平行四邊形的性質(zhì)及判定 典型例題.doc

平行四邊形的性質(zhì)及判定 （典型例題）1平行四邊形及其性質(zhì)例1 如圖，O是ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)OBC的周長(zhǎng)為59，BD=38，AC=24，則AD=_若OBC與OAB的周長(zhǎng)之差為15，則AB=ABCD的周長(zhǎng)=_.分析：AC，可得BC，再由平行四邊形對(duì)邊相等知AD=BC，由平行四邊形的對(duì)角線互相平分，可知OBC與OAB的周長(zhǎng)之差就為BC與AB之差，可得AB，進(jìn)而可得ABCD的周長(zhǎng)對(duì)角線互相平分)OBC的周長(zhǎng)=OBOCEC=1912BC=59BC=28ABCD中，BC=AD(平行四邊形對(duì)邊相等)AD=28OBC的周長(zhǎng)-OAB的周長(zhǎng)=(OBOCBC)-(OBOA+AB)=BC-AB=15AB=13ABCD的周長(zhǎng)=ABBCCDAD=2(ABBC)=2(1328)=82說明：本題條件中的“OBC占OAB的周長(zhǎng)之差為15”，用符號(hào)語言表示出來后，便容易發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)，即BC與AB之差是15例2 判斷題(1)兩條對(duì)邊平行的四邊形叫做平行四邊形 ( )(2)平行四邊形的兩角相等 ( )(3)平行四邊形的兩條對(duì)角線相等 ( )(4)平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分 ( )(5)兩條平行線中，一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的垂線段叫做兩條平行線的距離 ( )(6)平行四邊形的鄰角互補(bǔ) ( )分析：根據(jù)平行四邊形的定義和性質(zhì)判斷解：(1)錯(cuò)“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”是兩組對(duì)邊，而不是兩條對(duì)邊如圖四邊形ABCD，兩條對(duì)邊ADBC顯然四邊形ABCD不是平行四邊形(2)錯(cuò)平行四邊形的性定理1，“平行四邊形的對(duì)角相等”對(duì)角是指四邊形中設(shè)有公共邊的兩個(gè)角，也就是相對(duì)的兩個(gè)角(3)錯(cuò)平行四邊形的性質(zhì)定理3，“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”一般地不相等(矩形的兩條對(duì)角線相等)(4)對(duì)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)定理3可判斷是正確的(5)錯(cuò)線段圖形，而距離是指線段的長(zhǎng)度，是正值正確的說法是：兩條平行線中，一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做這兩條平行線的距離(6)對(duì)由定義知道，平行四邊形的對(duì)邊平行，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知平行四邊形的鄰角互補(bǔ)例3 如圖1，在ABCD中，E、F是AC上的兩點(diǎn)且AE=CF求證：EDBF分析：欲址DEBF，只需DEC=AFB,轉(zhuǎn)證=ABFCDF,因ABCD，則有ABCD，從而有BAC=CDA再由AF=CF得AF=CE滿足了三角形全等的條件證明：AE=CFAE+EF=CF+EFAF=CE在ABCD中ABCD(平行四邊形的對(duì)邊平行)BAC=DCA(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)AB=CD(平行四邊形的對(duì)邊也相等)ABFCDE(SAS)AFB=DCEEDBF(內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行)說明：解決平行四邊形問題的基本思想是化為三角形問題不處理例4 如圖已知在ABC中DEBCFG，若BD=AF、求證；DEFG=BC分析1：要證DEFG=DC由于它們是平行線，由平行四邊形定義和性質(zhì)考慮將DE平移列BC上為此，過E(或D)作EHAB(或DMAC)，得到DE=BH、只需證HC=FG，因AF=BD=EH，CEH=A.AGFC所以AFGEHC此方法稱為截長(zhǎng)法分析2：過C點(diǎn)作CKAB交DE的延長(zhǎng)線于K，只需證FG=EK，轉(zhuǎn)證AFGCKE證法1：過E作EHAB交于HDEBC四邊形DBHE是平行四邊形(平行四邊形定義)DB=EHDE=BH(平行四邊形對(duì)邊也相等)又BD=AFAF=EHBCFGAGF=C(兩直線平行同位角相等)同理 A=CEHAFGEHC(AAS)FG=HCBC=BH+HC=DE=FG即CE+FG=BD證法2：. 過C作CKAB交DE的延長(zhǎng)線于K.DEBC四邊形DBCK是平行四邊形(平行四邊形定義)CK=BD DK=BC(平行四邊形對(duì)邊相等)又BD=AFAF=CKCKABA=ECK(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)BCFGAGF=AED(兩直線平行同位角相等)又CEK=AED(對(duì)頂角相等)AGF=CEKAFGCKE(AAS)FG=EKDE+EK=BCDE+FG=BC例5 如圖ABCD中，ABC=3A，點(diǎn)E在CD上,CE=1，EFCD交CB延長(zhǎng)線于F，若AD=1，求BF的長(zhǎng)分析： 根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，可得C=F=45進(jìn)而由勾股定理求出CF，再根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等，得BF的長(zhǎng)解： 