投籃問題建模.doc

數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文摘要在激烈的籃球比賽運(yùn)動(dòng)中，投籃得分是整個(gè)比賽中的主要得分方式，因此籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率的高地一定程度上直接影響了一場(chǎng)比賽的勝負(fù)。本文就是通過對(duì)已知數(shù)據(jù)的計(jì)算與整合，并通過建立三種投籃方式的數(shù)學(xué)模型來分析三種投籃方式的特點(diǎn)和各自提高命中率的關(guān)鍵因素，從而為投籃訓(xùn)練和籃球競(jìng)賽策略提供科學(xué)的建議。我們對(duì)不同的投籃方式根據(jù)其在比賽中的實(shí)際效果采用了不同的數(shù)學(xué)模型使得計(jì)算結(jié)構(gòu)更加科學(xué)可靠。首先，在第一模型即罰籃的數(shù)學(xué)模型中，我們通過建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的方法找到影響罰籃的兩個(gè)關(guān)鍵因素即出投角度，和出球速度。在這里我們通過對(duì)出球角度的研究確定了不同高度時(shí)投籃所需的最小速度都小于8m/s,這樣合理的假設(shè)了運(yùn)動(dòng)員的出球速度是在89m/sz之間。并通過罰籃中籃球命中藍(lán)框中心所允許的偏差計(jì)算出出投角度所允許的最大偏差明顯大于出球速度的最大偏差，也就是說改變出頭角度是籃球命中的可能性更大一些，故訓(xùn)練中我們應(yīng)該著重注意出球的角度。其次，在第二個(gè)二分球投球的模型中，由于出投位置的不確定，增加了距離參數(shù)L和出投高度h，因此，我們用入籃籃球的運(yùn)行區(qū)域的面積大小來刻畫命中率。我們從改變距離和高度對(duì)入球角度區(qū)間改變量大小上來分析得到，改變出頭距離時(shí)入球的角度區(qū)間明顯大于改變出投高度時(shí)入球的角度區(qū)間。因此可以看出在投二分球時(shí)應(yīng)該盡量使得出球位置靠近籃框。接著，在第三模型中，由于出投位置較遠(yuǎn)，并且球在空中運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)，運(yùn)行速度偏快，導(dǎo)致空氣阻力的影響很大，因此不能夠忽略空氣阻力，我們?cè)谇懊婺Ｐ偷幕A(chǔ)上加入水平空氣阻力，并且由于采用跳投的方式出球高度也適當(dāng)懂得增加。最后建立起模型通過給定數(shù)據(jù)來研究出球高度，和出球角度對(duì)命中率的影響問題。 最后，運(yùn)用我們所建立的模型分析得出2012年出臺(tái)的籃球新規(guī)則的三條改變不僅增加了籃球的觀賞性同時(shí)也很好的體現(xiàn)了球員個(gè)人的表現(xiàn)力關(guān)鍵字：出投角度、高度、速度、命中率、允許的最大偏差一問題的重述：圖1.投籃示意圖 圖2.籃球場(chǎng)地示意圖規(guī)則改變前的籃球場(chǎng)地示意圖規(guī)則改變后的籃球場(chǎng)地示意圖高。二問題分析（1） 在研究罰籃時(shí)，由于罰籃采用定點(diǎn)投籃方式故出球高度基本有球員身高決定，要研究投籃命中是出球角度和出手速度哪個(gè)起主要作用只需，分別給定一個(gè)出手速度v和出手角度根據(jù)不同的出球高度計(jì)算出籃球的角度和速度的最大偏差，取偏差較大的即是增加命中率的主要因素。（2） 研究二分球投籃問題時(shí)，可根據(jù)入球區(qū)域的最大面積來描述命中率，通過解積分曲線的方法求出入球區(qū)域A，根據(jù)入球偏差求出所需的角度的范圍。（3） 研究三分球投籃時(shí)，由于球速大，考慮加入空氣阻力的影響建立模型。 三模型假設(shè)（1） 模型I，II中忽略空氣阻力。（2） 模型中不考慮打板入球的情況。（3） 模型II中不考慮防守隊(duì)員防守影響命中率的情況。（4） 投求的運(yùn)動(dòng)曲線和籃框中心在同一平面內(nèi)。（5） 出手后不考慮球的自身旋轉(zhuǎn)。四符號(hào)說明L：籃球出手點(diǎn)到籃框的水平距離，其中在模型I中L=4.6m. 模型III中L=6.75m。H: 籃框的高度，H=3.05m.D: 籃框的直徑，D=45cm.d: 籃球的直徑，d=24.6cm.h: 運(yùn)動(dòng)員的出手高。