近世代數(shù)試卷.doc

1.以下關(guān)系中，哪個是實數(shù)集的元間的等價關(guān)系？（ D ）A.關(guān)系：aba2+b2=1B.關(guān)系：ababC.關(guān)系：aba=2bD.關(guān)系：aba=b2.設(shè)A是區(qū)間0，1上全體實函數(shù)組成的集合，規(guī)定：（ f （x）=（x2+1） f （x）,f （x）A,則是A的（ A ）A.滿變換 B.單變換 C.一一變換D.不是A的變換3.在有理數(shù)集上定義代數(shù)運算a b=（a+b）2，則這個代數(shù)運算（ ）A.既適合結(jié)合律又適合交換律B.適合結(jié)合律但不適合交換律C.不適合結(jié)合律但適合交換律D.既不適合結(jié)合律又不適合交換律4.下列集合對所給運算作成群的是（ A ）A.全體實數(shù)對普通數(shù)的加法B.全體實數(shù)對普通數(shù)的減法C.全體實數(shù)對普通數(shù)的乘法D.全體實數(shù)對普通數(shù)的除法5.設(shè)，那么R關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，則這個矩陣環(huán)是（ ）A.有單位元的可換環(huán)B.無單位元的可換環(huán)C.無單位元的非可換環(huán)D.有單位元的非可換環(huán)1.設(shè)A=a,b,c,d,則A的一一變換共有_個.（ C ）4!A.4 B.16 C.24D.642.設(shè)A=所有實數(shù)x，A的代數(shù)運算a。b =a+b+ab（ C ）A.既適合結(jié)合律又適合交換律B.適合結(jié)合律但不適合交換律C.不適合結(jié)合律但適合交換律D.既不適合結(jié)合律又不適合交換律3.設(shè)A=所有有理數(shù)x，A的代數(shù)運算是普通加法，則以下映射作成A到A的一個子集的同態(tài)滿射的是（ B ）A.x|x| B.x2x C.xx2D.x4.在非零復(fù)數(shù)乘法群C*中，階為2的元有_C_個.（ ）A.0個 B.1個 C.2個D.3個5.設(shè)M2（R）=按矩陣的加法和乘法構(gòu)成R上的二階方陣環(huán)，那么這個方陣環(huán)是（ ）A.有單位元的交換環(huán)B.無單位元的變換環(huán)C.無單位元的非交換環(huán)D.有單位元的非交換環(huán)1.以下關(guān)系中，哪個不是所給集合元間的等價關(guān)系?（ C ）A.在有理數(shù)集Q中關(guān)系：aba-bZB.在復(fù)數(shù)集C中關(guān)系：ab|a|=|b|C.在實數(shù)集R中關(guān)系：ababD.在實數(shù)集R中關(guān)系：aba=b2.設(shè)A=Z，D=Z+，n|則是Z到Z+的（ ）A.單射 B.滿射 C.一一映射D.不是映射3.在實數(shù)集R中定義代數(shù)運算aob=a+b+ab，則這個代數(shù)運算（ ）A.既適合結(jié)合律又適合交換律B.適合結(jié)合律但不適合交換律C.不適合結(jié)合律但適合交換律D.既不適合結(jié)合律又不適合交換律4.下列集合對所給運算作成群的是（ C ）A.非零有理數(shù)的全體Q*對普通數(shù)的加法B.非零有理數(shù)的全體Q*對普通數(shù)的減法C.非零有理數(shù)的全體Q*對普通數(shù)的乘法D.非零有理數(shù)的全體Q*對普通數(shù)的除法5.設(shè)R=，那么R關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，則這個矩陣環(huán)是（ ）A.有單位元的可換環(huán)B.無單位元的可換環(huán)C.無單位元的非可換環(huán)D.有單位元的非可換環(huán)1. 設(shè)集合A中含有3個元素，集合B中含有4個元素，那么，A與B的積集合AB中含有_個元素。（ ）A. 3 B. 4 C. 7 D. 122設(shè)ABR (實數(shù)集)，如果A到B的映射：x2x， xR，則是從A到B的_。（ ）A. 滿射而非單射 B. 單射而非滿射 C. 一一映射 D. 既非單射也非滿射3. 設(shè)S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，則S3的子群共有_個。 （ ）A. 2 B. 4 C. 6D. 84設(shè)Z 12是以12為模的剩余類加群，那么，Z 12的生成元共有_個。 （ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 125. 設(shè)I1，I2是環(huán)R的兩個子環(huán)，0是環(huán)R的零元素，那么在下列集合中，_未必是環(huán)R的子環(huán)。 （ ）A. I1I2x | xI1或xI2B. 0 C. I1I2x | xI1且xI2 D. 環(huán)R本身.設(shè)m是一個正整數(shù)，aZ,作帶余除法：a=mq+r,0rm,規(guī)定：f(a)=r.