曲率及其計(jì)算公式.ppt

3 9曲率 一 弧微分 二 曲率及其計(jì)算公式 三 曲率圓與曲率半徑 有向弧段的值 弧微分公式 曲率 曲率的計(jì)算公式 曲率圓曲率半徑 一 弧微分 s的絕對(duì)值等于這弧段的長(zhǎng)度 當(dāng)有向弧段的方向與曲線的正向一致時(shí)s 0 相反時(shí)s 0 s 0 s 0 顯然 弧s是x的函數(shù) s s x 而且s x 是x的單調(diào)增加函數(shù) 設(shè)x x Dx為 a b 內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn) 它們?cè)谇€y f x 上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M M 并設(shè)對(duì)應(yīng)于x的增量Dx 弧s的增量為Ds 于是 下面來(lái)求s x 的導(dǎo)數(shù)及微分 1 因?yàn)?因此 由于s s x 是單調(diào)增加函數(shù) 從而 于是ds 這就是弧微分公式 觀察曲線的彎曲線程度與切線的關(guān)系 二 曲率及其計(jì)算公式 可以用單位弧段上切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度的大小來(lái)表達(dá)弧段的平均彎曲程度 設(shè)曲線C是光滑的 曲線線C上從點(diǎn)M到點(diǎn)M 的弧為Ds 切線的轉(zhuǎn)角為Da 平均曲率 曲率 曲率的計(jì)算公式 設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程是y f x 且f x 具有二階導(dǎo)數(shù) 于是 從而 有 因?yàn)閠ana y 所以 例1計(jì)算等雙曲線xy 1在點(diǎn) 1 1 處的曲率 解 因此 y x 1 1 y x 1 2 曲線xy 1在點(diǎn) 1 1 處的曲率為 例2拋物線y ax2 bx c上哪一點(diǎn)處的曲率最大 解由y ax2 bx c 得y 2ax b y 2a 代入曲率公式 得 要使K最大 只須2ax b 0 拋物線的頂點(diǎn) 因此 拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大 最大曲率為K 2a 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 2 若曲線由參數(shù)方程 給出 那么曲率如何計(jì)算 1 直線上任一點(diǎn)的曲率等于什么 討論 提示 設(shè)直線方程為y ax b 則y a y 0 于是 提示 曲線在點(diǎn)M處的曲率K K 0 與曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑r有如下關(guān)系 曲線在M點(diǎn)的曲率中心 三 曲率圓與曲率半徑 M y f x D r 曲線在M點(diǎn)的曲率半徑 曲線在M點(diǎn)的曲率圓 例3設(shè)工件表面的截線為拋物線y 0 4x2 現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面 問(wèn)用直徑多大的砂輪才比較合適 解砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑 例3設(shè)工件表面的截線為拋物線y 0 4x2 現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面 問(wèn)用直徑多大的砂輪才比較合適 y 0 8x y 0 8 y x 0 0 y x 0 0 8 拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑為 所以選