一般在1.82.7m之間v：運(yùn)動(dòng)員的出球速度，一般在89m/sg: 重力加速度，g=9.8m/s2：籃球的出手角度：籃球的入射角度五模型的建立與求解 對(duì)三種投籃方式進(jìn)行,建模，1.考慮罰籃這種頭球方式，運(yùn)用物理中拋射運(yùn)動(dòng)的知識(shí)。建立模型： 水平方向上： 豎直方向上： 消去t，得到. （1） 在罰籃中如果只考慮球心正中藍(lán)框中心這種情況：則公式中y=H-h，x=L.帶入整理得： （2） 這個(gè)公式表示了投籃命中所需要的條件。不難看出投籃命中率主要由h,v,這三點(diǎn)決定。對(duì)于罰籃，采用定點(diǎn)投籃方式，故對(duì)于每個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員h是確定的，所以命中率主要取決于出手速度v，和出手角度.，公式（2）中不難看出給定h，每一個(gè)v對(duì)應(yīng)兩個(gè)，并且若要（2）式有意義，則必須滿足 （3）解得： 這樣可此得出給定一個(gè)出手高度h，必然對(duì)應(yīng)一個(gè)最小速度v。并且它是h的減函數(shù)。帶入?yún)?shù)可算出實(shí)際罰籃時(shí)所需的最小速度。 另外球入籃框的入射角度也可由公式（1）求出： （4）與（1）式聯(lián)立得： （5） 以上討論的均是球心正中藍(lán)心得情況，在實(shí)際投籃中由于籃球直徑小于籃框直徑，故存在一定偏差使得即使球心沒有命中藍(lán)心球也能命中，以藍(lán)心為原點(diǎn)，設(shè)可允許的偏差最多為，則可以計(jì)算出： （6） 此時(shí)出手高度沒變，但是由于入球位置由L變?yōu)長(zhǎng)+，x成為變量帶入（1）式得。 若v是一個(gè)確定值，那么可以用x對(duì)求導(dǎo)。 將d x和d用，來替換，整理得： （7） 同理若確定，上式對(duì)v求導(dǎo)并做合理替換可以得到： （8） 這樣我們可以通過計(jì)算角度和速度他們的最大偏差與相對(duì)偏差來確定出手角度與出手速度哪一個(gè)偏差更大，也就是說通過訓(xùn)練更容易提高命中率。 2.第二種投籃方式，在投籃距離L為1.25m和6.75m之間的投籃（1.25m內(nèi)為合理沖撞區(qū)，我們認(rèn)定為在這里投籃命中率為100%）。 即得二分的投籃方式。此時(shí)投籃方法多樣，可采用跳投，定點(diǎn)投籃，拋投等。但出手后籃球運(yùn)動(dòng)軌跡仍符合力學(xué)規(guī)律，我們?nèi)钥捎昧P籃中所用的軌跡方程即，公式（1），但此時(shí)，出手距離L，與出手高度h,均為變量。因此投籃命中率我們?cè)撚没@球在運(yùn)動(dòng)中可允許最大偏差的兩條弧線與籃框所圍面積的大小來表示。不放射為A（q）。兩條最大偏差弧線分別為O ，O則不難驗(yàn)證，O過點(diǎn)（L-，H-h），O過點(diǎn)（L+，H-h）。則由公式（1）我們可分別寫出O，O的弧線方程： （9） （10） 直線，的方程分別為： （11） （12） 所以， （13） 由公式（13）可知越大tan就越大則，就越大由公式（2）知道，由v唯一確定，而v不能無限增大，故tan只能在一定范圍內(nèi)變化。設(shè)曲線過點(diǎn)（L，H-h）帶入公式（2）得到： （14） 其中v滿足 并且： 可見tan是的減函數(shù)，當(dāng)最小時(shí)tan最大。由公式（3）的解可知tan的最大值為： （15） 實(shí)際中L的范圍是（L+，L-），為方便計(jì)算這里看成是R=，即假設(shè)那么我們就得到入射角的的范圍是：（16） 由此公式我們就可以根據(jù)不同的位置與出手高度計(jì)算出使籃球命中的入射角范圍。從而經(jīng)過比較，得出哪一個(gè)因素才是主要因素。3.最后建立第三個(gè)模型： 三分球的投射中，要考慮空氣阻力的影響，在這里我們只考慮水平方向上的空氣阻力影響，因?yàn)橥痘@時(shí)對(duì)求運(yùn)動(dòng)的阻力主要體現(xiàn)在水平方向上。通常阻力與速度成正比，設(shè)比例系數(shù)為k。則籃球在水平方向上的運(yùn)動(dòng)可由微分方程表示：X(0)=0用數(shù)學(xué)分析的方法可以求解得：通過泰勒展開式并略去e二次方以上的項(xiàng)（這是由于投籃運(yùn)動(dòng)中k，與t較?。