則f是Z的( )A.滿變換B.單變換C.一一變換D.既不是滿變換也不是單變換2.有理數(shù)集Q上的代數(shù)運算=b3( )A.既適合結(jié)合律又適合交換律B.適合結(jié)合律但不適合交換律C.不適合結(jié)合律但適合交換律D.既不適合結(jié)合律又不適合交換律3.剩余類加群Z8的子群有( )A.4個 B.5個 C.6個D.7個4.在3次對稱群S3中可以與(132)交換的所有元素為( )A.(1)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)，(132)D.S3中的所有元素5.M2(R)=按矩陣的加法和乘法構(gòu)成R上的二階方陣環(huán),這個方陣環(huán)是( )A.有單位元的交換環(huán)B.無單位元的非交換環(huán)C.無單位元的交換環(huán)D.有單位元的非交換環(huán)1.設(shè)集合A中含有4個元素，那么積集合AA中含有_個元素（ D ）A.4 B.8 C.12D.162.設(shè)R是整數(shù)集，A=RR，（x,y）（x,-y），則是A的（ C ）A.滿變換 B.單變換 C.一一變換D.不是A的變換3.在有理數(shù)集中的代數(shù)運算ab=b2（ C ）A.適合結(jié)合律但不適合交換律B.不適合結(jié)合律但適合交換律C.既適合結(jié)合律又適合交換律D.既不適合結(jié)合律又不適合交換律4.在4次對稱群S4中，階為2的元有（ A ）A.6個 B.7個 C.8個D.9個5.除環(huán)的理想有（ B ）A.1個 B.2個C.3個D.4個6.設(shè)A=a,b,c,d,e，則A的一一變換共有_120_個.5!7.在4次對稱群S4中，（134）2（312）-1=_.8.在3次對稱群S3中，H（1），（12）是S3的一個子群，則H （23）_(23) (132)_9.設(shè)Z8是模8的剩余類環(huán)，則Z8中的零因子是_10.剩余類環(huán)Z15的可逆元有_個.11.設(shè)Zx是整系數(shù)多項式環(huán)，則Zx的主理想（x2）_12.整環(huán)I所有復(fù)數(shù)a+b（a,b是整數(shù)），則I的單位是_13.設(shè)Q是有理數(shù)域，則Q =_.14.在有理數(shù)域Q上的極小多項式是_6.模8的剩余類加群Z8有_個生成元.7.若=（123）（45）,=（2345）,則-1=_.8.設(shè)循環(huán)群G=（a）,如果a的階為n,則G同構(gòu)于_.9.整數(shù)環(huán)有_1_個可逆元 .10.剩余類環(huán)Z5的零因子個數(shù)等于_.11.剩余類環(huán)Z6的子環(huán)有_個.12.整環(huán)I=所有復(fù)數(shù)a+b（a,b是整數(shù)）,則I的單位是_.13.設(shè)Q為有理數(shù)域,S=,則Q（S）=_.14.在有理數(shù)域Q上的極小多項式是_.6.設(shè)A=a,b,c,d,e，則A的子集共有_3125_個.7.在4次對稱群S4中，（143）2（132）-1=_.8.模12的剩余類加群Z12的生成元有_個.9.設(shè)Z6是模6的剩余類環(huán)，則Z6中的零因子是_.10.模p（素數(shù)）的剩余類環(huán)Zp的特征為_. 11.剩余類環(huán)Z17的可逆元有_個.12.在高斯整環(huán)Zi=a+bi|a,bZ中,主理想（1+i）_.13.在整環(huán)I所有復(fù)數(shù)a+b（a,b是整數(shù)）中，1+的相伴元是_.14.設(shè)R是實數(shù)域，則 =_. 15.在有理數(shù)域Q上的極小多項式是_.6. 設(shè)“”是集合AA到A的一個代數(shù)運算，如果對于a，b，cA，“”滿足_，則稱代數(shù)運算“”適合結(jié)合律。7. 設(shè)(G，)是一個群，則對于a，b，cG，方程axb和yab在G中有唯一解，那么，這兩個方程的解分別為_。8. 設(shè)(5234)，(135)S5，那么，_(表示成若干個沒有公共數(shù)字的循環(huán)置換之積)。9. 設(shè)Z120，1，2，11是以12為模的剩余類加群，那么，Z12的子群共有_個。10. 在3次對稱群S3中，設(shè)子群H(1)，(23)，則子群H關(guān)于元素 (132) 的右陪集H(132)_。11. 設(shè) (R，)是一個至少含有兩個元素的環(huán)，如果R滿足_，則稱R是一個除環(huán)。12. 設(shè)Z60，1，2，3，4，5是以6為模的剩余類環(huán)，那么，在Z6的子集0，2，4， 1 ， 0，3中，_不是Z6的子環(huán)。13. 設(shè)F是一個域，則F的理想有_個。14. 設(shè)Zx是整系數(shù)多項式環(huán)，f (x)6x224，則f (x)在Zx中的不可約分解為_。15. 已知，i是有理數(shù)域Q上的兩個代數(shù)元，則Q (，i)在有理數(shù)域Q上的擴(kuò)域次數(shù)：(Q (，i) : Q)_。6.設(shè)A=a,b,c,d,e,f，則A的一一變換共有_個.7.