在ABCD中，ADBCAABC=180(兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ))ABC=3AA=45，ABC=135C=A=45(平行四邊形的對(duì)角相等)EFCDF=45(直角三角形兩銳角互余)EF=CE=1AD=BC=1例6 如圖1，ABCD中，對(duì)角線AC長(zhǎng)為10cm，CAB=30，AB長(zhǎng)為6cm，求ABCD的面積解： 過點(diǎn)C作CHAB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H(圖2)CAB=30SABCDABCH65=30(cm2)答：ABCD的面積為30cm2說明： 由于=底高，題設(shè)中已知AB的長(zhǎng)，須求出與底AB相應(yīng)的高，由于本題條件的制約，不便于求出過點(diǎn)D的高，故選擇過點(diǎn)C作高例7 如圖，E、F分別在ABCD的邊CD、BC上，且EFBD求證：SACE=SABF分析： 運(yùn)用平行四形的性質(zhì)，利用三角形全等，將其轉(zhuǎn)化為等底同高的三角形證明：將EF向兩邊延長(zhǎng)分別交AD、AB的延長(zhǎng)線于G、H.ABCD DEABDEG=BHF(兩直線平行同位角相等)GDE=DAB(同上)ADBCDAB=FBH(同上)GDE=FBHDEBH，DBEH四邊形BHED是平行四邊形DE=BH(平行四邊形對(duì)邊相等)GDEFBH(ASA)SGDE=SFBH(全等三角形面積相等)GE=FH(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)SACE=SAFH(等底同高的三角形面積相等)SADESABF說明：平行四邊形的面積等于它的底和高的積即S=ahaa可以是平行四邊形的任何一邊，h必須是a邊與其對(duì)邊的距離即對(duì)應(yīng)的高，為了區(qū)別，可以把高記成ha，表明它所對(duì)應(yīng)的底是a例8 如圖，在ABCD中，BE平分B交CD于點(diǎn)E，DF平分D交AB于點(diǎn)F，求證BF=DE證明：四邊形ABCD是平行四邊形DEFB，ABC=ADC(平行四邊形的對(duì)邊也平行對(duì)角相等)1=3(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)1=22=3DFBE(同位角相等兩條直線平行)四邊形BEDF為平行四邊形(平行四邊形定義)BF=DE(平行四邊形的對(duì)邊相等)說明： 此例也可通過ADFCBE來證明，但不如上面的方法簡(jiǎn)捷例9 如圖，CD的RtABC斜邊AB上的高，AE平分BAC交CD于E，EFAB，交BC于點(diǎn)F，求證CE=BF分析 作EGBC，交AB于G，易得EG=BF再由基本圖，可得EG=EC，從而得出結(jié)論證明：過E點(diǎn)作EGBC交AB于G點(diǎn)EGA=BEFABEG=BFCD為RtABC斜邊AB上的高BACB=90BACACD90B=ACDACD=EGAAE平分BAC1=2又AE=AEAGEACE(AAS)CE=EGCE=BF說明：(1)在上述證法中，“平移”起著把條件集中的作用(2)本題也可以設(shè)法平移AE(連F點(diǎn)作FGAE，交AB于G)例10 如圖，已知ABCD的周長(zhǎng)為32cm，ABBC=53，AEBC于E，AFDC于F，EAF=2C，求AE和AF的長(zhǎng)分析：從化簡(jiǎn)條件開始由ABCD的周長(zhǎng)及兩鄰邊的比，不難得到平行四邊形的邊長(zhǎng)EAF=2C告訴我們什么？這樣，立即可以看出ADF、AEB都是有一個(gè)銳角為30的直角三角形再由勾股定理求出解：ABCD的周長(zhǎng)為32cm即AB+BC+CD+DA=32AB=CD BC=DA(平行四邊形的對(duì)邊相等)又ABBC=53EAF+AFC+C+CEA=360(四邊形內(nèi)角和等于360)AEBC AEC=90AFDC AFC=90EAF+C=180EAF=2CC=60ABCD(平行四邊形的對(duì)邊平行)ABE=C=60(兩直線平行同位角相等)同理ADF=60說明： 化簡(jiǎn)條件，化簡(jiǎn)結(jié)論，總之，題目中哪一部分最復(fù)雜就從化簡(jiǎn)那一部分開始，這是一種常用的解題策略，我們把這種解題策略稱為：從最復(fù)雜的地方開始它雖簡(jiǎn)單，卻很有效 2平行四邊形的判定例1 填空題(1)如圖1，四邊形ABCD與四邊形BEFC都是平行四邊形，則四邊形AEFD是_，理由是_(2) 如圖2，D、E分別在ABC的邊AB、AC上，DE=EF，AE=EC，DEBC則四邊形ADCF是_，理由是_，四邊形BCFD是_，理由是_分析： 判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的方法較多，要從已知條件出發(fā)，具體問題具體分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，從而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得(2)由AE=EC，DE=EF，由判定定理3可得四邊形ADCF是平行四邊形，從而得ADCF即BDCF，再由條件，可得四邊形BCFD是平行四邊形解： (1)平行四邊形，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形(2)平行四邊形，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，平行四邊形，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形說明： 平行四邊形的定義(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，既是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)，又是平行四邊形的一個(gè)判定方法例2 