┻@樣得到了更為簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)方程。 與模型I的運(yùn)動(dòng)方程相結(jié)合，投三分球時(shí)求的運(yùn)動(dòng)方程為：若球心正中藍(lán)心則方程過點(diǎn)（L,H-h）其中L固定為6.75m。方程變?yōu)椋?消去t,得： 這就是投三分球時(shí)籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡不難看出，他與出高度和出手速度，和出手角度有關(guān)系。4.計(jì)算結(jié)果與MATLAB附錄： 取出手高度在1.82.1之間運(yùn)用MATLAB程序結(jié)果如下：end 計(jì)算結(jié)果： h m m/s1 .8 7.6789 1.9 7.5985 2.0 7.5186 2.1 7.4392可以看出最小速度v隨著高度的增加而減小，切最大沒有超過8m/s,我們?cè)谇懊嫒=89m/s是合理的。我們?nèi)=8m/s是出手高度在1.8m2.0m得到出手角度。在MATLAB中的附錄及結(jié)果為：H=3.05；g=9.8;L=4.6;v=8;for h=1.8:0.1:2.0= 180/pi*actan(v2/g*L)*(1+sqrt(1-2*g/v2*(H-h+g*L2/2v2)end計(jì)算結(jié)果填入下表： v m/s h m 8 1.8 62.4099 8 1.9 63.1174 8 2.0 63.7281最后，我們用v=8m/s時(shí)高度分別為1.8m和2.0m時(shí)所對(duì)應(yīng)的的角度，利用公式（7）（8）算出最大偏差，MATLAB中的附錄為：L=4.6；V=8;g=9.8;D=0.45/2;D=0.246/2;=62.4099;=(g*L-v2*sin(*pi/180)*cos(*pi/180)*(D-d)/(L*(v2-g*l*tan()a*pi/180)=(g*L-v2*sin(*pi/180)*cos(*pi/180)*v*(D-d)/(g*L)同理算=63.7281.計(jì)算結(jié)果填入下表： h/m v/m/s 1.8 62.4099 8 -0.7562 0.0528 2.0 63.7281 8 -0.71 0.0601從結(jié)果中看到，出手角度的最大偏差明顯大于出手速度的偏差，也就是說罰籃時(shí)對(duì)出手速度的要求更為嚴(yán)格，而出手角度相對(duì)允許有較大誤差。所以才籃球訓(xùn)練時(shí)，球員應(yīng)著重注意在保證出手速度大于8m/s的同時(shí)，準(zhǔn)確把握出手角度。二分球投籃時(shí)的取出手高度在1.82.7m（有跳投的情況），出手位置距藍(lán)框中心水平距離在1.756.75m。根據(jù)公式（16）在MATLAB中的附錄及計(jì)算結(jié)果為：H=3.05;R=0.225;for h=1.8:0.1:2.1 for L=1.75:1:4.75a=atan(H-h)./(L+R)+sqrt(H-h)./(L+R)2+1)*180/pib=atan(H-h)./(L-R)+sqrt(H-h)./(L-R)2+1)*180/piendend計(jì)算結(jié)果填入下表： 1.752.753.754.751.861.165164.670356.395358.168853.728354.762552.052052.72121.960.105763.509955.567157.243353.067854.034251.507852.12972.058.998662.274254.720056.289852.398453.293750.958851.53202.157.844160.960453.854955.309151.720652.541550.405450.9284從表格中我們可以看到在高度確定的時(shí)候，隨著距離L的增加入球角度的范圍逐漸縮小。而保證出球距離不變，高度的改變幾乎不影響入球所需角度的區(qū)間大小。因此我們可以得出在影響二分球投籃的距離，和高度兩個(gè)因素中，我們應(yīng)該著重的注意出球距離，即在比賽中應(yīng)該盡量保證在離籃框較近的地方出手投籃，這與實(shí)際情況也是相符合的。問題（3）中考慮到實(shí)際中籃球運(yùn)動(dòng)員的身高與臂展都差不多，因此在這里臂長(zhǎng)我們?nèi)=1.7m2.0m，由過小將導(dǎo)致入球角太小球無法進(jìn)入籃框，太大將使出手速率過大，無法達(dá)到，因此這里我們的出球角度選=3060.