在非零實數(shù)乘法群R*中，階為2的元有_個.8.在4次對稱群S4中，(132)2(1234)-1=_. 9.模10的剩余類加群Z10有_個生成元.10.模P（素數(shù)）的剩余類環(huán)Zp有_個可逆元.11.模9的剩余類環(huán)Z9的零因子為_.12.設(shè)Zx是整系數(shù)多項式環(huán)，則Zx的理想(3,x)_13.主理想環(huán)與歐氏環(huán)的關(guān)系是_. 14.在,2i+1,中，_是有理數(shù)域Q上的代數(shù)元.15.在有理數(shù)域Q上的極小多項式是_6.剩余類加群Z4有_個生成元.7.在4次對稱群S4中，（123）（1423）-1=_.8.階為n的有限循環(huán)群同構(gòu)于_.9.剩余類環(huán)Z11的零因子個數(shù)等于_.10.剩余類環(huán)Z13的可逆元有_個.11.如果G是一個含有16個元素的群，那么，根據(jù)Lagrange定理知，對于aG，元素a的階只可能是_12.整環(huán)I所有復(fù)數(shù)a+b（a,b是整數(shù)），則I的單位是_.13.在,i+2,2中，_是有理數(shù)域Q上的代數(shù)元.14.設(shè)Q是有理數(shù)域，則Q（+）=_.15.在實數(shù)域R上的極小多項式是_.15.設(shè)M是一個非空集合，2M是M的冪集（M的子集的全體稱為M的冪集），問2M關(guān)于集合的并是否構(gòu)成群？為什么？16.找出模20的剩余類加群Z20的所有子群，并找出Z20的全部生成元.17.設(shè)關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成一個環(huán)，I =證明：I是R的理想，問商環(huán)R/I由哪些元素組成？15.若A=a,b,c,d對于代數(shù)運算“o”來說作成群,且除單位元以外,每個元的階都是2,試作出A的代數(shù)運算表.16.找出模12的剩余類環(huán)Z12的所有子環(huán),這些子環(huán)是否都是理想?為什么?17.偶數(shù)環(huán)2Z的主理想（4）含有哪些元?2Z/（4）含有哪些元?2Z/（4）是否為域?為什么？16.找出3次對稱群S3的所有子群,這些子群中哪些是S3的不變子群?17.設(shè)群G=Z18子群H=（6）,（1）商群G/H=?（2）商群G/H與怎樣的一個群同構(gòu)?18.設(shè)R=關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成一個環(huán)，I=，證明：I是R的理想，問商環(huán)R/I由哪些元素組成？16設(shè)Z9為以9為模的剩余類加群，即Z90，1，2，8。找出Z9的全部生成元，并找出Z9的所有子群。17設(shè)數(shù)集G2m3n | m，nZ，已知G關(guān)于數(shù)的乘法作成群。作G到G的映射：2m3n2m，2m3nG，驗證是G到G的一個同態(tài)映射，且求映射的核Ker。18設(shè)Z5x為以5為模的剩余類環(huán)Z5上的一元多項式環(huán)，在Z5x中化簡(給出化簡的步驟)：16.設(shè)M是一個非空集合，2M是M的冪集（M的子集的全體稱為M的冪集），問2M關(guān)于集合的交是否構(gòu)成群？試說明理由.17.找出模20的剩余類環(huán)Z20的所有子環(huán)并說明這些子環(huán)是否是Z20的理想，為什么？18.Z3=0,1,2，找出加群Z3的所有自同構(gòu)，再找出域Z3的所有自同構(gòu).16.假定下表是一個群的乘法表，試填出未列出的元oeabcdeeabebcdecdabd17.找出模15的剩余類環(huán)Z15的所有子環(huán)，這些子環(huán)是否都是Z15的理想？為什么？18.設(shè)Z是整數(shù)環(huán)，（2）（5）、（2,5）是Z的怎樣的理想？（2）（5）是Z的理想嗎？為什么？18.設(shè)G是一個群，aG證明：a與a-1的階相同.19.設(shè)G=有理數(shù)域上所有n階可逆矩陣，H = A|AG,|A|=1證明：H是G的不變子群20.證明：一個域是一個歐氏環(huán)18.若F是一個有四個元的域,則F的特征是2.19.證明:階為pm的群（p是素數(shù)）一定包含一個階是p的子群.20.設(shè)m,r是取定的正整數(shù),且r|m.用符號表示Zm中a所在的剩余類,a表示Zr中a所在的剩余類,令f:a,證明:（1）f是Zm到Zr的同態(tài)滿射.（2）求ker f.（3）Zm/ker f是怎樣的環(huán)?19.設(shè)R為全體實數(shù)組成的加法群,R+表示全體正實數(shù)組成的乘法群,則R+與R同構(gòu).20.設(shè)M2（Q）是有理數(shù)域Q上的二階矩陣環(huán),證明:M2（Q）只有零理想與單位理想,但不是除環(huán).21.證明：3-2i是高斯整環(huán)Zi=a+bi|a,bZ的素元.19設(shè)G是一個群，a，bG，如果元素a的階為3，b的階為4，且abba，證明：ab的階為12。2