各種投影轉(zhuǎn)化的算法公式.doc

各種投影轉(zhuǎn)化的算法公式投影計算公式往往表達(dá)方式不止一種，有時很難分辨誰對誰錯，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克呂格投影”、“UTM投影”、“蘭勃特等角投影” （1:100萬地形圖規(guī)范中稱作正軸等角圓錐投影，GB/T 14512-93）的正反轉(zhuǎn)換公式列出，因為我基本能保證這些公式的正確性。1 約定本文中所列的轉(zhuǎn)換公式都基于橢球體a - 橢球體長半軸b - 橢球體短半軸f - 扁率 e - 第一偏心率 e - 第二偏心率 N - 卯酉圈曲率半徑 R - 子午圈曲率半徑 B - 緯度，L - 經(jīng)度，單位弧度(RAD)- 縱直角坐標(biāo), - 橫直角坐標(biāo)，單位米(M)2 橢球體參數(shù)我國常用的3個橢球體參數(shù)如下（源自“全球定位系統(tǒng)測量規(guī)范 GB/T 18314-2001”）：橢球體長半軸a（米）短半軸b（米）Krassovsky（北京54采用）63782456356863.0188IAG 75（西安80采用）63781406356755.2882WGS 8463781376356752.3142需要說明的是，在“海洋地質(zhì)制圖常用地圖投影系列小程序”中，程序界面上的所謂“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在實際計算中只涉及了相應(yīng)的橢球體參數(shù)。3 墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影簡介墨卡托(Mercator)投影，是一種等角正切圓柱投影”，荷蘭地圖學(xué)家墨卡托（Gerhardus Mercator 15121594）在1569年擬定, 假設(shè)地球被圍在一中空的圓柱里，其標(biāo)準(zhǔn)緯線與圓柱相切接觸，然后再假想地球中心有一盞燈，把球面上的圖形投影到圓柱體上，再把圓柱體展開，這就是一幅選定標(biāo)準(zhǔn)緯線上的“墨卡托投影”繪制出的地圖。 墨卡托投影沒有角度變形，由每一點向各方向的長度比相等，它的經(jīng)緯線都是平行直線，且相交成直角，經(jīng)線間隔相等，緯線間隔從標(biāo)準(zhǔn)緯線向兩極逐漸增大。墨卡托投影的地圖上長度和面積變形明顯，但標(biāo)準(zhǔn)緯線無變形，從標(biāo)準(zhǔn)緯線向兩極變形逐漸增大，但因為它具有各個方向均等擴(kuò)大的特性，保持了方向和相互位置關(guān)系的正確。在地圖上保持方向和角度的正確是墨卡托投影的優(yōu)點，墨卡托投影地圖常用作航海圖和航空圖，如果循著墨卡托投影圖上兩點間的直線航行，方向不變可以一直到達(dá)目的地，因此它對船艦在航行中定位、確定航向都具有有利條件，給航海者帶來很大方便?！昂５椎匦螆D編繪規(guī)范”（GB/T 17834-1999，海軍航保部起草）中規(guī)定1：25萬及更小比例尺的海圖采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形圖（1：5萬，1：25萬，1： 100萬）采用統(tǒng)一基準(zhǔn)緯線30，非基本比例尺圖以制圖區(qū)域中緯為基準(zhǔn)緯線。基準(zhǔn)緯線取至整度或整分。3.2 墨卡托投影坐標(biāo)系取零子午線或自定義原點經(jīng)線(L0)與赤道交點的投影為原點，零子午線或自定義原點經(jīng)線的投影為縱坐標(biāo)X軸，赤道的投影為橫坐標(biāo)Y軸，構(gòu)成墨卡托平面直角坐標(biāo)系。3.3 墨卡托投影正反解公式墨卡托投影正解公式：（B,L）(X,Y)，標(biāo)準(zhǔn)緯度B0，原點緯度 0，原點經(jīng)度L0墨卡托投影反解公式：(X,Y) （B,L），標(biāo)準(zhǔn)緯度B0，原點緯度 0，原點經(jīng)度L0 公式中EXP為自然對數(shù)底，緯度B通過迭代計算很快就收斂了。4 高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影和UTM（Universal Transverse Mercator）投影4.1 高斯-克呂格投影與UTM投影異同高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影與UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用橫軸墨卡托投影）都是橫軸墨卡托投影的變種，目前一些國外的軟件或國外進(jìn)口儀器的配套軟件往往不支持高斯-克呂格投影，但支持 UTM投影，因此常有把UTM投影當(dāng)作高斯-克呂格投影的現(xiàn)象。從投影幾何方式看，高斯-克呂格投影是“等角橫切圓柱投影”，投影后中央經(jīng)線保持長度不變，即比例系數(shù)為1；UTM投影是“等角橫軸割圓柱投影”，圓柱割地球于南緯80度、北緯84度兩條等高圈，投影后兩條割線上沒有變形，中央經(jīng)線上長度比 0.9996。