數(shù)學(xué)人教版八年級下冊勾股定理逆定理教學(xué)設(shè)計.doc

17.2勾股定理的逆定理 教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)知識與技能1.了解互逆命題和互逆定理的概念。2. 理解勾股定理逆定理的證明方法并能證明勾股定理的逆定理。3.掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否為直角三角形。4.會認識并判別勾股數(shù)。過程與方法1.用三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷一個三角形是否為直角三角形，體會數(shù)形結(jié)合的思想。2經(jīng)歷證明勾股定理逆定理的過程，發(fā)展邏輯思維能力和空間想象能力。3經(jīng)歷互為逆定理的討論，樹立嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和實事求是求學(xué)精神。情感態(tài)度與價值觀1通過對Rt判別條件的研究，樹立大膽猜想，勇于探索的創(chuàng)新精神。2通過介紹有關(guān)歷史資料，激發(fā)解決問題的愿望。3經(jīng)歷探索勾股定理逆定理證明的過程，樹立克服困難的勇氣和堅強的意志。4樹立與人合作、交流的團隊意識。教學(xué)重點和難點教學(xué)重點：勾股定理的逆定理及應(yīng)用。教學(xué)難點：勾股定理的逆定理的證明。教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)、分組討論教學(xué)媒體多媒體課件演示。教學(xué)過程設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課（1）總結(jié)直角三角形有哪些性質(zhì)。（2）一個三角形，滿足什么條件是直角三角形？通過對前面所學(xué)知識的歸納總結(jié)，聯(lián)想到用三邊的關(guān)系是否可以判斷一個三角形為直角三角形，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)反思問題的能力。學(xué)生分組討論，交流總結(jié)；教師引導(dǎo)學(xué)生回憶。（1）直角三角形有如下性質(zhì)：有一個角是直角；兩個銳角互余；兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；在含30角的直角三角形中，30的角所對的直角邊是斜邊的一半。（2）有一個內(nèi)角是90，那么這個三角形就為直角三角形大家思考一下還有沒有其他的方法來說明一個三角形是直角三角形呢？前面我們學(xué)習(xí)了勾股定理，可不可以用三角形三邊的關(guān)系來判定它是否為直角三角形呢？我們來看一下野外拓展訓(xùn)練小組的同學(xué)是如何做的？（二）講授新課觀看視頻：把一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后以3個結(jié)、4個結(jié)、5個結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角?；顒?請你按下列步驟畫出一個三角形.步驟1：找到滿足a2+b2=c2的三個數(shù)a，b，c. 如3,4,5；2.5,6,6.5.步驟2：畫出以a，b，c為邊長的三角形.問題：這個三角形是什么形狀呢？這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊分別為3、4、5有下面的關(guān)系“32+42=52”那么圍成的三角形是直角三角形。大家畫一畫、量一量，看看這樣做出的三角形是直角三角形嗎？再畫畫看，如果三角形的三邊分別為2.5 cm、6 cm、6.5 cm，有下面的關(guān)系，“2.52+62=6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4 cm、7.5cm、8.5 cm再試一試。讓學(xué)生在小組內(nèi)共同合作，協(xié)手完成此活動。用尺規(guī)作圖的方法作出三角形，經(jīng)過測量后，發(fā)現(xiàn)以上兩組數(shù)組成的三角形是直角三角形，而且三邊滿足a2+b2=c2。我們進而會想：是不是三角形的三邊只要有兩邊的平方和等于第三邊的平方，就能得到一個直角三角形呢？活動2請你按以下步驟做一個直角三角形步驟1：以活動1中a，b的長為直角邊作直角三角形.步驟2：求出斜邊的長.問題：比較活動1和活動2中的三角形，你發(fā)現(xiàn)了什么？已知：在ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2求證： ABC是直角三角形。證明：畫一個ABC，使 C=900，BC=a， CA=b C=900 AB2= a2+b2 a2+b2=c2 AB 2=c2 邊長取正值 AB =c在 ABC和 ABC中BC=a=BCCA=b=CAAB=c=AB ABC ABC（SSS） C= C(全等三角形對應(yīng)角相等） C= 900 ABC是直角三角形（直角三角形的定義）結(jié)論： 如果三角形的三邊長：a，b，c滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形。