(dòng)方法和政教多項(xiàng)式展開(kāi)理論3。然而，上述方法尚無(wú)法獲得復(fù)雜結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)更為全面的概率信息，例如概率密度函數(shù)。對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)中的系統(tǒng)描述最精細(xì)的方法是概率密度描述方式。由于物理關(guān)系在本質(zhì)上反應(yīng)了基本物理量之間的轉(zhuǎn)化或者傳遞關(guān)系，因此，概率密度描述的本質(zhì)是建立“隨機(jī)源”與“目標(biāo)”物理量之間的概率密度傳遞或者演化關(guān)系。概率密度演化方法就可以建立起這種演化關(guān)系。簡(jiǎn)單地可以這么認(rèn)為，在概率守恒的假定下，采用概率密度演化方法，可以通過(guò)一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布推演一個(gè)或者多個(gè)相關(guān)變量的概率分布。在結(jié)構(gòu)分析中，通過(guò)損傷隨機(jī)變量、荷載隨機(jī)變量等可以推演得到結(jié)構(gòu)反應(yīng)的概率分布。7 小結(jié)本讀書報(bào)告是學(xué)習(xí)了混凝土隨機(jī)損傷力學(xué)課程之后對(duì)所學(xué)知識(shí)的總結(jié)。通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題的提出，梳理了知識(shí)的紋路，明白了整個(gè)損傷力學(xué)的研究思路是：從試驗(yàn)得到的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中發(fā)現(xiàn)眾多混凝土的特征，而現(xiàn)有混凝土本構(gòu)模型中無(wú)法反應(yīng)其中的某些特征，為了解決這個(gè)問(wèn)題，找到了它的突破點(diǎn)損傷；基于能量守恒和不可逆熱力學(xué)定律，從物理角度得到損傷必須滿足的條件，進(jìn)一步得到本構(gòu)關(guān)系以及內(nèi)變量必須滿足的條件；從彈性到彈塑性，從單標(biāo)量到雙標(biāo)量，不斷完善損傷力學(xué)理論；同時(shí)，又應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過(guò)程的知識(shí)，把混凝土比作為無(wú)數(shù)個(gè)微彈簧，分析單軸和多軸受力情況下的力學(xué)性能；確定混凝土隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系之后，采用概率密度演化方法，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行隨機(jī)損傷非線性反應(yīng)分析。一