在MATLAB中的附錄及結(jié)果為：六結(jié)果分析：通過對(duì)三個(gè)模型的建立與求解，在罰籃問題中我們得到結(jié)果為出手角度和出手速度是影響命中率的主要因素，并且出手角度相對(duì)于出手速度所需的偏差較大，即允許的誤差較大，更能夠幫助選手提高命中率，在實(shí)際籃球運(yùn)動(dòng)中也是選手大多比較注意自己的投籃出手角度。二分球投籃的模型中，我們得到結(jié)論投籃位置即籃球出手時(shí)與籃板的水平距離主要影響籃球的命中率，此外出手速度和角度也都會(huì)影響命中率但位置更重要，確切的說就是離籃板越近的位置出手命中率的提高會(huì)越明顯，這顯然與我們的認(rèn)識(shí)相符合。對(duì)于第三個(gè)模型我們通過在罰籃模型的基礎(chǔ)上加上空氣阻力的影響來從新建立了籃球運(yùn)行軌跡方程。得到結(jié)論是命中率受出頭高度，與角度影響較大，應(yīng)主要注意這兩個(gè)方面的練習(xí)?？傊?，通過這次的數(shù)學(xué)建模對(duì)投籃問題的討論我們可以看出，在籃球選手基本技能和心理素質(zhì)良好的前提下，我們可以根據(jù)我們?cè)诒荣愔兴幍膶?shí)際情況合理的選擇三個(gè)模型中的任何一個(gè)來選擇合理的角度一出手高度，這樣更科學(xué)的增加我們比賽投籃的命中率七由已建模型分析新規(guī)則改動(dòng)后對(duì)籃球比賽的影響： 2012年中國(guó)籃球協(xié)會(huì)修訂了籃球規(guī)則的新改變，主要是以下三方面的改變：1.限制區(qū)（3秒?yún)^(qū)）改成4.9米乘以5.8米的矩形，并在限制區(qū)內(nèi)以籃圈在地面的投影點(diǎn)為圓心以1.25米為半徑畫一個(gè)半圓（見附圖），設(shè)為進(jìn)攻合理沖撞區(qū)，進(jìn)入該區(qū)域內(nèi)（沖撞區(qū)的線屬于該區(qū)域）發(fā)生的身體接觸如果造成犯規(guī)，則判為防守的犯規(guī)。這一點(diǎn)的改變主要是增加了合理沖撞區(qū)是的進(jìn)攻方在籃下小范圍內(nèi)的入球變得更加簡(jiǎn)單。是的外圍球員更多的可以選擇將球傳入給內(nèi)場(chǎng)的球員或選擇自己帶球突破增加得分的效率。此外根據(jù)所建立的模型可以知道，當(dāng)籃球出手位置越離近籃板則命中率更高。另外嚴(yán)格設(shè)置三秒?yún)^(qū)。就是為了在比賽中增加更多的扣籃，分流籃下?lián)頂D的人群，讓比賽顯得更好看和刺激。2.三分線區(qū)域擴(kuò)大，由原來的6.25米半徑擴(kuò)大為6.75米。這點(diǎn)的改變由模型三我們可以得到三分線區(qū)域的擴(kuò)大使得投三分求的命中率減低，這樣講有效的減少外圍球員三分球的命中率，使得球員跟多的選擇帶球突破或依靠更多傳接配合實(shí)現(xiàn)內(nèi)場(chǎng)入球同時(shí)也可以增加更多的扣籃這一籃球比賽中最刺激的入球方式的機(jī)會(huì)。同時(shí)擴(kuò)大三分線對(duì)于一些命中率高的運(yùn)動(dòng)員更多的展現(xiàn)自己投三分球水平的機(jī)會(huì)。使其更容易于與其他運(yùn)動(dòng)員的水平拉開距離。加強(qiáng)籃球比賽的明星效應(yīng)，給比賽帶來更多樂趣。八模型推廣與評(píng)價(jià)：本文所用的模型是建立在三種得分方式的基礎(chǔ)上，通過對(duì)具體投籃問題中具體情況的詳細(xì)分析，給出了滿足不同情況下有效提高投籃命中率對(duì)出手角度和出手速度的要求。本模型用數(shù)學(xué)語(yǔ)言即數(shù)字、圖表以及公式符號(hào)等來表達(dá)出一實(shí)際問題，更科學(xué)具體地分析了投球過程中影響命中率的兩個(gè)條件對(duì)命中率的具體影響所在。此外，模型通過具體的公式計(jì)算得出適合投籃的最佳出手角度和速度范圍，使這三者之間的相互關(guān)系有了數(shù)據(jù)的支持和保障。同時(shí)，本模型最終結(jié)論和結(jié)果給了籃球運(yùn)動(dòng)員們合理訓(xùn)練的科學(xué)依據(jù)，也方便研究人員在此基礎(chǔ)上 展開對(duì)投籃運(yùn)動(dòng)的深入研究。此