2014年考研數(shù)學三真題與解析.doc

2014年考研數(shù)學三真題與解析一、選擇題 18小題每小題4分，共32分1設，則當充分大時，下列正確的有（ ）（A） （B） （C） (D)【詳解】因為，所以，當時，有，即，取，則知，所以選擇（A）2下列曲線有漸近線的是（A） （B）（C） （D）【分析】只需要判斷哪個曲線有斜漸近線就可以【詳解】對于，可知且，所以有斜漸近線應該選（C）3設，則當時，若是比高階的無窮小，則下列選項中錯誤的是（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】只要熟練記憶當時，顯然，應該選（D）4設函數(shù)具有二階導數(shù)，則在上（ ）（A）當時， （B）當時，（C）當時， （D）當時，【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法【詳解1】如果對曲線在區(qū)間上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷如果對區(qū)間上任意兩點及常數(shù)，恒有，則曲線是凸的顯然此題中，則，而，故當時，曲線是凹的，即，也就是，應該選（D）【詳解2】如果對曲線在區(qū)間上凹凸的定義不熟悉的話，可令，則，且，故當時，曲線是凹的，從而，即，也就是，應該選（D）行列式等于（A） （B）（C） （D）【詳解】應該選（B）6設 是三維向量，則對任意的常數(shù)，向量，線性無關是向量線性無關的（A）必要而非充分條件 （B）充分而非必要條件（C）充分必要條件 （D） 非充分非必要條件【詳解】若向量線性無關，則（，），對任意的常數(shù)，矩陣的秩都等于2，所以向量，一定線性無關而當時，對任意的常數(shù)，向量，線性無關，但線性相關；故選擇（A）7設事件A，B想到獨立，則（ ）（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4【詳解】所以，故選擇（B）8設為來自正態(tài)總體 的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量服從的分布是（A） （B） （C） （D）【詳解】，顯然，且與相互獨立，從而故應該選擇（C）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9設某商品的需求函數(shù)為（為商品的價格），則該商品的邊際收益為 【詳解】，邊際收益10設D是由曲線與直線及所圍成的有界區(qū)域，則D的面積為 【詳解】11設，則 【詳解】所以12二次積分 【詳解】13設二次型的負慣性指數(shù)是1，則的取值范圍是 【詳解】由配方法可知由于負慣性指數(shù)為1，故必須要求，所以的取值范圍是14設總體X的概率密度為，其中是未知參數(shù)，是來自總體的簡單樣本，若是的無偏估計，則常數(shù)= 【詳解】，所以，由于是的無偏估計，故，三、解答題15（本題滿分10分）求極限【分析】先用等價無窮小代換簡化分母，然后利用洛必達法則求未定型極限【詳解】16（本題滿分10分）設平面區(qū)域計算【詳解】由對稱性可得17（本題滿分10分）設函數(shù)具有二階連續(xù)導數(shù)，滿足若，求的表達式【詳解】設，則，;；由條件，可知這是一個二階常用系數(shù)線性非齊次方程對應齊次方程的通解為：其中為任意常數(shù)對應非齊次方程特解可求得為故非齊次方程通解為將初始條件代入，可得所以的表達式為18（本題滿分10分）求冪級數(shù)的收斂域、和函數(shù)【詳解】由于，所以得到收斂半徑當時，級數(shù)的一般項不趨于零，是發(fā)散的，所以收斂域為令和函數(shù)，則19（本題滿分10分）設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明：（1） ；（2） 【詳解】（1）證明：因為，所以即（2）令，則可知，且，因為且單調(diào)增加，所以從而， 也是在單調(diào)增加，則，即得到20（本題滿分11分）設，E為三階單位矩陣（1） 求方程組的一個基礎解系；（2） 求滿足的所有矩陣【詳解】（1）對系數(shù)矩陣A進行初等行變換如下：，得到方程組同解方程組得到的一個基礎解系（2）顯然B矩陣是一個矩陣，設對矩陣進行進行初等行變換如下：由方程組可得矩陣B對應的三列分別為，即滿足的所有矩陣為其中為任意常數(shù)21（本題滿分11分）證明階矩陣與相似【詳解】證明：設 ，分別求兩個矩陣的特征值和特征向量如下：，所以A的個特征值為；而且A是實對稱矩陣，所以一定可以對角化且；所以B的個特征值也為；對于重特征值，由于矩陣的秩顯然為1，所以矩陣B對應重特征值的特征向量應該有個線性無關，進一步矩陣B存在個線性無關的特征向量，即矩陣B一定可以對角化，且從而可知階矩陣與相似22（本題滿分11分）設隨機變量X的分布為，在給定的條件下，隨機變量服從均勻分布（1） 求的分布函數(shù)；（2） 求期望【詳解】（1）分布函數(shù)當時，；當時，；當時，；當時，所以分布函數(shù)為（2）概率密度函數(shù)為，23（本題滿分11分）設隨機變量X，Y的概率分布