如圖，四邊形ABCD中，AB=CDADB=CBD=90求證：四邊形ABCD是平行四邊形分析：判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，有三類五個(gè)判定方法，這三類也是按邊、角和對(duì)角線分類，具體的五個(gè)方法如下表：因此必須根據(jù)已知條件與圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇判定方法證法一：AB=CDADB=CBD=90，BD=DBRtABDRtCDBABD=CDB，A=CABD+CBD=CDB+ADB即 ABC=CDA四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形)證法二：ADB=CBD=90，AB=CD、BD=DBRtABDRtCDBABD=CDBABCD(內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行)四邊形ABCD是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)證法三：由證法一知，RtABDRtCDBDA=BC又AB=CD四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)說明： 證明一個(gè)四邊形是平行四邊形，往往有多種證題思路，我們必須注意分析，通過比較，選擇最簡(jiǎn)捷的證題思路本題三種證法中，證法二與證法三比較簡(jiǎn)捷，本題還可用定義來證明例3 如圖，ABCD中，E、G、F、H分別是四條邊上的點(diǎn)，且AE=CF，BG=DH，求證：EF與GH互相平分分析： 只須證明EGFH為平行四邊形證明： 連結(jié)EG、GF、FH、HE四邊形ABCD是平行四邊形A=C，AD=CBBG=DHAH=CG又AE=CFAEHCFG(SAS)HE=GF同理可得 EG=FH四邊形EGFH是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)EF與GH互相平分(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)說明：平行四邊形的性質(zhì)，判定的綜合運(yùn)用是解決有關(guān)線段和角問題基本方法例4 如圖，ABCD中，AEBD于E，CFBD于F求證：四邊形AECF是平行四邊形分析：由平行四邊形的性質(zhì)，可得ABECDFAE= CF進(jìn)而可得四邊形AECF是平行四邊形證明：ABCD中，ABCD(平行四邊形的對(duì)邊平行，對(duì)邊相等)ABD=CDB(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)AEBD、CFBDAECFAEB=CFD=90ABECDF(AAS)AE=CF四邊形AECF是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)說明：平行四邊形的定義，既是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)，又是平行四邊形的一個(gè)判定方法例5 如圖，ABCD中，E、F分別在AD、BC上，且AE=CF，AF、BE相交于G，CE、DF相交于H求證：EF與GH互相平分分析： 欲證EF與GH互相平分，只需四邊形EGFH為平行四邊形，利用已知條件可知四邊形AFCE、四邊形EBFD都為平行四邊形，所以可得AFEC，BEDF，從而四邊形GEHF為平行四邊形證明：ABCD中，ADBC(平行四邊形對(duì)邊平行且相等)AE=CFDE=BF四邊形AFCE、四邊形BFDE是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平形四邊形)AFCE，BEDF(平行四邊形對(duì)邊平行)四邊形EGFH是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)GH與EF互相平分(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)說明：平行四邊形問題，并不都是以求證某一個(gè)四邊形為平行四邊形的形式出現(xiàn)的往往更多的是求證線段的相等、角的相等、直線的平行、線段的互相平分等等要靈活地根據(jù)題中已知條件，以及定義、定理等先判定某一四邊形為平行四邊形，然后再應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)加以證明例6 如圖，已知ABCD中，EF在BD上，且BE=DF，點(diǎn)G、H在AD、CB上，且有AG=CH，GH與BD交于點(diǎn)O，求證EGHF分析：證EF、GH互相平分GEHF為平行四邊形證明：連BG、DH、GF、EHABCD為平行四邊形ADBC又AG=HCDGBH四邊形BGDH為平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)HOGO，DO=BO(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)又BE=DFOE=OF四邊形GEHF為平行四邊形(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)EGHF(平行四邊形的對(duì)邊平行相等)說明： 由于條件BE=DF涉及到對(duì)角線BD，所以考慮用對(duì)角線互相平分來證明例7 如圖，ABCD中，AEBD于E，CFBD于F，G、H分別為AD、BC的中點(diǎn)，求證：EF和GH互相平分分析： 連結(jié)EH，HF、FG、GE，只須證明EHFG為平行四邊形證法一：連結(jié)EH，HF、FG、GEAEBD，G是AD中點(diǎn)GED=GDE同理可得四邊形ABCD是平行四邊形ADBC，GDE=HBFGE=HF，GED=HFBGEHF四邊形GEHF為平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)EF和GH互相平分(平行四邊形