從計算結(jié)果看，兩者主要差別在比例因子上，高斯-克呂格投影中央經(jīng)線上的比例系數(shù)為1， UTM投影為0.9996，高斯-克呂格投影與UTM投影可近似采用 XUTM=0.9996 * X高斯，YUTM=0.9996 * Y高斯，進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（注意：如坐標(biāo)縱軸西移了500000米，轉(zhuǎn)換時必須將Y值減去500000乘上比例因子后再加500000）。從分帶方式看，兩者的分帶起點不同，高斯-克呂格投影自0度子午線起每隔經(jīng)差6度自西向東分帶，第1帶的中央經(jīng)度為3；UTM投影自西經(jīng)180起每隔經(jīng)差6度自西向東分帶，第1帶的中央經(jīng)度為-177，因此高斯-克呂格投影的第1帶是UTM的第31帶。此外，兩投影的東偽偏移都是500公里，高斯-克呂格投影北偽偏移為零，UTM北半球投影北偽偏移為零，南半球則為10000公里。4.2 高斯-克呂格投影簡介高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影，是一種“等角橫切圓柱投影”。德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家高斯（Carl Friedrich auss，1777一 1855）于十九世紀(jì)二十年代擬定，后經(jīng)德國大地測量學(xué)家克呂格（Johannes Kruger，18571928）于 1912年對投影公式加以補(bǔ)充，故名。設(shè)想用一個圓柱橫切于球面上投影帶的中央經(jīng)線，按照投影帶中央經(jīng)線投影為直線且長度不變和赤道投影為直線的條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)一定經(jīng)差范圍內(nèi)的球面正形投影于圓柱面。然后將圓柱面沿過南北極的母線剪開展平，即獲高斯一克呂格投影平面。高斯一克呂格投影后，除中央經(jīng)線和赤道為直線外，其他經(jīng)線均為對稱于中央經(jīng)線的曲線。高斯-克呂格投影沒有角度變形，在長度和面積上變形也很小，中央經(jīng)線無變形，自中央經(jīng)線向投影帶邊緣，變形逐漸增加，變形最大處在投影帶內(nèi)赤道的兩端。由于其投影精度高，變形小，而且計算簡便（各投影帶坐標(biāo)一致，只要算出一個帶的數(shù)據(jù)，其他各帶都能應(yīng)用），因此在大比例尺地形圖中應(yīng)用，可以滿足軍事上各種需要，并能在圖上進(jìn)行精確的量測計算。按一定經(jīng)差將地球橢球面劃分成若干投影帶,這是高斯投影中限制長度變形的最有效方法。分帶時既要控制長度變形使其不大于測圖誤差，又要使帶數(shù)不致過多以減少換帶計算工作，據(jù)此原則將地球橢球面沿子午線劃分成經(jīng)差相等的瓜瓣形地帶,以便分帶投影。通常按經(jīng)差6度或3度分為六度帶或三度帶。六度帶自 0度子午線起每隔經(jīng)差6度自西向東分帶，帶號依次編為第 1、260帶。三度帶是在六度帶的基礎(chǔ)上分成的，它的中央子午線與六度帶的中央子午線和分帶子午線重合，即自 1.5度子午線起每隔經(jīng)差3度自西向東分帶，帶號依次編為三度帶第 1、2120帶。我國的經(jīng)度范圍西起 73東至135，可分成六度帶十一個，各帶中央經(jīng)線依次為75、81、87、117、123、129、135，或三度帶二十二個。我國大于等于50萬的大中比例尺地形圖多采用六度帶高斯-克呂格投影，三度帶高斯-克呂格投影多用于大比例尺測圖，如城建坐標(biāo)多采用三度帶的高斯-克呂格投影。4.3 UTM投影簡介UTM投影全稱為“通用橫軸墨卡托投影”，是一種“等角橫軸割圓柱投影”，橢圓柱割地球于南緯80度、北緯84度兩條等高圈，投影后兩條相割的經(jīng)線上沒有變形，而中央經(jīng)線上長度比0.9996。UTM投影是為了全球戰(zhàn)爭需要創(chuàng)建的，美國于1948年完成這種通用投影系統(tǒng)的計算。與高斯-克呂格投影相似，該投影角度沒有變形，中央經(jīng)線為直線，且為投影的對稱軸，中央經(jīng)線的比例因子取0.9996是為了保證離中央經(jīng)線左右約330km處有兩條不失真的標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)線。UTM投影分帶方法與高斯-克呂格投影相似，是自西經(jīng)180起每隔經(jīng)差6度自西向東分帶，將地球劃分為60個投影帶。我國的衛(wèi)星影像資料常采用UTM投影。4.4 高斯-克呂格投影與UTM投影坐標(biāo)系 高斯- 克呂格投影與UTM投影是按分帶方法各自進(jìn)行投影，故各帶坐標(biāo)成獨立系統(tǒng)。