當(dāng)我們證明了命題2是正確的，那么命題就成為一個定理由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題l的逆命題，在此我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互為逆定理。同時，我們也進一步明白了古埃及人那樣做的道理實際上，古代中國人也曾利用相似的方法得到直角。直至科技發(fā)達的今天人類已跨入21世紀建筑工地上的工人師傅們?nèi)匀浑x不開“三四五放線法”?！叭奈宸啪€法”是一種古老的歸方操作。所謂“歸方”就是“做成：直角”譬如建造房屋，房角般總是成90，怎樣確定房角的縱橫兩線呢？ 如右圖，欲過基線MN上的一點C作它的垂線，可由三名工人操作：一人手拿布尺或測繩的0和12尺處，固定在C點；另一人拿4尺處，把尺拉直，在MN上定出A點，再由一人拿9尺處。把尺拉直，定出B點，于是連結(jié)BC，就是MN的垂線。建筑工人用了3，4，5作出了一個直角，能不能用其他的整數(shù)組作出直角呢？生：可以，例如7，24，25；8，15，17等據(jù)說，我國古代大禹治水測量工程時，也用類似的方法確定直角。滿足a2b2c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。如3，4，5；5，12，13活動3問題：命題1 如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。命題2 如果三角形的三邊長分別為a，b，c，滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形。它們的題設(shè)和結(jié)論各有何關(guān)系？學(xué)生閱讀課本，并回憶前面學(xué)過的一些命題，得出命題和逆命題的概念。教師認真傾聽學(xué)生的分析。教師在本活動中應(yīng)重點關(guān)注學(xué)生；能否發(fā)現(xiàn)互逆命題的題沒和結(jié)論之間的關(guān)系。能否積極主動地回憶我們前面學(xué)過的互逆命題。（三）鞏固提高例1 判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形。（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15；（3）求證m2n2，m2+n2，2mn（mn，m，n是正整數(shù)）是直角三角形的三條邊長。進一步讓學(xué)生體會用勾股定理的逆定理，實現(xiàn)數(shù)和形的統(tǒng)一，第（3）題又讓學(xué)生從一次從一般形式上去認識勾股數(shù)，如果能讓學(xué)生熟記幾組勾股數(shù)，我們在判斷三角形的形狀時，就可以避開很麻煩的運算。師：我們把像15、8、7這樣，能夠成為三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。而且我們不難發(fā)現(xiàn)m2n2、m2+n2、2mn也是一組勾股數(shù)，而且這組勾股數(shù)由于m、n取值的不同會得到不同的勾股數(shù)。例如m=2，n=1時，m2n2=2212=3，m2+n2=22+12=5，2mn=221=4，而3、4、5就是一組勾股數(shù)。你還能找到不同的勾股數(shù)嗎？生：當(dāng)m=3，n=2時，m2n2=3222=5，m2+n2=13，2mn=232，所以5、12、13也是一組勾股數(shù)。當(dāng)m=4，n=2時，m2n2=4222=12，m2+n2=20，2mn=242=16，所以12、16、20也是一組勾股數(shù)。師：由此我們發(fā)現(xiàn)，勾股數(shù)組有無數(shù)個，而上面介紹的就是尋找勾股數(shù)組的一種方法。例2 “遠航”號，“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相距30海里，如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？教師先鼓勵學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形，然后小組內(nèi)交流討論，教師需巡視，對有困難的學(xué)生一個啟示，幫助它們尋找解題的途徑。生：我們根據(jù)題意畫出圖形（如下圖），可以看到，由于“遠航”號的航向已知，如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天”號的航向了解：根據(jù)題意畫出下圖PQ=161.5=24，PR=121.5=18，QR=30因為242+182=302，即PQ2+PR2=QR2。所以QPR=90由“遠航”號沿東北方向航行可知，QPS=45，所以RPS=45，即“海天號沿西北或東南方向航向。”例3：A、B、C三地兩兩距離如下圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向？由學(xué)生獨立完成后，由一個學(xué)生板演，教師講解。解：BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169所以BC2+AB2=AC2，即BC的方向與BA方向成直角，ABC=90，C地應(yīng)在B地的正北方向。例4：個零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個零件中 和都應(yīng)為直角工人師傅量出了這個零件各邊尺寸，那么這個零件符合要求嗎？分析：這是一個利用直角三角形的判定條件解決實際問題的例子。解：在中，所以是直角三