以中央經(jīng)線（L0）投影為縱軸X, 赤道投影為橫軸Y，兩軸交點即為各帶的坐標(biāo)原點。為了避免橫坐標(biāo)出現(xiàn)負(fù)值，高斯- 克呂格投影與UTM北半球投影中規(guī)定將坐標(biāo)縱軸西移500公里當(dāng)作起始軸，而UTM南半球投影除了將縱軸西移500公里外，橫軸南移10000公里。由于高斯-克呂格投影與UTM投影每一個投影帶的坐標(biāo)都是對本帶坐標(biāo)原點的相對值，所以各帶的坐標(biāo)完全相同，為了區(qū)別某一坐標(biāo)系統(tǒng)屬于哪一帶，通常在橫軸坐標(biāo)前加上帶號，如(4231898m,21655933m)，其中21即為帶號。 4.5 高斯-克呂格投影與UTM投影正反解公式高斯-克呂格投影和UTM投影公式從目前公開出版的教材、文獻(xiàn)及網(wǎng)上我看到好幾種版本，可歸結(jié)為下列兩組，我把原來教科書及國內(nèi)文獻(xiàn)上常見的一套公式列作高斯-克呂格投影公式，POSC(國際石油技術(shù)軟件開放公司)及國外文獻(xiàn)上見到的另一套公式列作UTM投影公式。常常能看到兩套投影公式混用的文獻(xiàn)資料，文中談?wù)摰氖荱TM投影，但列出的公式卻是國內(nèi)教材上的高斯-克呂格投影公式，讓我很困惑。為此，我設(shè)定比例因子都為1，用下列兩組公式分別進(jìn)行了同點的投影計算，計算結(jié)果在中高緯度時兩套公式差異很小，小數(shù)后6位都是一致的；在低緯度時，投影結(jié)果差異拉大，橫軸在小數(shù)第三位開始出現(xiàn)差異。假如精確到厘米級，上述試驗說明兩套公式混用應(yīng)該沒問題。不過，有可能會有其它極端的情況，畢竟是不同的投影公式。高斯-克呂格投影正解公式：（B,L）(X,Y)，原點緯度 0，中央經(jīng)度L0上面公式中東緯偏移FE = 500000米 + 帶號 * 1000000；高斯-克呂格投影比例因子k0 = 1UTM投影正解公式：（B,L）(X,Y)，原點緯度 0，中央經(jīng)度L0上面公式中東緯偏移 FE= 500000米 ；北緯偏移 FN北半球= 0，F(xiàn)N南半球= 10000000米；UTM投影比例因子k0 = 0.9996，其它參數(shù)同高斯-克呂格投影正解公式高斯-克呂格投影反解公式：(X,Y) （B,L），原點緯度 0，中央經(jīng)度L0 UTM投影反解公式：(X,Y) （B,L），原點緯度 0，中央經(jīng)度L0 式中參數(shù)同高斯-克呂格投影反解公式5 蘭勃特等角投影(Lambert Conformal Conic)；5.1 蘭勃特等角投影簡介蘭勃特等角投影，在雙標(biāo)準(zhǔn)緯線下是一“等角正軸割圓錐投影”，由德國數(shù)學(xué)家蘭勃特（J.H.Lambert）在1772年擬定。設(shè)想用一個正圓錐割于球面兩標(biāo)準(zhǔn)緯線，應(yīng)用等角條件將地球面投影到圓錐面上，然后沿一母線展開，即為蘭勃特投影平面。蘭勃特等角投影后緯線為同心圓弧，經(jīng)線為同心圓半徑。前面已經(jīng)介紹的墨卡托(Mercator)投影是它的一個極端特例。蘭勃特投影采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線相割，與采用單標(biāo)準(zhǔn)緯線相切比較，其投影變形小而均勻，蘭勃托投影的變形分布規(guī)律是：a) 角度沒有變形；b) 兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線上沒有任何變形；c) 等變形線和緯線一致，即同一條緯線上的變形處處相等； d) 在同一經(jīng)線上，兩標(biāo)準(zhǔn)緯線外側(cè)為正變形（長度比大于1），而兩標(biāo)準(zhǔn)緯線之間為負(fù)變形（長度比小于1）。變形比較均勻，變形絕對值也比較小；e) 同一緯線上等經(jīng)差的線段長度相等，兩條緯線間的經(jīng)緯線長度處處相等。 蘭勃特投影常用于小比例尺地形圖。“1：1000000地形圖編繪規(guī)范及圖式 GB/T 14515-93”中規(guī)定1：100萬地形圖采用正軸等角圓錐投影（蘭勃特等角投影），并采用了國際地理學(xué)會規(guī)定的全球統(tǒng)一使用的國際百萬分之一地圖的分幅原則，按緯差4從赤道向北、經(jīng)差6從-180向東分幅，每個投影分幅單獨計算坐標(biāo)，每幅兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線，第一標(biāo)準(zhǔn)緯線為圖幅南端緯度加30的緯線，第二標(biāo)準(zhǔn)緯線為圖幅北端緯度減30的緯線。由于是緯差4分帶投影的，所以當(dāng)沿著緯線方向拼接地圖時，不論多少圖幅，均不會產(chǎn)生裂隙；但是，當(dāng)沿著經(jīng)線方向拼接時，因拼接線分別處于上下不同的投影帶，投影后的曲率不同，致使